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高2016届1轮复习理科第二章 函数(学案)


戴氏教育精品堂蜀汉路校区

教师:周老师

学生:

2.1 函数及其表示

1. 函数的基本概念 (1)函数的定义 设集合 A 是一个非空的数集,对 A 中的任意数 x,按照确定的法则 f,都有唯一确定的数 y 与它对应, 则这种对应法则叫做集合 A 上的一个函数.记作 y=f(x),x∈A,其中

x 叫做自变量. (2)函数的定义域、值域 定义域:函数 y=f(x)自变量取值的范围(数集 A)叫做这个函数的定义域. 值域:所有函数值构成的集合{y|y=f(x),x∈A}叫做这个函数的值域. (3)函数的两个要素:定义域和对应法则. 2. 映射 设 A,B 是两个非空集合,如果按照某种对应法则 f,对 A 中的任意一个元素 x,在 B 中有一个且仅有 一个元素 y 与 x 对应,则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射.这时,称 y 是 x 在映射 f 的作用下的象,记作 f(x).于是 y=f(x),x 称作 y 的原象.映射 f 也可记为 f:A→B,x→f(x).其中 A 叫做映射 f 的定义域(函 数定义域的推广),由所有象 f(x)构成的集合叫做映射 f 的值域,通常记作 f(A). 3. 分段函数 若函数在其定义域内,对于自变量 x 的不同取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分 段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.

具体函数定义域的求法; 1.整式函数的定义域为 3.偶次根式函数被开方式 5.函数 f ( x) ? x 的定义域为
0

; 2. 分式函数中分母 ; 4.一次函数,二次函数的定义域为 ; ;对数函数的定义域为 ;

; ;

6.指数函数的定义域为

1

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教师:周老师

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抽象函数的定义域求法: (1)已知 f ( x) 的定义域,求 f ( g ( x)) 的定义域,其实质是有 g ( x) 的取值范围求出 x 的 取值范围; (2)已知 f [ g ( x )]的定义域,求 f ( x) 的定义域,其实质是由 x 的取值范围,求 g ( x) 的取 值范围; (3)已知 f [ g ( x )] 的定义域,求 f [ h( x )] 的定义域,先由 x 的取值范围,求出 g ( x) 的取 值范围,再由 h( x) 的取值范围,求出 x 的取值范围;
2 例如: (1)已知函数 f ( x) 的定义域为 [1, 4 ] ,求 f ( x ) 的定义域。

(2)已知 y ? f ( x ? 1) 的定义域为 [1, 2 ] ,求下列函数的定义域。 A f ( x) B. f ( x ? 3) C f (x )
2

求函数解析式的方法: 1. 配凑法:由已知条件 f ( g ( x)) ? F ( x) ,可将 F ( x) 改写成关于 g ( x) 的表达式,然后在以 x 代替 g ( x) 2. 待定系数法:告诉了已知函数的类型; 3. 换元法 5.代入法; 4. 列方程组法:已知关于 f ( x)与f (? x) 或者 f ( x )与f ( ) 的表达式;

1 x

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) x2 (1)f(x)= 与 g(x)=x 是同一个函数. x (2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等. (3)若函数 f(x)的定义域为{x|1≤x<3},则函数 f(2x-1)的定义域为{x|1≤x<5}.( ? 1-x2 ? 1-x2 ?-1≤x≤1? ?-1≤x≤1? (4)f(x)=? ,则 f(-x)=? . ( x + 1 ? x >1 或 x < - 1 ? - x + 1 ? x >1 或x<-1? ? ? (5)函数 f(x)= x2+4+1 的值域是{y|y≥1}. (6)函数是特殊的映射. 2. 函数 y= xln(1-x)的定义域为 A.(0,1) B.[0,1)C.(0,1] D.[0,1] ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) )

3. 下列函数中,不满足 ...f(2x)=2f(x)的是

2

戴氏教育精品堂蜀汉路校区 A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x| C.f(x)=x+1 1,x>0, ? ? 设 f(x)=?0,x=0, ? ?-1,x<0, A.1 B.0 C.-1

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D.f(x)=-x

4.

?1,x为有理数, g(x)=? 则 f(g(π))的值为( ?0,x为无理数, D.π

)

5. 给出四个命题:①函数是其定义域到值域的映射;②f(x)= x-2+ 2-x是函数;③函数 y=2x (x∈N) 的图象是一条直线;④函数的定义域和值域一定是无限集合.其中正确命题的序号有________.

题型一 函数的概念 例1 ?1 |x| 有以下判断:①f(x)= 与 g(x)=? x ?-1 ?x≥0? ?x<0? 表示同一函数;②函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的

1 交点最多有 1 个;③f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t+1 是同一函数;④若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f?f 2 ? 其中正确判断的序号是________. (1)下列四个图象中,是函数图象的是 ( )

( )? ?=0.

