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高中数学题库-平面解析几何初步


1. 直线方程
(一)直线的位置关系
1. 已知集合 A ? ?( x, y)

? ?

? y ?3 ? a ? 1? , B ? ( x, y ) (a 2 ? 1) x ? (a ? 1) y ? 15 ,若 x?2 ?

?

?

A ? B ? ?

,则 a 的值为____________________
2.若直线 2 x ? (m ? 1) y ? 4 ? 0 与直线 mx ? 3 y ? 4 ? 0 平行,则 m ? . ?3

3. 已知 m?{?1,0,1},n?{?1,1},若随机选取 m,n,则直线 mx ? ny ? 1 ? 0 恰好不经 过第二象限的概率是 . .

? x ? y ≥3, ? 4.已知实数 x , y 满足约束条件 ? y ≤ 3, 则 z ? 5 ? x2 ? y 2 的最大值为 ? x ≤ 3, ?

1 2

5. 已知两条直线 l1 , l 2 的斜率分别为 k1 , k 2 (0 ? k1 ? k 2 ) ,设 l1 , l 2 的夹角(锐角)为 ? . (1)求证: tan? ?

k 2 ? k1 1 ? k1 k 2

(2)求直线 2 x ? y ? 1 ? 0 与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 的夹角 ? 6. 求函数 y ? 7. 求函数 y ?

x 2 ? 2 x ? 5 ? x 2 ? 4 x ? 13 的最小值. x 2 ? 4 x ? 13 ? x 2 ? 2 x ? 5 的最小值.
2 2

8. 若 x ? 2 ? y ? 2 ? 1,则 x ? y 的最大值为_______. 9. 已知直线 l 过不同的两个点 A(cos? , sin ___________. ? 0,
2

? ) , B(0,1) ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是

? ? ? ? 3? ? ? ,? ? ? 4? ? ? ?4 ?

(二)直线应用题
OB , 1. 如图所示, 有两条道路 OM 与 ON ,?MON ? 60 , 现要铺设三条下水管道 OA ,
0

AB (其中 A , B 分别在 OM ,ON 上) ,若下水管道的总长度为 3km ,设 OA ? a(km) ,

OB ? b(km) .
(1)求 b 关于 a 的函数表达式,并指出 a 的取值范围; ( 2 )已知点 P 处有一个污水总管的接 口,点 P 到 OM 的距离 PH 为

N B b P

3 km , 4

到点 O 的距离 PO 为

7 km ,问下水管 4

道 AB 能否经过污水总管的接口点 P ? 若能, 求出 a 的值, 若不能, 请说明理由. 解:建系,检验是否三点共线即可 2. 如图在矩形 ABCD 中,已知 AB=3AD,E,F 为 AB 的两个三等分点,AC,DF 交于点 G. (Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,证明:EG ? DF; (Ⅱ)设点 E 关于直线 AC 的对称点为 E? ,问点 E? 是否在直线 DF 上,并说明理由.

O

a

H A

M

证明: (Ⅰ)如图,以 AB 所在直线为 x 轴,以 AD 所在直线为 y 轴建立直角坐标系,设 AD 长度为 1, 则可得 A(0, 0) , D(0,1) , E (1, 0) , F (2, 0) , C (3,1) .
1 所以直线 AC 方程为 y ? x ,① 3 1 直线 DF 方程为 y ? ? x ? 1,② 2 6 2 由①②解得交点 G ( , ) . 5 5

???????2 分

??????? 4 分 ??????? 6 分

∴EG 斜率 k EG ? 2 ,又 DF 斜率 k DF ? ? ∴ kEG ? kDF ? ?1 ,即有 EG ? DF. (Ⅱ)设点 E ?( x1 , y1 ) ,则 EE ? 中点 M (
? y1 1 x1 ? 1 ? ? , ? ?2 3 2 由题意得 ? ? y1 ? 1 ? ?1, ? ? x1 ? 1 3

1 , 2
??????? 8 分

x1 ? 1 y1 , ), 2 2

??????? 11 分

4 3 解得 E?( , ) . 5 5

??????? 14 分



3 1 4 ? (? ) ? ? 1 , 5 2 5

∴点 E? 在直线 DF 上.

