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导数的计算(一)


一、复习
1. 导数的几何意义 导数的物理物理意义 2.求函数的导数的方法是:

(1)求函数的增量?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x);
说明:上面的方 (2)求函数的增量与自变量的增量的比值 :

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ; ?x ?x

法中把x换x0

即为求函数在 点x0处的 导数.

?y (3)求极限,得导函数y? ? f ?( x) ? lim . ?x ?0 ?x

几种常见函数的导数 基本初等函数的导数公 式及导数的运算法则

二、几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1. 函数y=f(x)=c (c为常数)

2. y ? f ( x) ? x
3. y ? f ( x) ? x 2
4. y ? f ( x) ? x 3
1 5. y ? f ( x) ? x

6. y ? f ( x) ? x

1.函数 y = f (x) =c 的导数
?y f ? x ? ?x ? ? f ? x ? c ? c 因 ? ? ? 0, ?x ?x ?x 所以 ?y y ' ? lim ? lim 0 ? 0. ?x ?0 ?x ?x ?0

y y=c

O

x

从几何的角度理解: y?=0表示函数y=x图象上每一点处的切线的斜率都为0. 从物理的角度理解: 若y=c表示路程关于时间的函数,则y?=0则为某物体的 瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.

2.函数 y= f (x)=x 的导数
?y f ?x ? ?x ? ? f ?x ? x ? ?x ? x 因为 ? ? ? 1, y ?x ?x ?x ?y 所以 y ' ? lim ? lim 1 ? 1. ?x ?0 ?x ?x ?0 从几何的角度理解:

y=x

O

x

y?=1表示函数y=x图象上每 一点处的切线斜率都为1. 从物理的角度理解: 若y=x表示路程关于时间的函数,则y?=1可以解释为某 物体做瞬时速度为1的匀速运动.

探究
在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图 象,并根据导数定义,求它们的导数. y (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最 快?哪一个增加得最慢? (3)函数y=kx(k≠0)增(减)的快 慢与什么有关?
-2 -1 -1 -2 2 1

y=4x y=3x y=2x y=x

1

2

x

函数 y= f (x)= kx 的导数

?y f ?x ? ?x ? ? f ?x ? 因为 ? ?x ?x k ?x ? ?x ? ? kx ? ?x
kx ? k?x ? kx ? ? k, ?x ?y 所以 y ' ? lim ? lim k ? k . ?x ?0 ?x ?x ?0

3.函数 y = f (x) = x2 的导数
?y f ?x ? ?x ? ? f ?x ? ?x ? ?x ? ? x 因为 ? ? ?x ?x ?x
2 2

y y=x2

x ? 2 x ? ?x ? ??x ? ? x ? ?x
2 2

2

? 2 x ? ?x
所以 ?y y ' ? lim ? lim ?2 x ? ?x ? ? 2 x. ?x ?0 ?x ?x ?0

O

x

从几何的角度理解:

y? =2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜 率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化. 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y?=2x 表明: 当x<0时,随着x的增加,y=x2减少得越来越慢; 当x>0时,随着x的增加,y=x2增加得越来越快.
从物理的角度理解:

若y=x2表示路程关于时间的函数,则y?=2x可 以解释为某物体作变速运动,它在时刻x的瞬时速 度为2x.

4.函数 y = f (x) =

1 x

的导数

1 1 ? ?y f ?x ? ?x ? ? f ?x ? x ? ?x x 因为 ? ? ?x ?x ?x

x ? ?x ? ?x ? 1 ? ?? 2 , x?x ? ?x ??x x ? x ? ?x

?y 1 1 ? ? 所以 y' ? lim ? lim ? ? 2 ??? 2. ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? x ? x ? ?x ?

探究
1 画出函数 y ? x 的图象.根据图象,描述它的变化情况,并

求出曲线在点(1,1)处的切线方程.y

2

1

-2

-1 -1 -2

1

2

x

5.函数 y = f (x) = x 的导数
?y f ?x ? ?x ? ? f ?x ? 因为 ? ? ?x ?x

? ?

x ? ?x ? x x ? ?x ? x ?x x ? ?x ? x

?

? 1

??

x ? ?x ? x ?x

?

?

?y 1 1 所以 y' ? lim ? lim ? . ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? ?x ? x 2 x

x ? ?x ? x



小结

1.若 f (x)=c(c为常数), 则f ?(x)=0 ;
2.若 f (x)=x, 则f ?(x)=1 ;

3.若 f (x)=x2 ,则f ?(x)=2x ;
1 1 4.若f ?x ? ? , 则f ' ?x ? ? ? 2 ; x x 1 5.若f ?x ? ? x , 则f ' ?x ? ? . 2 x

x ? ?x
?

? ?1

(?是常数)

推广:

y ? f ( x) ? x (? ? Q )

?

?

y ? ?x
/

? ?1

这个公式称为幂函数的导数公式. 事实上? 可以是任意实数.

基本初等函数的导数公式
' 1.若f(x)=c,则f(x)=0 ' n-1 2.若f(x)=x n,则f(x)=nx (n ? R) ' 3.若f(x)=sinx,则f(x)=cosx ' 4.若f(x)=cosx,则f(x)=-sinx ' x 5.若f(x)=ax,则f(x)=a ln a ' x 6.若f(x)=ex,则f(x)=e

1 7.若f(x)=logax,则f(x)= xlna 1 ' 8.若f(x)=lnx,则f(x)= x
'

练习:1 求下列幂函数的导数

(1)y ? x 1 ( 2) y ? 2 x 3 (3) y ? x
3

5

( 4) y ? x

5

2:
(1)已知y ? x x
2

, 求f ?(1).
3

(2)已知y ? 2 x , 求f ?(2).

导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:

? f ( x ) ? g ( x ) ? ? ? f ?( x) ? g ?( x)

法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:

? f ( x)?g ( x)?? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x)

法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:

? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?

推论:

?cf ( x)?

/

? cf ( x)
/

例. 求函数y=x3-2x2+3的导数.

1.已知曲线C:f(x)=x3

求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程

1 2.求过点(2,0)与曲线 y ? 相切的切线 x 方程

3.已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线 y=x2上的两点,求与直线PQ平行的曲线 y=x2的切线方程。

看几个例子:

例3.已知y ? log 2 x,求曲线在点 x ? 2处的切线方程.
1 2 y? ? ( x ? 2) 2 2ln 2

例4.已知y ? cos x,求曲线在点 5? x? 处的切线方程. 6 3 1 5π
y? ? ? (x ? ) 2 2 6
'

例5:求下列函数的导数 1 (1). y ? 4 ; x (2). y ? x x.

y ? ?4 x
3 y ? x 2
' 1 2

?5

练习:求下列函数的导数:

1 2 答案: (1) y? ? ? 1 ? 4 ; (1) y ? ? 2 ; x2 x3 x x 2 1 ? x x ( 2) y ? ? ; 2 2 (2) y ? ; (1 ? x ) 2 1? x 1 ? ( 3) y ? ; (3) y ? tan x; 2
cos x

四、小结:
知识点: 基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 能力要求:

(1)熟记这些公式、法则;
(2)会求简单函数的导数; (3)会求曲线在某点处的切线方程。

课后思考:
如何求函数

y ? 2x sin(2x ? 5)的导数?


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