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【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第六章 第四节 基本不等式突破热点题型 文


第四节

基本不等式

考点一

利用基本不等式证明不等式

1 1 1 [例 1] 已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: + + ≥8.

a b ab

? ? a b ab ?a b? ∵a+b=1,a>0,b>0, 1 1 a

+b a+b a b ∴ + = + =2+ + ≥2+2=4, a b a b b a
[自主解答] 1 1 1 1 ? ? ∴ + + ≥8?当且仅当a=b= 时等号成立?. 2 a b ab ? ? 【互动探究】 1 1 保持例题条件不变,证明: a+ + b+ ≤2. 2 2 证明:∵a>0,b>0,且 a+b=1, 1 1 ∴ a+ + b+ 2 2 = 1 2 2

1

1 1 ?1 1? + + =2 + ,

?a+1?×1+ ? 2? ? ?
a+ +1 b+ +1
+ 1 2 2 =

?b+1?×1 ? 2? ? ?
a+b+3 4
2 = =2. 2



1 1 1 当且仅当 a+ =1,b+ =1,即 a=b= 时等号成立. 2 2 2 【方法规律】 利用基本不等式证明不等式的方法技巧 利用基本不等式证明不等式时,要充分利用基本不等式及其变 形,同时注意基本不等 式成立的条件.对待证明的不等式作适当 变形,变出基本不等式的形式,然后利用基本不 等式进行证明.

1 1 设 a、b 均为正实数,求证: 2+ 2+ab≥2 2.

a

b

证明:由于 a、b 均为正实数, 1 1 1 1 2 所以 2+ 2≥2 , 2· 2=

a

b

a

b

ab

当且仅当 2= 2,即 a=b 时等号成立,

1

1

a

b

2 又因为 +ab≥2

2

ab

ab

·ab=2 2,

1

2 当且仅当 =ab 时等号成立,

ab

2 所以 2+ 2+ab≥ +ab≥2 2,

1

1

a

b

ab

1 1 ? ?a =b , 当且仅当? 2 ? ?ab=ab,
2 2

4 即 a=b = 2时取等号.

高频考点

考点二

利用基本不等式求最值

1.利用基本不等式求最值是高考的常考内容,题型既有选择题、填空题,也有解答题. 2.高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下几个命题角度: (1)知和求积的最值; (2)知积求和的最值; (3)构造不等式求最值. x y [例 2] (1)(2013·福建高考)若 2 +2 =1,则 x+y 的取值范围是( ) A.[0,2] B.[-2,0] C.[-2,+∞) D.(-∞,-2] (2)(2013·山东高考)设正实数 x, y, z 满足 x -3xy+4y -z=0.则当 取得最小值时,
2 2

z xy

x+2y-z 的最大值为(
A.0 9 B. 8

) C.2 9 D. 4 1 |a| + 的最小值为________. 2|a| b

(3)(2013·天津高考)设 a+b=2,b>0,则 [自主解答] (1)因为 2 >0,2 >0, x y x y x+y 所以 1=2 +2 ≥2 2 ·2 =2 2 , 1 1 x+y x+y -2 故 2 ≤ ,即 2 ≤ =2 , 2 4 所以 x+y≤-2. z x2-3xy+4y2 x 4y (2) = = + -3≥2
x y

x 4y · -3=1, xy y x y x x 4y 当且仅当 = ,即 x=2y 时等号成立. y x 2 2 2 2 2 此时 z=x -3xy+4y =(2y) -3·2y·y+4y =2y . 2 2 ∴x+2y-z=2y+2y-2y =-2(y-1) +2, ∴当 y=1,x=2,z=2 时,x+2y-z 取最大值,最大值为 2. (3)∵a+b=2,b>0,∴b=2-a>0,得 a<2. 1 |a| a+b |a| 令 t= + = + , 2|a| b 4|a| b ①当 0<a<2 时, a+b a 1 b a 1 1 5 t= + = + + ≥ +2 = , 4a b 4 4a b 4 4 4 b a 2 5 当且仅当 = ,即 b=2a,a= ∈(0,2)时,t 取得最小值为 . 4a b 3 4 ②当 a<0 时, xy

2

1 3 b a = ,当且仅当- =- ,即 b= 4 4 4a b 3 5 3 1 |a| 3 -2a,a=-2 时,t 取得最小值为 .∵ > ,∴ + 的最小值为 . 4 4 4 2|a| b 4 3 [答案] (1)D (2)C (3) 4

t=-

a+b a 1 ? b ? ? a? 1 - =- +?- ?+?- ?≥- +2 4a b 4 ? 4a? ? b? 4

利用基本不等式求最值问题的常见类型及解题策略 (1)知和求积的最值.求解此类问题的关键:明确“和为定值,积有最大值”.但应注 意以下两点:①具备条件——正数;②验证等号成立. (2)知积求和的最值.明确“积为定值,和有最小值”,直接应用基本不等式求解,但 要注意利用基本不等式求最值的条件. (3)构造不等式求最值.在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常采用“变量 替换”或“常数 1”的替换,构造不等式求解. 1 1.已知 f(x)=x+ -2(x<0),则 f(x)有(

x

)

A.最大值为 0 B.最小值为 0 C.最大值为-4 D.最小值为-4 解析:选 C ∵x<0,∴-x>0, 1 ? 1 ? ∴x+ -2=-? -x + ?-2≤-2 -x ? x ? 1 当-x=- ,即 x=-1 时等号成立.