A.(1)

B.(1)(3)(4)C.(1)(2)(3) D.(3)(4) ( x2-1 ,g(x)=x+1 x-1 )

(2)下列各组函数中,表示同一函数的是 A.f(x)=|x|,g(x)= x2B.f(x)= x2,g(x)=( x)2C.f(x)= D.f(x)= x+1· x-1,g(x)= x2-1 题型二 求函数的解析式 例2 A. 1 x (1)如果 f( )= ,则当 x≠0 且 x≠1 时,f(x)等于 x 1-x 1 x 1 B. x-1 C. 1 1 D. -1 x 1-x ( )

(2)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则 f(x)=________. 1 (3)已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f(x)=2f( )· x-1,则 f(x)=________. x 1 1 (1)已知 f(x+ )=x2+ 2,求 f(x)的解析式. x x 1 (2)已知 f(x)满足 2f(x)+f( )=3x,求 f(x)的解析式. x

题型三 求函数的定义域 例3 (1)函数 f(x)= ln?2+x-x2? 的定义域为 |x|-x ( )

3

戴氏教育精品堂蜀汉路校区 A.(-1,2) B.(-1,0)∪(0,2)C.(-1,0) D.(0,2)

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(2)已知函数 f(x)的定义域为[1,2],则函数 g(x)=

f?2x? 的定义域为________. ?x-1?0

1 1 (1)已知函数 f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)=f(x+ )+f(x- )的定义域是________. 2 2 (2)函数 y= ln?x+1? -x2-3x+4 的定义域为________________.

题型四 分段函数 例4
x ?2 ,x>0, (1)已知函数 f(x)=? 若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于( ?x+1,x≤0,

)

A.-3

B.-1

C. 1

D.3

?f?x?,f?x?≤M, (2)设函数 y=f(x)在 R 上有定义. 对于给定的正数 M, 定义函数 fM(x)=? 则称函数 fM(x) ?M,f?x?>M, 为 f(x)的“孪生函数”.若给定函数 f(x)=2-x2,M=1,则 fM(0)的值为( A.2 B.1 C. 2 D.- 2 ) )

?-x-1?-1≤x<0?, 已知函数 f(x)=? 则 f(x)-f(-x)>-1 的解集为( ?-x+1?0<x≤1?, 1 A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.[-1,- )∪(0,1] 2 1 C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.[-1,- ]∪(0,1) 2 分段函数意义理解不清致误

?2x+a,x<1, 典例:(5 分)已知实数 a≠0,函数 f(x)=? 若 f(1-a)=f(1+a),则 a 的值为________. ?-x-2a,x≥1,

A组 一、选择题 1. 函数 f(x)= 1 + 4-x2的定义域为 ln?x+1?

专项基础训练(时间:40 分钟)

( D.(-1,2]

)

A.[-2,0)∪(0,2]
2

B.(-1,0)∪(0,2]C.[-2,2]

2.

?x +1,x≤1, 设函数 f(x)=?2 ? x,x>1,
A. 1 5 B.3 2 C. 3 13 D. 9

则 f(f(3))等于

(

)

3. 若函数 y=f(x)的定义域为 M={x|-2≤x≤2},值域为 N={y|0≤y≤2},则函数 y=f(x)的图象可能(

)

4

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2 4. 已知函数 f(x)满足 f( )=log2 x|x|,则 f(x)的解析式是 x+|x| A.f(x)=log2x B.f(x)=-log2xC.f(x)=2
-x

(
-2

)

D.f(x)=x

5. 某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增 选一名代表. 那么, 各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=[x]([x]表示不大 于 x 的最大整数)可以表示为 A.y=[ 二、填空题 6. 下表表示 y 是 x 的函数,则函数的值域是________. x y 0<x<5 2 5≤x<10 3 10≤x<15 4 15≤x≤20 5 x+3 x+4 x ] B.y=[ ]C.y=[ ] 10 10 10 D.y=[ x+5 ] 10 ( )

1 1 7. 已知 f(x- )=x2+ 2,则 f(3)=________. x x 8. 若函数 f(x)= 三、解答题 9. 已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1.求函数 f(x)的解析式.

2x ?2 ax?a ? 1 的定义域为 R,则 a 的取值范围为________.

2

B组

专项能力提升(时间:30 分钟)

1. 已知 a,b 为两个不相等的实数,集合 M={a2-4a,-1},N={b2-4b+1,-2},f:x→x 表示把 M 中 的元素 x 映射到集合 N 中仍为 x,则 a+b 等于 A.1 B.2 C.3 D.4 ( ) ( )

2 ?x +4x+6,x≤0 2. 设函数 f(x)=? ,则不等式 f(x)<f(-1)的解集是 ?-x+6,x>0

A.(-3,-1)∪(3,+∞)B.(-3,-1)∪(2,+∞)C.(-3,+∞)D.(-∞,-3)∪(-1,3)
x ?e ,x≥0, ? 3. 已知函数 f(x)= 则关于 x 的方程 f(f(x))+k=0,给出下列四个命题: ?-2x,x<0,

