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定积分的概念


《定积分的概念》教学设计 《定积分的概念》位于人教版选修 2-2 第一章,第五节,第二讲。在此之前已 经学过导数及极限,并且也学习了曲边梯形面积的求解以及匀变速直线运动物 体路程的求解。知道定积分求解过程为分割,近似,求和,取极限。本节课讲 解定积分的概念,是对之前内容的承接,也对下节《微积分基本定理》作为预 备知识。 教授对象为高二学生,具备良好的抽象思维和形象思维,模仿能力也

很强。并 且学生在学习《定积分概念》之前学过极限,求导,也学习了曲边梯形以及匀 变速直线运动的路程,对定积分的求解过程已经很了解,因此只需要将定积分 的求解过程抽象为一般问题定积分的求法就是定积分的概念。 了解定积分的概念,学会利用定积分的概念去解决实际问题。 体会定积分的思想(以直代曲) 。 通过本课的学习,使学生了解定积分的概念以及利用积分的概念求函数积分的 方法。

教材分析

学情分析

教学重点 教学难点 知识 与技 能 教 学 目 标 过程 与方 法 情感 态度 与价 值观

通过对比之前学习定积分求解面积的方法,将问题归为一类,用通用的语言表 达函数积分的求解过程,从而推导出定积分的概念。 通过学习,提高学生对数学学习的热情,养成严谨的学习态度。

教学方法

主要运用讲授法,并结合启发式教学,并结合前两节学习过的例题,一个是求 曲边梯形的面积,一个是求解匀变速运动的路程,仿造这两个例题的解法,求 解一般函数的积分面积,从而对函数积分的求解方法与思想有一定的把握,在 引入定积分的概念, 帮助同学对定积分的理解, 加深同学对定积分思想—— “以 直代曲”的体会。 彩色粉笔,黑板,投影仪(展示图形) 教学过程 课时:1 课时 学生活动 设计意图 通过回顾 之前学过 的内容, 让 同学们回 忆起定积 分求解函 数积分面 积的过程, 从而引入 新课。 教师活动

教学准备 教学步骤

教师提问:从前面所学的求曲边梯形面 回答: 分割, 近似代替, 积以及匀变速直线运动路程的过程,可 求和,取极限。 以抽象为哪几个过程? 回答:以直代曲 板书:分割,近似代替,求和,取极限。 教师提问:那么在求解曲边梯形面积以 复习旧课 及匀变速直线运动路程的过程中,我们 (5 分钟) 用到的是什么思想? 板书:以直代曲。 解释以直代曲:就是我们把一个不规则 的图形,如图所示,分割成 n 个更小的 图形,把曲线近似地可以看成直线,因 此这个小图形就可以看成矩形,我们可

以通过求解这些小矩形的面积和来求解 这个打图形的面积。

对于上面两类问题:都可以归结为求一 个特定形式和的极限: 曲边梯形面积

学生求解: (1)将其 n 等分,则 每等分的右端点为:

1 s ? lim ? f (?i )?x ? lim ? f (? i ) ?x ?0 n ?? i ?1 i ?1 n
匀变速运动的路程:
n n 1 s ? lim ? v(?i )?t ? lim ? v(? i ) ?t ?0 n?? i ?1 i ?1 n

n

n

那么对于一般的函数 y ? f ( x) 如图所 引入新课 示,如何求解它在区间[a,b]之间的面积 (10 分钟) 呢?同学们仿造前面所学例题,看能否 用相同的方法求解它的面积呢?

b?a ; n 2(b ? a ) a? ; n 3(b ? a ) a? ....... n (n ? 1)(b ? a) a? n a?
(2)近似代替: 将这 n 个小曲边梯形 近似代替为矩形。 则每 个小矩形的面积为

si ?

b?a f (?i ) n
n

(3)求和:

?s ? ?
i ?1 i i ?1

n

b?a f (?i ) n

学生通过 模仿, 自己 用分割, 近 似替代, 求 和, 取极限 的方法来 求解一般 函数的定 积分, 使得 定积分求 解过程在 学生头脑 中更加具 体, 因此再 来引入定 积分的概 念, 同学们 会更加容 易接受。

