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2016届优化探究高三一轮人教A理科数学复习课时作业:第7章立体几何7-4[来源:学优高考网293888]


A 组 考点基础演练 一、选择题 1.(2015 年正定摸底)已知直线 a 与平面 α,β,α∥β,a?α,点 B∈β,则在 β 内过点 B 的所有直线中( )

A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 D.存在唯一一条与 a 平行的直线 解析:设直线 a 和点 B 所确定的平面为 γ,则 α∩γ=a

,记 β∩γ=b,∵α∥β,∴a∥b, 故存在唯一一条直线 b 与 a 平行. 答案:D 2. 已知 m, n 是两条不同的直线, α, β, γ 为三个不同的平面, 则下列命题正确的是( A.若 m∥n,m?α,则 n∥α B.若 m∥n,m?α,n?β,则 α∥β C.若 α⊥γ,α⊥β,则 β∥γ D.若 m∥n,m⊥α,n⊥β,则 α∥β 解析:直线 n 可能在平面 α 内,A 错误;两平面可相交,此时直线 m,n 均于交线平行 即可,B 错误;两平面可相交,C 错误;因为 m∥n,m⊥α,所以 n⊥α,又 n⊥β,所以 α ∥β,D 正确.故选 D. 答案:D 3.设 l,m,n 表示不同的直线,α,β,γ 表示不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m∥l,且 m⊥α,则 l⊥α;②若 m∥l,且 m∥α,则 l∥α;③若 α∩β=l,β∩γ=m, γ∩α=n,则 l∥m∥n;④若 α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且 n∥β,则 l∥m. 其中正确命题的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4 )

解析:易知①正确;②错误,l 与 α 的具体关系不能确定;③错误,以墙角为例即可说 明,④正确,可以以三棱柱为例证明,故选 B. 答案:B 4.已知 m,n 是两条不同直线,α,β,γ 是三个不同平面,下列命题中正确的是( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m∥n,n?α,则 m∥α )

C.若 m∥α,m∥β,则 α∥β D.若 α∥β,α∥γ,则 β∥γ 解析:m、n 平行于 α,m、n 可能相交也可能异面,如图中正方体的棱 A1B1,B1C1 都与 底面 ABCD 平行,但这两条棱相交,故选项 A 不正确;在正方体中,AB∥A1B1,A1B1?平 面 A1B1BA,而 AB 不平行于平面 A1B1BA,故选项 B 不正确;正方体的棱 B1C1 既平行于平面 ADD1A1,又平行于平面 ABCD,但这两个平面相交,故选项 C 不正确;由平面与平面平行 的传递性,得选项 D 正确.故选 D.

答案:D 5.如图,L,M,N 分别为正方体对应棱的中点,则平面 LMN 与平面 PQR 的位置关系 是( )

A.垂直 C.平行

B.相交不垂直 D.重合

解析: 如图, 分别取另三条棱的中点 A, B, C 将平面 LMN 延展为平面正六边形 AMBNCL, 因为 PQ∥AL, PR∥AM, 且 PQ 与 PR 相交, AL 与 AM 相交, 所以平面 PQR∥平面 AMBNCL, 即平面 LMN∥平面 PQR.

答案:C 二、填空题 6.一个面截空间四边形的四边得到四个交点,如果该空间四边形的两条对角线与这个 截面平行,那么此四个交点围成的四边形是________. 解析:如图,由题意得 AC∥平面 EFGH,BD∥平面 EFGH. ∵AC?平面 ABC,平面 ABC∩平面 EFGH=EF,

∴AC∥EF,同理 AC∥GH,所以 EF∥GH. 同理,EH∥FG,所以四边形 EFGH 为平行四边形.

答案:平行四边形 7.在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的点,则点 Q 满足条件________时,有平面 D1BQ∥平面 PAO. 解析:假设 Q 为 CC1 的中点,因为 P 为 DD1 的中点,所以 QB∥PA.连接 DB,因为 P, O 分别为 DD1,DB 的中点,所以 D1B∥PO,又 D1B?平面 PAO,QB?平面 PAO,所以 D1B ∥平面 PAO,QB∥平面 PAO,又 D1B∩QB=B,∴平面 D1BQ∥平面 PAO,故 Q 满足 Q 为 CC1 的中点时,有平面 D1BQ∥平面 PAO. 答案:Q 为 CC1 的中点 8.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是棱 BC,CC1 的中点, P 是侧面 BCC1B1 内一点,若 A1P∥平面 AEF,则线段 A1P 长度的取值范围是________.

解析:取 B1C1 中点 M,则 A1M∥AE;取 BB1 中点 N,则 MN∥EF,∴平面 A1MN∥平 面 AEF.若 A1P∥平面 AEF,只需 P∈MN,则 P 位于 MN 中点时,A1P 最短;当 P 位于 M 或 N 时,A1P 最长.不难求得 A1P 的取值范围为? 答案:? 3 2 5? . ? 4 ,2?

? ? 4 ,2?
3 2 5

三、解答题 9.如图, 已知平行四边形 ABCD 中, BC=6, 正方形 ADEF 所在平面与平面 ABCD 垂直, G,H 分别是 DF,BE 的中点.