①存在实数 k,使得方程恰有 1 个实根;②存在实数 k,使得方程恰有 2 个不相等的实根; ③存在实数 k,使得方程恰有 3 个不相等的实根;④存在实数 k,使得方程恰有 4 个不相等的实根. 其中正确命题的序号是________.(把所有满足要求的命题序号都填上)

5

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§ 2.2

函数的单调性

1.函数单调性的定义 增函数 减函数

设函数 y=f(x)的定义域为 A,区间 M?A,如果取区间 M 中任意两个值 x1,x2, 定 义 改变量 Δx=x2-x1>0,则当 Δy=f(x2)-f(x1)>0 时,就称函数 y=f(x) 在区间 M 上是增函数 Δy=f(x2)-f(x1)<0 时,就称函数 y= f(x)在区间 M 上是减函数

图 象 自左向右看图象是上升的 2. 单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间 M 上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间 M 上具有单调性,区间 M 称为单调区间. 自左向右看图象是下降的

函数单调性的等价形式: f ( x) 是单调增函数 ? 任意 x1 ? x2 , 都有f ( x1 ) ? f ( x2 )

?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )](x1 ? x2 ) ? 0 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2

f ( x) 是单调减函数 ? 任意 x1 ? x2 , 都有f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )](x1 ? x2 ) ? 0
组合函数单调性:增+增=增;减+减=减;增—减=增;减—增=增 增 ? 增=增;减 ? 减=减; 复合函数单调性求法:同增异减;

增 减 ? 增; ? 减; 减 增

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戴氏教育精品堂蜀汉路校区 1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 1 (1)函数 y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). x

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学生:

(

)

(2)对于函数 f(x),x∈D,若 x1,x2∈D,且(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数 f(x)在 D 上是增函数. ( (3)函数 y=|x|是 R 上的增函数. (4)函数 y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).( (5)函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是(0,+∞). (6)函数 y= 1-x 的最大值为 1. 1+x2
2

) ( ) ) ( ( ) ) )

(

2. 函数 y=x2-6x+10 在区间(2,4)上是 A.递减函数 B.递增函数 C.先递减再递增 D.先递增再递减

3. (2013· 安徽)“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件

)

D.既不充分也不必要条件

2x 4. 函数 f(x)= 在[1,2]的最大值和最小值分别是________. x+1 5. 函数 y= log 1 (2x2-3x+1)的单调减区间为________.
2

题型一 函数单调性的判断 例1 讨论函数 f(x)= ax (a>0)在 x∈(-1,1)上的单调性. x2-1

a (1)已知 a>0,函数 f(x)=x+ (x>0),证明:函数 f(x)在(0, a]上是减函数,在[ a,+ x ∞)上是增函数;(2)求函数 y= x2+x-6的单调区间.

题型二 利用函数的单调性求参数 例2 (1)如果函数 f(x)=ax2+2x-3 在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数 a 的取值范围是 ( 1 4 1 1 B.a≥- C.- ≤a<0 4 4 1 D.- ≤a≤0 4 )

A.a>-

??2-a?x+1,x<1, f?x1?-f?x2? (2)已知 f(x)=? x 满足对任意 x1≠x2,都有 >0 成立,那么 a 的取值范围是 x1-x2 ?a ,x≥1, ________. (1)函数 y= A.a=-3 B.a<3
x

x-5 在(-1,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围是( x-a-2 C.a≤-3 D.a≥-3

)

a ? ? (2)已知 f(x)=? a ? 4-2 ? A.(1,+∞)

?x>1?, ?x≤1? 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为 ( )

( )x+2

B.[4,8)C.(4,8) D.(1,8)

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戴氏教育精品堂蜀汉路校区 题型三 函数的单调性和最值 例3

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x1 已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f x =f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0. 2

()

(1)求 f(1)的值;(2)证明:f(x)为单调递减函数; (3)若 f(3)=-1,求 f(x)在[2,9]上的最小值.

1 (1)如果函数 f(x)对任意的实数 x,都有 f(1+x)=f(-x),且当 x≥ 时,f(x)=log2(3x-1),那么 2 函数 f(x)在[-2,0]上的最大值与最小值之和为 A.2 B.3 C.4 D.-1 ( )

1 1 (2)函数 f(x)= 在区间[a,b]上的最大值是 1,最小值是 ,则 a+b=________. 3 x-1

函数单调性的应用 典例:(12 分)函数 f(x)对任意的 m、n∈R,都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且 x>0 时,恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数; (2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2.

