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第6讲 向量的坐标表示


第六讲
【课前测试】

向量的坐标表示

设图 10—1,E,F 分别是 Rt△ABC 的斜边 BC 上的两个三等分点,已知 AB=3,AC=6, 则 AE ? AF ? _______

?

?

如图10-2,在△ABC 和△AEF 中,B 是 EF 的中点,AB=

EF=1,CA ? ? ? ? =CB=2,若 AB ? AE ? AC ? AF ? 2 ,则与的夹角等于________.

变试:等腰直角三角形 ABC 中,∠A=90°,AB= 2 ,AD 是 BC 边上的高,P 为 AD 的中点,点 M、N 分别为 AB 边和 AC 边上的点, 且 M、 N 关于直线 AD 对称, 当 PM ? PN ? ? 时,
? ? 1 2
AM ? MB

【知识要点】
一 向量的坐标表示 1.平面向量的坐标表示: 在直角坐标系中, 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底。由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量 a 可表示成 a ? xi ? y j ,由于

a 与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a =(x,y),其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做在 y 轴上的坐标。
(1) 若 a ? xi ? y j ,则 | a |?

x2 ? y 2

(2)若 A(x1,y1),B(x2,y2)则 AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) , | AB |? 表示相等向量的有向线段的始点、终点的坐标未必相同. (3) 向量相等?坐标相同。 2.平面向量的坐标运算 若 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ? 若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y) 若 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 3. 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? 则 向量共线: a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 向量垂直: a ? b , ? x1 ? x2 ? y1 ? y 2 ? 0

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

【课堂练习】
例1、 已知向量 a ? ( x ? 3, x2 ? 3x ? 4) 与 AB 相等,其中 A(1, 2) , B(3, 2) ,求 x ;

例 2、已知 A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) ,向量 AB 与 CD 平行吗?直线 AB 与平行 于直线 CD 吗?

例 3、已知 a = (4,2),求与向量 a 垂直的单位向量的坐标.

例 4、平面内给定三个向量 a ? ?3,2?, b ? ?? 1,2?, c ? ?4,1?,回答下列问题: (1)求满足 a ? mb ? nc 的实数 m,n; (2)若 a ? k c // 2b ? a ,求实数 k; (3)若 d 满足 d ? c // a ? b ,且 d ? c ?

?

??

?

? ?? ?

5 ,求 d

例 5、已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ? (Ⅰ)若 a ? b ,求 ? ; (Ⅱ)求 a ? b 的最大值。

?
2

?? ?

?
2



例 6、已知 ?ABC 中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC 边上的高为 AD,求 AD 。

1、若 a=(2,3),b=(4,-1+y),且 a∥b,则 y=( A.6 B.5 C.7

) D.8 ( )

2、已知向量 a、b 满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|等于

A.1

B. 2

C. 5

D. 6

3、若 i = (1,0), j =(0,1),则与 2i+3j 垂直的向量是 4、已知向量 a ? ?3,2?,b ? ?? 1,1? ,向量 m 与 3a ? 2b 平行,︱ m ︱=4 137 则向量 m 的坐 标是_____________ 5、已知向量 a ? (?2,2),b ? (5, k ).若 | a ? b | 不超过 5,则 k 的取值范围是 6、 已知平行四边形 ABCD 四个顶点的坐标为 A(5, 7), B(3,x),C(2,3),D(4,x), 则 x= 7、若向量 a =(-1,x)与 b =(-x, 2)共线且方向相同,求 x .

?

?

?

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?

?

?

8、已知 A、B、C 三点坐标分别为(-1,0)、(3,-1)、(1,2), AE = 证: EF ∥ AB

1 1 AC , BF ? BC ,求 3 3

9、已知向量 m ? (cos ? ,sin ? ) 和 n ? ( 2 ? sin ? ,cos? ),? ? (? , 2? ) ,且 m ? n ? 求 cos(

8 2 , 5

?

? ) 的值 2 8

?

王新敞
奎屯

新疆

? ? 设 e1、e2 是夹角为 60°的两个单位向量,已知 OM =e1, O N ? ? ? =e2, OP =x· OM +y· O N (x,y 为实数).若△PMN 是以 M 为直角顶点的直

【经典练习】

角三角形,则 x-y 取值的集合为________.
2 已知 e1,e2是夹角为 ? 的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若 a·b=0, 3 则实数 k 的值为________.

【课后练习】
1、若 A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则 x 的值为( A.-3 B.-1 C.1 D.3 .

2、 已知点 A (1, 2) , 若向量 AB 与 a = (2, 3) 同向, | AB |=2 13 , 则点 B 的坐标为 3、已知 a=(4,2),b=(6,y),且 a∥b,则 y= . 4、已知向量 OA ? (k ,12), OB ? (4,5), OC ? (?k ,10), ,且 A.B.C 三点共线,则 k= 5、已知 a =(-1, 3), b =(2, -1),若(k a + b )⊥( a -2 b ),则 k= 6、已知 a ? ?1,2?, b ? ?x,1?, 且 a ? 2b 与 2a ? b 平行,则 x=______ 7、已知向量 a=(3,-4) ,b=(2,x) , c=(2,y)且 a∥b,a ? c.求|b-c|的值. .

.

8、已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 的坐标分别为(-2,1) 、 (-1,3) 、 (3,4) ,求顶点 D 的坐标.

家长反馈__________________________家长签名________________


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