(1)求证:GH∥平面 CDE;

(2)若 CD=2,DB=4 2,求四棱锥 F ABCD 的体积. 解析:(1)证明 解法一 ∵EF∥AD,AD∥BC, ∴EF∥BC. 又 EF=AD=BC, ∴四边形 EFBC 是平行四边形, ∴H 为 FC 的中点. 又∵G 是 FD 的中点,∴HG∥CD. ∵HG?平面 CDE,CD?平面 CDE, ∴GH∥平面 CDE. 解法二

连接 EA,∵四边形 ADEF 是正方形,∴G 是 AE 的中点. ∴在△EAB 中,GH∥AB. 又∵AB∥CD,∴GH∥CD. ∵HG?平面 CDE,CD?平面 CDE, ∴GH∥平面 CDE. (2)∵平面 ADEF⊥平面 ABCD,交线为 AD, 且 FA⊥AD,∴FA⊥平面 ABCD. ∵AD=BC=6,∴FA=AD=6. 又∵CD=2,DB=4 2,CD2+DB2=BC2,∴BD⊥CD. ∵S?ABCD=CD· BD=8 2, 1 1 ∴VF FA= ×8 2×6=16 2. ABCD= S?ABCD· 3 3 10.(2015 年开封摸底)已知四棱锥 S ABCD 中,四边形 ABCD 是直角梯形,∠ABC= 1 ∠BAD=90° ,SA⊥平面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,E 是棱 SC 的中点. 2

(1)求证:DE∥平面 SAB; (2)求三棱锥 S BED 的体积.

解析: (1)取线段 SB 的中点 F, 1 连接 EF,AF,则 EF∥BC 且 EF= BC, 2 1 由已知 AD∥BC 且 AD= BC, 2 所以 EF∥AD,且 EF=AD,所以 AF∥DE, 又 AF?平面 SAB,DE?平面 SAB, 所以 DE∥平面 SAB.

(2)因为 E 是棱 SC 的中点, 1 1 1 所以 VS BDE=VC BDE=VE BDC= S△BDC·SA= . 3 2 12 B 组 高考题型专练 1. (2014 年高考四川卷)在如图所示的多面体中,四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形. (1)若 AC⊥BC,证明:直线 BC⊥平面 ACC1A1; (2)设 D,E 分别是线段 BC,CC1 的中点,在线段 AB 上是否存在一点 M,使直线 DE∥ 平面 A1MC?请证明你的结论.

解析:(1)证明:因为四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都是矩形, 所以 AA1⊥AB,AA1⊥AC. 因为 AB,AC 为平面 ABC 内两条相交直线, 所以 AA1⊥平面 ABC. 因为直线 BC?平面 ABC,所以 AA1⊥BC. 又 AC⊥BC,AA1,AC 为平面 ACC1A1 内两条相交直线, 所以 BC⊥平面 ACC1A1. (2)取线段 AB 的中点 M,连接 A1M,MC,A1C,AC1,设 O 为 A1C,AC1 的交点. 由已知可知 O 为 AC1 的中点. 连接 MD,OE,则 MD,OE 分别为△ABC,△ACC1 的中位线,

1 1 所以 MD 綊 AC,OE 綊 AC,因此 MD 綊 OE. 2 2

连接 OM,从而四边形 MDEO 为平行四边形, 则 DE∥MO. 因为直线 DE?平面 A1MC,MO?平面 A1MC. 所以直线 DE∥平面 A1MC, 即线段 AB 上存在一点 M(线段 AB 的中点), 使直线 DE∥平面 A1MC. 2.(2014 年高考安徽卷)如图,四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 8 的正方形,四条侧棱 长均为 2 17,点 G,E,F,H 分别是棱 PB,AB,CD,PC 上共面的四点,平面 GEFH⊥ 平面 ABCD,BC∥平面 GEFH.

(1)证明:GH∥EF; (2)若 EB=2,求四边形 GEFH 的面积. 解析:(1)证明:因为 BC∥平面 GEFH,BC?平面 PBC,且平面 PBC∩平面 GEFH= GH,所以 GH∥BC. 同理可证 EF∥BC, 因此 GH∥EF. (2)连接 AC,BD 交于点 O,BD 交 EF 于点 K,连接 OP,GK. 因为 PA=PC,O 是 AC 的中点,所以 PO⊥AC,同理可得 PO⊥BD. 又 BD∩AC=O,且 AC,BD 都在底面内,所以 PO⊥底面 ABCD.又因为平面 GEFH⊥ 平面 ABCD,且 PO?平面 GEFH, 所以 PO∥平面 GEFH. 因为平面 PBD∩平面 GEFH=GK, 所以 PO∥GK,且 GK⊥底面 ABCD, 从而 GK⊥EF.

所以 GK 是梯形 GEFH 的高. 由 AB=8,EB=2 得 EB∶AB=KB∶DB=1∶4, 1 1 从而 KB= DB= OB,即 K 为 OB 的中点. 4 2

1 1 再由 PO∥GK 得 GK= PO,即 G 是 PB 的中点,且 GH= BC=4. 2 2 由已知可得 OB=4 2,PO= PB2-OB2= 68-32=6, 所以 GK=3. GH+EF 4+8 故四边形 GEFH 的面积 S= · GK= ×3=18. 2 2 3.如图,直三棱柱 ABC A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点.

(1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)设 AA1=AC=CB=2,AB=2 2,求三棱锥 C A1DE 的体积. 解析: (1)证明:连接 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点. 又 D 是 AB 中点,连接 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF?平面 A1CD,BC1?平面 A1CD,所以 BC1∥平面 A1CD.

(2)因为 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,所以 AA1⊥CD. 由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点,所以 CD⊥AB. 又 AA1∩AB=A,于是 CD⊥平面 ABB1A1. 由 AA1=AC=CB=2,AB=2 2得 ∠ACB=90°,CD= 2,A1D= 6,DE= 3,A1E=3,

故 A1D +DE =A1E ,即 DE⊥A1D. 1 1 所以 V 三棱锥 C -A1DE= × × 6× 3× 2=1. 3 2

2

2

2


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