A组 一、选择题

专项基础训练 (时间:40 分钟)

1. 函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)”的是( A.f(x)= 1 x B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex
-x

)

D.f(x)=ln(x+1) 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是( )

2. 若函数 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=(a+1)1 A.(-1,0)

B.(-1,0)∪(0,1]C.(0,1) D.(0,1] )

3. 已知函数 f(x)=2ax2+4(a-3)x+5 在区间(-∞,3)上是减函数,则 a 的取值范围是( 3 A.(0, ) 4 3 B.(0, ] 4 3 C.[0, ) 4 3 D.[0, ] 4 ( )

1 4. 已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f( )>f(1)的实数 x 的取值范围是 x

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戴氏教育精品堂蜀汉路校区 A.(-∞,1)

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学生:

B.(1,+∞)C.(-∞,0)∪(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

5. 定义新运算“?”: 当 a≥b 时, a ? b=a; 当 a<b 时, a ? b=b2, 则函数 f(x)=(1 ? x)x-(2 ? x), x∈[- 2,2]的最大值等于 A.-1 二、填空题 6. 函数 f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是__________. ax+1 7. 设函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上是增函数,那么 a 的取值范围是__________. x+2a 1 8. 已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f? x ?<f(1)的实数 x 的取值范围是_____________. ? ? 三、解答题 9. 函数 f(x)=x2-4x-4 在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值记为 g(t). (1)试写出 g(t)的函数表达式;(2)求 g(t)的最小值. B.1 C.6 D.12 ( )

||

10.已知函数 f(x)=-

2 ,x∈[0,2],求函数的最大值和最小值. x+1

B组

专项能力提升(时间:30 分钟) f?x? 在区间(1,+∞)上一定( x )

1. 已知函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,则函数 g(x)= A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数


D.是增函数

2. 已知函数 f(x)=e|x a|(a 为常数).若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则 a 的取值范围是________. ?a,a≤b, 3.对于任意实数 a, b, 定义 min{a, b}=? 设函数 f(x)=-x+3, g(x)=log2x, 则函数 h(x)=min{f(x), ?b,a>b. g(x)}的最大值是________. a 4. 已知函数 f(x)=lg(x+ -2),其中 a 是大于 0 的常数. x (1)求函数 f(x)的定义域;(2)当 a∈(1,4)时,求函数 f(x)在[2,+∞)上的最小值; (3)若对任意 x∈[2,+∞)恒有 f(x)>0,试确定 a 的取值范围. x 5. 已知 f(x)= (x≠a).(1)若 a=-2,试证:f(x)在(-∞,-2)内单调递增; x-a (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围.

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§ 2.3

函数的奇偶性与周期性

1. 函数的奇偶性 奇偶性 奇函数 定义 设函数 y=f(x)的定义域为 D,如果对 D 内的任意一个 x,都有-x∈D,且 f(-x)=-f(x),则这个函数叫做奇函数 设函数 y=g(x)的定义域为 D,如果对 D 内的任意一个 x,都有-x∈D, 且 g(-x)=g(x),则这个函数叫做偶函数 图象特点 关于原点对称

偶函数 2. 周期性

关于 y 轴对称

(1)周期函数 对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x),那 么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数 f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数. (2)若函数 y=f(x+a)是偶函数,则函数 y=f(x)关于直线 x=a 对称. (3)若函数 y=f(x+b)是奇函数,则函数 y=f(x)关于点(b,0)中心对称. x (4)若函数 f(x)= 为奇函数,则 a=2. ?x-2??x+a? ( ( ( ( ) ) ) ) )

(5)函数 f(x)在定义域上满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x)是周期为 2a(a>0)的周期函数.( (6)函数 f(x)为 R 上的奇函数,且 f(x+2)=f(x),则 f(2 014)=0. 1 2. 已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+ ,则 f(-1)等于( x A.-2 B.0
2

( )

)

C.1

D.2 )

3. 已知 f(x)=ax +bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( A.- 1 3 1 B. 3 1 C. 2 1 D.- 2

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学生:

4. 已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则 f(2 015) 等于 A.-2 B.2 C.-98 D.98 ( )

5. 设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是 ________.

题型一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性:

(1)f(x)= 9-x2+ x2-9; (2)f(x)=(x+1) (3)f(x)= 4-x2 . |x+3|-3 判断下列函数的奇偶性: x2+2?x>0? ? ? lg?1-x2? (1)f(x)= ;(2)f(x)=?0?x=0? |x-2|-2 ? ?-x2-2?x<0? 题型二 函数周期性的应用 例2 (1)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3 时,f(x) ( ) 1 -x ; 1 +x

.

=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 015)等于 A.335 B.336 C.1 678 D.2 012

1 (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)=- ,当 2≤x≤3 时,f(x)=x,则 f(105.5)=________. f?x?

(1)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-f(4)等于 ( A.-1 B.1 C.-2 D.2 )

5 (2)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f -2 等于( A.- 1 2 1 B.- 4 1 C. 4 1 D. 2

( )

)

题型三 函数性质的综合应用 例3 设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x.

(1)求 f(π)的值;(2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调区间.