??????? 16 分

3. 如图,O 为总信号源点,A,B,C 是三个居民区,已知 A,B 都在 O 的正东方向上, OA = 10 km ,OB = 20 km ,C 在 O 的北偏西 45° 方向上,CO = 5 2 km . (1)求居民区 A 与 C 的距离; (2)现要经过点 O 铺设一条总光缆直线 EF(E 在直线 OA 的上方) ,并从 A,B,C 分别 铺设三条最短分光缆连接到总光缆 EF.假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正 比,比例系数为 m(m 为常数) .设∠AOE = θ(0≤θ < π ) ,铺设三条分光缆的总费用为 w (元) . ① 求 w 关于 θ 的函数表达式; ② 求 w 的最小值及此时 tan ? 的值.
E θ O A F B C 北

(第 18 题)

在平面直角坐标系中,直角梯形 AOBC 的位置如图所示,∠OAC=90°,AC∥OB,OA =4,AC=5,OB=6.M、N 分别是线段 AC、线段 BC 上的动点,当△MON 的面积最大 且周长最小时,点 M 的坐标为 _______ .

2. 圆的方程
1. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知直线 3 x ? y ? 6 ? 0 与圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 交于

A , B 两点,则直线 OA 与直线 OB 的倾斜角之和为



? 3

2. 已 知 x, y ? R, 集 合 A ? ( x, y) x 2 ? y 2 ? 1 , B ? ?( x, y)

?

?

? ?

x y ? ? ? 1, a ? 0, b ? 0? , 若 a b ?

A B 只有一个元素,则 a , b 应满足的关系为__________
2 2 2 3. 已知 r ? 0 , 集合 M ? ( x, y ) x ? y ? 1 , N ? ( x, y) x ? y ? r , 若M

?

?

?

?

N ?M ,

则 r 的最大值为______________;若 M
2 2

N ? N , 则 r 的最小值为_____________

2 , 1 2

4. 已知圆 C : ( x ? a) ? ( y ? a) ? 1(a ? 0) 与直线 y ? 3x 相交于 P , Q 两点,若

?PCQ ? 900 ,则实数 a ?
0



变式 1 “ ?PCQ ? 90 ”改为所求三角形 CPQ 面积最大,则实数 a=_____. 变式 2“ ?PCQ ? 90 ”中 900 改为 600,则实数 a=________.
0

变式 3“ ?PCQ ? 900 ”中“=”改为“<” ,则实数 a 的取值范围为__________. 5. 一类存在性问题探究 例: (2013 年苏锡常镇徐连一模)若对于给定的正实数 k ,函数 f ( x) ?

k 的图像上总存 x

在点 C ,使得以 C 为圆心,1 为半径的圆上有两个不同的点到原点 O 的距离为 2,则 k 的 取值范围是 解法 1:可转化为双向不等式的有解问题,即 1 ?

x2 ?

9 k2 ? 3 ,解得: 0 ? k ? 2 2 x
9 2

解法 2:可利用图像研究其充要条件为: 2k ? 9 ,解得: 0 ? k ?

原型: (2012 年江苏高考题)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 , 若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 _____________ 6. 已知圆 C 的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别为 A(1, ?1) , B(3,5) . (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若过点 M (?2, 0) 的直线 l 与圆 C 有且只有一个公共点,求直线 l 的方程. 解: (Ⅰ)由题意得圆心 C (2, 2) , 半径 R ? AC ? 10 , 所以圆 C 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 10 .
2 2

?????? 2 分 ?????? 4 分 ?????? 6 分

(Ⅱ)显然直线 l 不可能垂直 x 轴,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) , 因为直线 l 与圆 C 有且只有一个公共点, 所以圆心到直线的距离 d ? 解得 k ? 3 或 k ? ? .

| 2k ? 2 ? 2 k | k 2 ?1

? 10 ,

?????? 9 分

1 3

?????? 12 分

所以直线 l 的方程为 3x ? y ? 6 ? 0 或 x ? 3 y ? 2 ? 0 .

?????? 14 分

7. 若圆 x2 ? y 2 ? m2( m ? 0) 与圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 11 ? 0 相交,则实数 m 的取值范围 为 . (1,11)

8. 在直角坐标系 xOy 中, 已知 A (?1, 0) , B (0, 1) , 则满足 PA2 ? PB 2 ? 4 且在圆 x2 ? y 2 ? 4 上的点 P 的个数为 . 2

9. 在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 C1:x2 ? y 2 ? 4x ? 8 y ? 19 ? 0 关于直线 l:x ? 2 y ? 5 ? 0 对 称的圆 C2 的方程为 . x2 ? y 2 ? 1

10. 已知圆 O 的方程为 x2 ? y2 ? r2(r 为正的常数) , 设 P(m,n)为平面内的一个定点,求证:存在定点 Q,使得对圆 O 上的任意一点 M,均有
MP 为定值. MQ

11. 已知 x, y ? R ,且 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 ,求证: x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 ? 0 . 圆构成的区域的包 含关系.

12. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F ?与 F,圆 F : 4

? x ? 3?

2

? y2 ? 5 .

(1)设 M 为圆 F 上一点,满足 MF' ? MF ? 1 ,求点 M 的坐标;

(2)若 P 为椭圆上任意一点,以 P 为圆心,OP 为半径的圆 P 与圆 F 的公共弦为 QT, 证明:点 F 到直线 QT 的距离 FH 为定值.
y

F'

Q

O H

F x

P
T

3. 动态问题研究
2 2

(第 17 题)

1. 已知圆 M: ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 4 ,过 x 轴上的点 P ( a, 0) 存在一直线与圆 M 相交,交 点为 A、B,且满足 PA=BA,则点 P 的横坐标 a 的取值范围为 .

2 2 2 ? ? MC ? m ? r AB MP C MC AB ? 2 m 解:取 中点 ,连接 、 ,设 则? 相减得 2 2 2 ? ? MC ? ? 3m ? ? MP

MP2 ? 8 m2 ? r2 ? 8 m2 ? 4, 0 ? m ? r
∴1? 3 3 ? a ? 1? 3 3

2 2 ∴ MP ? 8m ? 4 ? 36 , 即 (a ?1) ? 3 ? 36
2 2

y

B

M



A

o

P

x

2. 已知 A = { (x,y) | x2 ? y2 ≤4 },B = { (x,y) | (x ? a)2 ? (y ? a)2≤2a2,a ? 0 },则 A∩B 表示区域的面积的取值范围是___________. (0,2π) 3. 分别在曲线 y ? e 与直线 y ? ex ? 1 上各取一点 M 与 N ,则 MN 的最小值为
x



1 e2 ? 1
专题思考:两条曲线,两个动点问题的研究很不容易;所以研究这类问题我们的想法是能 不能先定一个点,只研究一个动点问题; 变式 1: (2012 年新课标全国理科卷)设点 P 在曲线 y ?

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 2

上,则 PQ 的最小值为____________ 两函数互为反函数; 2 (1 ? ln 2)

y2 x2 2 ? ? 1 与圆 ( x ? 1 变式 2: 在椭圆 则 MN 的最小值为_____ ) ? y 2 ? 1 各取一点 M,N, 4 2

6 ?1
变式 3:已知 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ), x1 x2 ? 0 是双曲线 y ? 值为___________.

3 图像上两点,则 MN 的最小 x

2 6

改编自 2011 年江苏高考题:在平面直角坐标系 xoy 中,过坐标原点的一条直线与函数

f ?x ? ?

2 的图象交于 P, Q 两点,则线段 PQ 长的最小值为 x

背景:在双曲线中,两个实轴顶点间的距离为所求最小值 变式 4:如果 M 是函数 y ? f ( x) 图像上的点, N 是函数 y ? g ( x) 图像上的点,且 M , N 两 点之间的距离 MN 能取到最小值 d , 那么将 d 称为函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 之间的距离.

按这个定义,函数 f ( x) ?

x 和 g ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? 3 之间的距离是

7 ?1 2

4. 在平面直角坐标系 xOy 中,若动点 P (a , b) 到两直线 l1 : y ? x 和 l2 : y ? ? x ? 2 的距离 之和为 2 2 ,则 a 2 ? b2 的最大值为 解:由题意得: a ? b ? a ? b ? 2 ? 4 . 18

? a ? b, ? a ? b, ? ? 2 2 (1) ?a ? b ? 2, 此时 a ? b 的最大值为 18 ; (2) ?a ? b ? 2, 此时 a 2 ? b2 的最大值为 10; ? a ? 3. ? a ? ?1. ? ?

