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【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.1知能优化训练 人教A版选修1-2


1.双曲线的两焦点坐标是 F1(3,0),F2(-3,0),2b=4,则双曲线的标准方程是 ( ) A. - =1 5 4

x2 y2 x2 y2

B. - =1 5 4

y2 x2 x2

C. - =1 D. - =1 3 2 9 16 答案:A 2.方程 x= 3y2-1所表示的曲线是(

) A.双曲线 B.椭圆 C.双曲线的一部分 D.椭圆的一部分 解析:选 C.依题意:x≥0,方程可化为:3y2-x2=1,所以方程表示双曲线的一 部分.故选 C. 3. 已知双曲线的焦点在 x 轴上, 且 a+c=9, b=3, 则它的标准方程是________. 答案: - =1 16 9 4.根据下列条件,求双曲线的标准方程. 15? ? ? 16 ? (1)过点 P?3, ?,Q?- ,5?且焦点在坐标轴上; 4? ? ? 3 ? (2)c= 6,经过点(-5,2),焦点在 x 轴上.

y2

x2

y2

x2 y2 解:(1)设双曲线方程为 + =1(mn<0). m n
9 225 ? ?m+16n=1, ∵P,Q 两点在双曲线上,∴? 256 25 ? ? 9m + n =1, ∴所求双曲线的方程为 - =1. 9 16 (2)∵焦点在 x 轴上,c= 6, ∴设所求双曲线的方程为 ?m=-16, 解得? ?n=9,

y2

x2

x2
λ



y2
6-λ

=1(0<λ <6).

∵双曲线过点(-5,2), 25 4 ∴ - =1, λ 6-λ 解得 λ =5 或 λ =30(舍去), ∴所求双曲线的方程为 -y2=1. 5 一、选择题
1

x2

1.动点 P 到点 M(1,0)及点 N(3,0)的距离之差为 2,则点 P 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 解析:选 D.由已知|PM|-|PN|=2=|MN|,所以点 P 的轨迹是一条以 N 为端点的 射线. 2.设动点 P 到 A(-5,0)的距离与它到 B(5,0)距离的差等于 6,则 P 点的轨迹方 程是( ) A. - =1 9 16

x2 x2

y2 y2

B. - =1 9 16

y2 x2

x2 y2

C. - =1(x≤-3) D. - =1(x≥3) 9 16 9 16 解析:选 D.由题意 c=5,a=3,∴b=4. ∴点 P 的轨迹方程是 - =1(x≥3). 9 16 3.(2010 年高考安徽卷)双曲线方程为 x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为( 2 5 A.( ,0) B.( ,0) 2 2 C.( 6 ,0) 2 D.( 3,0)
2

x2

y2

)

解析:选 C.将双曲线方程化为标准形式 x - =1, 1 2 1 6 2 2 2 2 所以 a =1,b = ,∴c= a +b = , 2 2 ∴右焦点坐标为( 6 ,0).故选 C. 2 )

y2

x2 y2 x2 y2 4.椭圆 + 2=1 与双曲线 - =1 有相同的焦点,则 a 的值是( 4 a a 2
1 A. 2 C.1 或 1 2
2

B.1 或-2 D.1

?a>0, 解析:选 D.依题意:?0<a <4, ?4-a =a+2.
2

解得 a=1.故选 D. 5.k>9 是方程

x2
9-k



y2 k-4

=1 表示双曲线的(

)

A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 解析:选 B.当 k>9 时,9-k<0,k-4>0,方程表示双曲线.当 k<4 时,9-k>0, k-4<0,方程也表示双曲线.
2

∴k>9 是方程

x2
9-k



y2 k-4

=1 表示双曲线的充分不必要条件.

6.双曲线 - =1 上一点 P 到点(5,0)的距离为 15,那么该点到点(-5,0)的 16 9 距离为( ) A.7 B.23 C.5 或 25 D.7 或 23 解析:选 D.(-5,0)和(5,0)都是双曲线的焦点,||PF1|-|PF2||=8,∴|PF1|= 15+8 或 15-8,即 7 或 23. 二、填空题 7.过点(1,1)且 = 2的双曲线的标准方程为________. 答案: -y =1 或 -x2=1 1 1 2 2 8. 椭圆 + 2=1 和双曲线 2- =1 有相同的焦点,则实数 n 的值是________. 34 n n 16

x2

y2

b a

x2

2

y2

x2

y2

x2

y2

x2 y2 =1 的焦点在 x 轴上, n 16 x2 y2 ∴c2=n2+16,且椭圆 + 2=1 的焦点在 x 轴上, 34 n 2 2 2 ∴c =34-n ,∴n +16=34-n2, ∴n2=9,∴n=±3.
解析:因为双曲线 2- 答案:±3 9.(2010 年高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 - =1 上一 4 12 点 M 的横坐标是 3,则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为________.

x2

y2

解析:∵ - =1, 4 12 ∴当 x=3 时,y=± 15. 又∵F2(4,0), ∴|AF2|=1,|MA|= 15, ∴|MF2|= 1+15=4. 故填 4. 答案:4 三、解答题 10.已知方程

x2

y2

x2
2-k



y2 k-1

=1 表示的图形是:(1)双曲线;(2)椭圆;(3)圆.试
3

分别求出 k 的取值范围. 解:(1)方程表示双曲线需满足(2-k)(k-1)<0, 解得 k>2 或 k<1. 即 k 的取值范围是(-∞,1)∪(2,+∞).

?2-k>0, (2)方程表示椭圆需满足?k-1>0, ?2-k≠k-1.
3 解得 1<k<2 且 k≠ . 2 3 3 即 k 的取值范围是(1, )∪( ,2). 2 2 3 (3)方程表示圆需有 2-k=k-1>0,即 k= . 2 11.已知与双曲线 的标准方程. 解:已知双曲线 - =1. 16 9 据 c2=a2+b2,得 c2=a2+b2=16+9=25,∴c=5. 设所求双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0). 依题意,c=5,∴b2=c2-a2=25-a2, 故双曲线方程可写为 2- ? ? y2 5 - =1 共焦点的双曲线过点 P?- ,- 6?,求该双曲线 16 9 ? 2 ?

x2

x2

y2

x2 y2 a b

x2 y2 =1, a 25-a2

? ? 5 点 P?- ,- 6?在双曲线上, ? 2 ? ? 5? ?- ?2 - 6 2 ? 2? ∴ - =1. a2 25-a2 化简得,4a4-129a2+125=0, 125 解得 a2=1 或 a2= . 4 125 125 25 又当 a2= 时,b2=25-a2=25- =- <0,不合题意. 4 4 4 ∴所求双曲线标准方程是:x2-

y2
24

=1.

12.如图所示,在△ABC 中,已知|AB|=4 2,且三内角 A,B,C 满足 2sin A+ sin C=2sin B,建立适当的坐标系,求顶点 C 的轨迹方程.

4

解:如图所示,以 AB 边所在的直线为 x 轴,AB 的垂直平分线为 y 轴,建立直角 坐标系,则 A(-2 2,0),B(2 2,0). 由正弦定理, 得 sinA= sinC=

a b ,sinB= , 2R 2R

c (R 为△ABC 外接圆半径). 2R ∵2sinA+sinC=2sinB, ∴2a+c=2b, c 即 b-a= .
2 1 从而有|CA|-|CB|= |AB| 2 =2 2<|AB|. 由双曲线的定义知,点 C 的轨迹为双曲线的右支. 且 a= 2,c=2 2, ∴b2=c2-a2=6. 所以顶点 C 的轨迹方程为

x2 y2
2

- =1(x> 2). 6

5


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