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1 (1)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x-1)<f 3 的 x 的取值范围是 ( 1 2 )A. 3,3 2 1 2 1 2 , , , ( ) B.[1 3 3)C.(2 3) D.[2 3) )

()

(2)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( A.f(-25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)<f(80)<f(-25)D.f(-25)<f(80)<f(11) 忽视定义域致误 典例:(10 分)(1)若函数 f(x)= k-2x 在定义域上为奇函数,则实数 k=________. 1+k· 2x

2 ?x +1,x≥0, (2)已知函数 f(x)=? 则满足不等式 f(1-x2)>f(2x)的 x 的取值范围是________. ?1,x<0,

A组 一、选择题

专项基础训练(时间:40 分钟)

1. (2013· 广东)定义域为 R 的四个函数 y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x 中,奇函数的个数是 ( A.4 B.3 C.2 D.1 ( )

)

2. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)等于 A.-3 B.-1 C. 1 D.3

3. 定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有

f?x2?-f?x1? <0,则( x2-x1

)

A.f(3)<f(-2)<f(1)B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3)D.f(3)<f(1)<f(-2) 5. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=a -a +2(a>0,且 a≠1).若 g(2)=a, 则 f(2)等于 ( 二、填空题 6. 函数 f(x)在 R 上为奇函数,且 x>0 时,f(x)= x+1,则当 x<0 时,f(x)=________. 7. 若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 1 8. 已知函数 f(x)满足:f(1)= ,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则 f(2 015)=________. 4 三、解答题 9. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直线 x=1 对称. (1)求证:f(x)是周期为 4 的周期函数; (2)若 f(x)= x (0<x≤1),求 x∈[-5,-4]时,函数 f(x)的解析式. ) A.2 15 B. 4 17 C. 4 D.a2
x
-x

-x +2x,x>0, ? ? 10.已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+mx,x<0

2

是奇函数.

(1)求实数 m 的值;(2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围.

12

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教师:周老师

学生:

B组

专项能力提升(时间:30 分钟)

1. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是定义在 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x-1),则 f(2 013)+f(2 015)的值为 A.-1 B.1C.0 D.无法计算 ( )

2a-3 2. 设奇函数 f(x)的定义域为 R,最小正周期 T=3,若 f(1)≥1,f(2)= ,则 a 的取值范围是 ( a+1 2 A.a<-1 或 a≥ 3 2 B.a<-1C.-1<a≤ 3 2 D.a≤ 3

)

3. 设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x-1),已知当 x∈[0,1]时,f(x)= 2x,则有①2 是函数 f(x)的周期;②函数 f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数; ③函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0.其中所有正确命题的序号是________. 4. 函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1,f(x-1)<2,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围.

5. 设函数 f(x)在(-∞,+∞)上满足 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上只有 f(1)=f(3) =0.(1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2 005,2 005]上的根的个数,并证明你的结论.

13

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学生:

§ 2.4

一次函数、二次函数与幂函数

1. 一次函数与二次函数的解析式 (1)一次函数:y=kx+b (k,b 为常数,且 k≠0). (2)二次函数①一般式:f(x)=ax2+bx+c_(a≠0).②顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)_(a≠0). 2. 一次函数与二次函数的定义及性质 函数名称 解析式 一次函数 y=kx+b (k≠0) k>0 图象 b>0 定义域 值域 R R [ 4ac-b2 ,+∞) 4a b ]上是 2a b>0 b<0,c>0 R (-∞, 4ac-b2 ] 4a b ]上 2a b>0,c<0 k<0 二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) a>0 a<0

单调性

在(-∞, +∞)上是 增函数

在(-∞,+ ∞)上是减函 数

在(-∞,-

在(-∞,-

b 减函数;在[- , 2a +∞)上是增函数

是增函数;在[- b , +∞)上是减函 2a 数

3.常用幂函数的图象与性质

y=x

y=x2

y=x3

1

y= x 2

y=x

-1

图象

14

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学生: {x|x∈R 且 x≠0} {y|y∈R 且 y≠0} 奇函数 x∈(0,+∞)

定义域

R

R

R

[0,+∞)

值域 奇偶性

R 奇函数

[0,+∞) 偶函数 x∈[0, +∞)时,

R 奇函数

[0,+∞) 非奇非偶函数

单调性



增;x∈(-∞, 0]时,减





时,减; x∈(-∞, 0)时, 减

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 4ac-b2 (1)二次函数 y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是 . 4a (2)二次函数 y=ax2+bx+c,x∈R,不可能是偶函数. (3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0). (4)当 n>0 时,幂函数 y=x 是定义域上的增函数. (5)若函数 f(x)=(k2-1)x2+2x-3 在(-∞,2)上单调递增,则 k=± 2 . 2
n

(

) ( ( ( ( ( ) ) ) ) )

(6)已知 f(x)=x2-4x+5,x∈[0,3),则 f(x)max=f(0)=5,f(x)min=f(3)=2. 2. ?3-a??a+6?(-6≤a≤3)的最大值为 A.9 9 B. 2 C.3 3 2 D. 2 ( ) ( )

3. 函数 f(x)=(m-1)x2+2mx+3 为偶函数,则 f(x)在区间(-5,-3)上 A.先减后增 B.先增后减 C.单调递减 D.单调递增

4. 已知函数 y=x2-2x+3 在闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围为________. 5. 若幂函数 y=(m2-3m+3) x
m2 ? m ? 2

的图象不经过原点,则实数 m 的值为________.

题型一 二次函数的图象和性质 例1 已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].

(1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; (3)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调区间.