? a ? b, ? a ? b, ? ? 2 2 (3) ?a ? b ? 2, 此时 a ? b 的最大值为 10; (4) ?a ? b ? 2, 此时 a 2 ? b2 的最大值为 18 . ?b ? ?1. ?b ? 3. ? ?
5. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 16 ,点 P(1,2) ,M,N 为圆 O 上不同的 两点,且满足 PM ? PN ? 0 .若 PQ ? PM ? PN ,则 PQ 的最小值为 .
3 3? 5

妙解: PQ ? 2 PR ,由题意得 PR ? OR ? 16 ,可得点 R 所在的轨迹方程为:

2

2

1 27 ( x ? ) 2 ? ( y ? 1) 2 ? ,可得最小值 2 4

6. 已知 A = { (x,y) | x2 ? y2 ≤4 },B = { (x,y) | (x ? a)2 ? (y ? a)2≤2a2,a ? 0 },则 A∩B 表
示区域的面积的取值范围是___________.

7. 已知圆 C:x2 ? y2 ? 1,点 P(x0,y0)在直线 x ? y ? 2 ? 0 上,O 为坐标原点,若圆 C 上存
在点 Q,使∠ OPQ ? 30?,则 x0 的取值范围是 . 8. 已知实数 a,b,c 成等差数列,点 P( ? 1,0)在动直线 ax ? by ? c ? 0 上的射影为 M,点 N(2,1) ,则线段 MN 长的取值范围是____________.
2 2 9. 过点 P ( ,1) 的直线 l 与圆 C : ( x ?1) ? y ? 4 交于 A,B 两点,当∠ ACB 最小时,直

1 2

线 l 的方程为

. .

10. 点 P 为单位圆 O 外的一点, PA, PB 为圆 O 的两条切线, 则 PA ? PB 的最小值为

11. 设 m, n ? R ,若直线 (m ? 1) x+(n ? 1) y ? 2=0 与圆 x2 +y 2 =1 相切,则 m+n 的最大值是 _________. 12. 曲线 C: y ?

1 与 y 轴的交点关于原点的对称点称为“望点”,以“望点”为圆心, | x | ?1

凡是与曲线 C 有公共点的圆,皆称之为“望圆”,则“望圆”面积的最小值为



x 2 13. 设 F ( x, y ) ? ( x ? y ) 2 ? ( ? ) 2 , 对于一切 x, y∈R , y≠0,F ? x, y ? 的最小值为________. 2 y

14. 已知集合 A ? {( x, y ) | ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? } , B ? {( x, y) | 2 | x ? 3 | ? | y ? 4 |? ?} , 若A

4 5

B ? ? ,则实数 ? 的取值范围是__________.

变式: (2008 浙大自主招生)已知集合 A ? ?( x, y) ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ?

? ?

4? ?, 5?

B ? ( x, y ) x ? 1 ? 2 y ? 2 ? a ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是_______. a ? 2
15. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P(3,0) 在圆 C : x2 ? y 2 ? 2mx ? 4 y ? m2 ? 28 ? 0 内, 动直线 AB 过点 P 且交圆 C 于 A, B 两点,若△ABC 的面积的最大值为 16 ,则实数 m 的取 值范围为 . [3 ? 2 3,3 ? 2 7) (3 ? 2 7,3 ? 2 3]

?

?

讲评建议:设圆心角为θ,α<=θ<180 度,则??,所以α<=90 度. 则弦长小于等于 4,圆心距大于等于 4,又??

16. 设 t∈R,[t]表示不超过 t 的最大整数.则在平面直角坐标系 xOy 中,满足[x]2+[y]2=13
的点 P(x,y)所围成的图形的面积为 .8.

解:本题主要考查运用所学知识分析问题与解决问题的能力. 先考察点当 x≥0,y≥0 的情形.由[x]2+[y]2=13,得
?[ x] ? 2, ?[ x] ? 3, ?2 ? x ? 3, ?3 ? x ? 4, 所以, ? ? ? ? ?[ y] ? 3, ?[ y] ? 2. ?3 ? y ? 4, ?2 ? y ? 3.

从而,当 x≥0,y≥0 时,P(x,y)所围成的图形的面积为 2. 其次,由对称性,点 P 在坐标平面内所围成的图形面积为 4×2=8.

可求解下列变式题:变[x]2+[y]2=13 为[x]2+[y]2=25,则面积为 16. 17. 在平面直角坐标系中, A, B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆 C 与直 线 2 x ? y ? 4 ? 0 相切,则圆 C 面积的最小值为__________. 4π/5 【解】以 AB 为直径的圆过坐标原点,则原点到直线距离即为圆直径的最小值.


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