(4)取极限:

s ? lim ? si
n ?? i ?1

n

? lim ?
n ?? i ?1

n

b?a f (?i ) n

通过我们对一般函数类似处理问题的过程,我们可以将我们的上面的过程用语 言概括为这样的一句话(请同学起来读) :一般地,如果函数 f ( x ) 在区间[a,b] 上连续,用分点 a ? x0 ? x1 ? ??? ? x
i ?1

? xi ? ??? ? xn ? b 将区间[a,b]分成 n 个

小区间,在每个小区间 [ xi ?1 , xi ] 上任取一点 ?i (i ? 1, 2, ???, n) 作和式

? f (?i )?x ? ?
i ?1

n

b?a f (?i ) n i ?1
n

引出概念 上述和式无限接近某个常数, 这个常数叫作函数 f ( x ) 在区间[a,b] (5 分钟) 当 n ?? 时, 上的定积分,记作

?

b

a

f ( x)dx ,即

?

b

a

f ( x)dx ? lim ?
n ??

b?a f (?i ) n i ?1
n

这里。 区间[a,b]叫作积分区间, 函数 f ( x ) a 与 b 分别叫作积分上限与积分下限, 叫作被积函数, x 叫作积分变量, f ( x)dx 叫作被积式。 (1)函数 f ( x ) 得是连续函数,对于分段函数,如图: 对容易忽 视的问题 进行着重 强调, 加强 学生的认 知

对定义的 几点说明 (5 分钟)

必须得进行分段求解 (2)根据定积分的概念,1.5.1 中曲边梯形的面积

s ? ? x 2 dx ?
0 1

1

1 3
1

同样地,1.5.2 中汽车在 0 ? t ? 1 这段时间内经过的路程

s ? ? v(t )dt ? ? (?t 2 ? 2)dt ?
0 0

5 3

思考与探 对于被积函数 f ( x) ? 0 ,说说它定积分表示的意义? 究 (5 分钟)

从几何上看,如果在区间[a,b]上函数 f ( x ) 连续且恒有 f ( x) ? 0 ,那么定积分

?

b

a

f ( x)dx 表示由直线 x ? a, x ? b, y ? 0 和曲线 y ? f ( x) 所围成的曲边梯形,

如图所示的阴影部分的面积.这就是定积分

?

b

a

f ( x)dx 的几何意义。

提高:根据定积分的几何意义,你能用定积分表示如图中阴影部分的面积吗?

s ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx
a a

b

b

例 1:利用定积分的定义,计算 解: (1)分割

?

1

0

x3dx 的值

1 练习巩固 将区间[0,1]等分为 n 部分,则每个小区间的长度为 ?x ? (5 分钟) n (2)近似替代,作和
取 ?i ?

通过练习, 加深同学 对积分符 号的理解

i (i ? 1, 2,3 ??? n) ,则 n

n i 3 x dx ? S ? f ( )??x ? n ?0 n i ?1 1

i 1 1 n ? ? ( ) ? ? 4 ? i3 n n i ?1 i ?1 n 1 1 ? 4 ? n 2 (n ? 1) 2 n 4 1 1 ? (1 ? ) 2 4 n
(3)取极限

n

3

?
定积分性 质 (5 分钟)

1 1 1 x3dx ? limSn ? lim (1 ? ) 2 ? 0 n ?? n ?? 4 n 4
1

有定积分定义,可以得到定积分的如下性质:

(1)? kf ( x) ? k ? f ( x)dx(k为常数)
a a

b

b

(2) ? [ f1 ( x) ? f 2 ( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx
a a a

b

b

b

(3)

?

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx(其中a ? c ? b)
a c

c

b

思考:如何求解图中阴影部分的面积。

作业

板书设计 定积分的概念 分割,近似代替,求 和,取极限。 思想:以直代曲 对于一般的函数 y ? f ( x) 投影仪

教学反思


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