15

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学生:

(1)二次函数的图象过点(0,1),对称轴为 x=2,最小值为-1,则它的解析式是________. (2)若函数 f(x)=2x2+mx-1 在区间[-1,+∞)上递增,则 f(-1)的取值范围是____________. 题型二 二次函数的应用 例2 已知函数 f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R.

(1)若函数 f(x)的最小值为 f(-1)=0,求 f(x)的解析式,并写出单调区间; (2)在(1)的条件下,f(x)>x+k 在区间[-3,-1]上恒成立,试求 k 的范围.

已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.

题型三 幂函数的图象和性质 例3 (1)已知幂函数 f(x)=(n2+2n-2) x )A.-3
1
n2 ? 3 n

(n∈Z)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则 n

的值为 (

B.1C.2
1

D.1 或 2 ( )

(2)若(2m+1) 2 >(m2+m-1) 2 ,则实数 m 的取值范围是 A.?-∞,

?

- 5-1? 2 ?

B.?

?

5-1 5-1 ? ,+∞?C.(-1,2) D.? 2 ? ? 2 ,2?
( m2 ? m ) ?1

已知幂函数 f(x)= x

(m∈N+)

(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性; (2)若该函数还经过点(2, 2),试确定 m 的值,并求满足条件 f(2-a)>f(a-1)的实数 a 的取值范围.

分类讨论思想在函数中的应用

16

戴氏教育精品堂蜀汉路校区 典例:(12 分)已知函数 f(x)=ax2-|x|+2a-1(a 为实常数). (1)若 a=1,作出函数 f(x)的图象;

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学生:

(2)设 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式.

A组 一、选择题

专项基础训练(时间:40 分钟)

1. 若 f(x)=x2-ax+1 有负值,则实数 a 的取值范围是 A.a≤-2 B.-2<a<2C.a>2 或 a<-2
2

(

)

D.1<a<3 )

2. 一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax +bx+c 在同一坐标系中的图象大致是(

3. 如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意的实数 x,都有 f(1+x)=f(-x),那么 ( A.f(-2)<f(0)<f(2)B.f(0)<f(-2)<f(2)C.f(2)<f(0)<f(-2)D.f(0)<f(2)<f(-2)

)

4. 设二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,且 f(m)≤f(0),则实数 m 的取值范围是( A.(-∞,0]
1 2

)

B.[2,+∞)C.(-∞,0]∪[2,+∞) D.[0,2] ( )

5. 已知 f(x)= x ,若 0<a<b<1,则下列各式中正确的是

1 1 1 1 1 1 1 1 A.f(a)<f(b)<f( )<f( )B.f( )<f( )<f(b)<f(a)C.f(a)<f(b)<f( )<f( )D.f( )<f(a)<f( )<f(b) a b a b b a a b 二、填空题 6. 若函数 y=mx2+x+5 在[-2,+∞)上是增函数,则 m 的取值范围是________. 7. 若方程 x2-11x+30+a=0 的两根均大于 5,则实数 a 的取值范围是________. 8. 当 α∈ ,1,3}时,幂函数 y=x 的图象不可能经过第________象限. {-1,1 2
α

三、解答题 9. 已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)>-2x 的解集为(1,3).若方程 f(x)+6a=0 有两个相等 的根,求 f(x)的单调区间.

10.已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2,求 a 的值.

17

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学生:

B组

专项能力提升(时间:30 分钟)

1.

1 ? ??2?x-7,x<0, 设函数 f(x)=? ? ? x,x≥0,
A.(-∞,-3)

若 f(a)<1,则实数 a 的取值范围是

(

)

B.(1,+∞)C.(-3,1)

D.(-∞,-3)∪(1,+∞) )

2. 已知函数 f(x)=ax2+bx+c,且 a>b>c,a+b+c=0,集合 A={m|f(m)<0},则( A.?m∈A,都有 f(m+3)>0B.?m∈A,都有 f(m+3)<0 C.?m0∈A,使得 f(m0+3)=0D.?m0∈A,使得 f(m0+3)<0

3. 已知函数 f(x)=x2-2ax+2a+4 的定义域为 R,值域为[1,+∞),则 a 的值域为______. 4. 已知函数 f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,且 f(0)· f(1)>0. b (1)求证:-2< <-1; a (2)若 x1、x2 是方程 f(x)=0 的两个实根,求|x1-x2|的取值范围.

5. 已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R). ?f?x?,x>0, (1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1,F(x)=? 求 F(2)+F(-2)的值; ?-f?x?,x<0, (2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取值范围.

18

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教师:周老师

学生:

§ 2.5

指数与指数函数

1. 根式的性质 n (1)( a)n=a(n>1,且 n∈N+). n (2)当 n 为奇数时 an=a; ?a ?a≥0? n 当 n 为偶数时 an=? . ?-a ?a<0? 2. 有理指数幂 (1)幂的有关概念

①正整指数幂: ②零指数幂:a0=1(a≠0). 1 - ③负整指数幂:a n= n(a≠0,n∈N+). a m n ④正分数指数幂: a n = am(a>0,m、n∈N+,且 为既约分数). n ⑤负分数指数幂: a
? m n

m



1

a
(2)有理指数幂的运算法则

m n



1 n am

m (a>0,m、n∈N+,且 为既约分数). n

设 a>0,b>0,对任意有理数,α、β 有 aαaβ=aα β,(aα)β=aαβ,(ab)α=aαbα.