-x

1 -2=-4,当且仅 -x

x

? 1?? 1? 2. (2014·衢州模拟)已知 a, b∈R+, 且 a+b=1, 则?1+ ??1+ ?的最小值为________. ?
a?? b?

? 1?? 1? ? a+b??1+a+b?=?2+b?·?2+a?=5+2?b+a?≥5+4=9. 解析:?1+ ??1+ ?=?1+ ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
a?? b? ? a ?? b ? ? a? ? b?

?a b?

1 当且仅当 a=b= 时,取等号. 2 答案:9 3.(2013·四川高考)已知函数 f(x)=4x+ (x>0,a>0)在 x=3 时取得最小值,则 a= ________.

a x

a x 2 此时 a=4x ,由已知 x=3 时函数取得最小值,所以 a=4×9=36.
解析:∵x>0,a>0,∴f(x)=4x+ ≥2 答案:36 考点三

a x

4x· =4 a,当且仅当 4x= 时等号成立,

a x

基本不等式的实际应用

[例 3] 为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在 2014 年举行促销活动,经调查测算, 该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 t(t≥0)万元满足 x=4- (k 为 2t+1 常 数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是 1 万件.已知 2014 年生产该产品的 固定投入为 6 万元,每生产 1 万件该产品需要再投入 12 万元,厂家将每件产品的销售价格 定为每件产品平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分). (1)将该厂家 2014 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 t 万元的函数;
3

k

(2)该厂家 2014 年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大? [自主解答] (1)由题意有 1=4- , 1 3 得 k=3,故 x=4- . 2t+1 3 ? 6+12x 18 ? 故 y=1.5× ×x-(6+12x)-t=3+6x-t=3+6?4- ?-t=27-2t+1- x ? 2t+1? t(t≥0). ? 9 +?t+1?? 18 ? ? (2)由(1)知:y=27- -t=27.5-? 1 ? 2??. ? t+ ? 2t+1 ? 2 ? 基本不等式 9 9 ? 1? ? 1? +?t+ ?≥2× ·?t+ ?=6, 1 ? 2? 1 ? 2? t+ t+ 2 2 9 1 当且仅当 =t+ ,即 t=2.5 时等号成立. 1 2 t+ 2 ? 9 +?t+1?? 18 ? ? 1 ? 2??≤27.5-6=21.5. 故 y=27- -t=27.5-? ? t+ ? 2t+1 ? 2 ? 9 1 当且仅当 =t+ ,即 t=2.5 时,等号成立,y 有最大值 21.5. 1 2 t+ 2 所以 2014 年的年促销费用投入 2.5 万元时,该厂家利润最大,最大利润为 21.5 万元. 【方法规律】 解实际应用题时应注意的问题 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数; (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需再利用基本不等式求得函数的最值; (3)在求函数的最值时,一定要在定义域 (使实际问题有意 义的自变量的取值范围 )内 求. (4)有些实际问题中,要求最值的量需要用几个变量表示,同时这几个变量满足某个关 系式,这时问题就变成了一个条件最值,可用求条件最值的方法求最值.

k

某单位建造一间地面积为 12 m 的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧 2 2 面的长度 x 不得超过 5 m.房屋正面的造价为 400 元/m ,房屋侧面的造价为 150 元/m ,房 顶和地面的造价费用合计为 5 800 元,如果墙高为 3 m,且不计房屋背面的费用.当侧面的 长度为多少时,总造价最低? 12 ? ? ? 16? 解: 由题意可得, 造价 y =3?2x×150+ ×400?+5 800=900?x+ ?+5 800(0<x≤5),

2

?

x

?

?

x?

? 16? 则 y=900?x+ ?+5 800≥900×2 ?
x?

x× +5 800=13 000(元),当且仅当 x= , x x

16

16

即 x=4 时取等号. 故当侧面的长度为 4 米时,总造价最低. ———————————[课堂归纳——通法领 悟]———————————————— 个技巧——公式的逆用 2 2 运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如 a +b ≥2ab 逆
4

用就是 ab≤

a2+b2

2 2 “添”“拆”项技巧和公式等号成立的条 件等. 个变形——基本不等式的变形 a2+b2 ?a+b?2 (1) ≥? ? ≥ab(a,b∈R,当且仅当 a=b 时取等号); 2 ? 2 ? (2)



a+b

≥ ab (a , b>0) 逆用就是 ab≤ ?

?a+b? 2(a , b>0) 等,还要注意 ? ? 2 ?

a2+b2 a+b
2 ≥ 2

2 ≥ ab≥ (a>0,b>0,当且仅当 1 1 +

a b

a=b 时取 等号).
个注意点——利用基本不等式求最值应注意的问题 (1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相 等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等 式中“正”“定”“等”的条件. (3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一 致.

5


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