3. 指数函数的图象与性质 y=ax a>1 0<a<1

图象

定义域 值域 性质

(1)R (2)(0,+∞) (3)过定点(0,1) (4)当 x>0 时,y>1;x<0 时,0<y<1 (5)当 x>0 时,0<y<1;x<0 时,y>1

19

戴氏教育精品堂蜀汉路校区 (6)在(-∞,+∞)上是增函数

教师:周老师

学生:

(7)在(-∞,+∞)上是减函数

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 4 (1)( ?-4?)4=-4.
2 1

( ( ( ( ) ( (
- -2

) ) )

(2)(-1) 4 =(-1) 2 = -1. (3)函数 y=a
-x

是 R 上的增函数. (a>1)的值域是(0,+∞).

(4)函数 y= a (5)函数 y=2

x ?1

2

x-1

是指数函数.

)

1 - (6)函数 y=( )1 x 的值域是(0,+∞). 4 2. 若 a=(2+ 3) 1,b=(2- 3) 1,则(a+1) 2+(b+1)
- -

) ( )

的值是

A.1

1 B. 4

C.

2 2

2 D. 3 ( )

3. 设函数 f(x)=a

-|x|

(a>0,且 a≠1),f(2)=4,则 B.f(-1)>f(-2)C.f(1)>f(2) D.f(-2)>f(2)

A.f(-2)>f(-1)

4. 若函数 y=(a2-1)x 在(-∞,+∞)上为减函数,则实数 a 的取值范围是__________. 5. 已知 0≤x≤2,则 y= 4
x? 1 2

-3· 2x+5 的最大值为________.

题型一 指数幂的运算

例1

化简:(1)

3 a3b2 ab2

(a b ) a b
(2)(-

1 4

1 2

4

?

1 3

1 3

(a>0,b>0);

1 ? 27 ? 2 - ) 3 +(0.002) 2 -10( 5-2) 1+( 2- 3)0. 8

(1)化简 A.2x y
2

4
2

16x8y4(x<0,y<0)得
D.-2x y
2

(

)

B.2xyC.4x y


? 4ab 1?3 1 ?1 2 (2)( ) · 1 =________. 4 - - ?0.1? 1· ?a3· b 3? 2
题型二 指数函数的图象、性质

20

戴氏教育精品堂蜀汉路校区 例2


教师:周老师

学生:

(1)函数 f(x)=ax b 的图象如图所示,其中 a,b 为常数,则下 ( )

列结论正确的是 A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0 (2)若函数 f(x)= e
? (e ? ? )2

(e 是自然对数的底数)的最大值是 m,且 f(x)是偶函数,

则 m+μ=________. (1)函数 y=

ex+e x - 的图象大致为 ex-e x


(

)

(2)若函数 f(x)=ax-1(a>0 且 a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数 a=________. 题型三 指数函数的应用 例3 (1)k 为何值时,方程|3x-1|=k 无解?有一解?有两解? 1 . 2|x|

(2)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2x-

3 ①若 f(x)= ,求 x 的值;②若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围. 2

. 设函数 f(x)=kax-a x(a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数.


(1)若 f(1)>0,试求不等式 f(x2+2x)+f(x-4)>0 的解集; 3 - (2)若 f(1)= ,且 g(x)=a2x+a 2x-4f(x),求 g(x)在[1,+∞)上的最小值. 2

换元法解决与指数函数有关的值域问题

典例:(10 分)(1)函数 y=( )

1 2

x 2 ? 2 x ?1

的值域是

(

)

21

戴氏教育精品堂蜀汉路校区 A.(-∞,4) B.(0,+∞)C.(0,4]
x

教师:周老师

学生:

D.[4,+∞)

(2)函数 y=( ) -( ) +1 在 x∈[-3,2]上的值域是________.

1 4

1 2

x

A组 一、选择题

专项基础训练(时间:40 分钟)

1. 函数 y=a -a(a>0,且 a≠1)的图象可能是

x

(

)

2. 已知 a=

5-1 ,函数 f(x)=ax,若实数 m、n 满足 f(m)>f(n),则 m、n 的关系为( 2 B.m+n>0C.m>n
|2x-4|

)

A.m+n<0

D.m<n ( )

3. 若函数 f(x)=a A.(-∞,2]

1 (a>0,a≠1),满足 f(1)= ,则 f(x)的单调递减区间是 9

B.[2,+∞)C.[-2,+∞) D.(-∞,-2] 1 成立,则实数 a 的取值范围是 x-1 ( )

4. 若存在负实数使得方程 2x-a= A.(2,+∞)

B.(0,+∞)C.(0,2) D.(0,1)

5. 已知实数 a,b 满足等式 2 014a=2 015b,下列五个关系式: ①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有( A.1 个 二、填空题 6. (0.002)
? 1 2

)

B.2 个 C.3 个

D.4 个

-10( 5-2) 1+( 2- 3)0=________.


7. 若指数函数 y=ax 在[-1,1]上的最大值与最小值的差是 1,则底数 a=________. 8. 若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是________.

三、解答题 9. 已知函数 f(x)=b· ax(其中 a,b 为常量且 a>0,a≠1)的图象经过点 A(1,6),B(3,24). (1)试确定 f(x); 1 1 (2)若不等式( )x+( )x-m≥0 在 x∈(-∞,1]上恒成立,求实数 m 的取值范围. a b

10.设 a>0 且 a≠1,函数 y=a2x+2ax-1 在[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.

22

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教师:周老师

学生:

B组

专项能力提升(时间:30 分钟)

1.

?1 设函数 f(x)=? x ?ex
A.(-∞,1]

?x>0?, ?x≤0?,

若 F(x)=f(x)+x,x∈R,则 F(x)的值域为 (

)

B.[2,+∞)C.(-∞,1]∪[2,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞) )

2. 若关于 x 的方程|ax-1|=2a (a>0 且 a≠1)有两个不等实根,则 a 的取值范围是( A.(0,1)∪(1,+∞) B.(0,1)C.(1,+∞) 3. 关于 x 的方程? 1 D. 0,2

( )

3?x 2+3a ?2? = 5-a 有负数根,则实数 a 的取值范围为__________.

4. 已知 f(x)=(

1 1 + )x3(a>0 且 a≠1). ax-1 2

(1)讨论 f(x)的奇偶性;(2)求 a 的取值范围,使 f(x)>0 在定义域上恒成立.

5. 已知定义在实数集 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2,且当 x∈(0,1)时,f(x)= (1)求函数 f(x)在(-1,1)上的解析式;(2)判断 f(x)在(0,1)上的单调性; (3)当 λ 取何值时,方程 f(x)=λ 在(-1,1)上有实数解?

2x . 4 +1
x

§ 2.6

对数与对数函数

23

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教师:周老师

学生:

1. 对数的概念 一般地, 对于指数式 ab=N, 我们把“以 a 为底 N 的对数 b”记作 logaN, 即 b=logaN(a>0, 且 a≠1). 其 中,数 a 叫做对数的底数,N 叫做真数,读作“b 等于以 a 为底 N 的对数”. 2. 对数 logaN(a>0,且 a≠1)具有下列性质 (1)N>0;(2)loga1=0;(3)logaa=1. 3. 对数的运算法则 M (1)loga(MN)=logaM+logaN;(2)loga =logaM-logaN;(3)logaMα=αlogaM (α∈R). N 4.两个重要公式 (1)对数恒等式: a
log a N

=__N__(2)换底公式:logbN=

logaN . logab

5.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1

图象

(1)定义域:(0,+∞) 性 质 (2)值域:R (3)过定点(1,0),即 x=1 时,y=0 (4)当 x>1 时,y>0;当 0<x<1 时,y<0 (6)在(0,+∞)上是增函数 6. 反函数 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称. (5)当 x>1 时,y<0;当 0<x<1 时,y>0 (7)在(0,+∞)上是减函数

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若 log2(log3x)=log3(log2y)=0,则 x+y=5. (2)2log510+log50.25=5. (3)已知函数 f(x)=lg x,若 f(ab)=1,则 f(a2)+f(b2)=2. (4)log2x =2log2x. (5)当 x>1 时,logax>0. (6)当 x>1 时,若 logax>logbx,则 a<b. 2. 设 a=log36,b=log510,c=log714,则 A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c ( ) ( ) ( ( )
2

( ( ( )

) )

( )

)

3. 已知 x,y 为正实数,则

A.2lg

x+lg

y

=2lg x+2lg y

B.2

lg(x+y)

=2lg x· 2lg y

lg y C.2lg x· =2lg x+2lg y

D.2lg(xy)=2lg x· 2lg y

24

戴氏教育精品堂蜀汉路校区 4. 函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________.

教师:周老师

学生:

1 5. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,f 3 =0,则不等式 f( log 1
8

()

x )>0 的解集

为________________.

题型一 对数式的运算 例1 A. (1)若 x=log43,则(2 -2 ) 等于 9 4 5 B. 4 10 C. 3 4 D. 3 ( )
x
-x

2

(

)

?log2x,x>0, ? 1 (2)已知函数 f(x)=? -x 则 f(f(1))+f(log3 )的值是 2 ?3 +1,x≤0, ? A.5 B.3 C.-1 7 D. 2

??1?x,x≥4, 已知函数 f(x)=? 2 ?f?x+1?,x<4,
题型二 对数函数的图象和性质 例2 (1)函数 y=2log4(1-x)的图象大致是

则 f(2+log23)的值为________.

(

)

(2)已知 f(x)是定义在(-∞, +∞)上的偶函数, 且在(-∞, 0]上是增函数, 设 a=f(log47), b=f( log 1
2

3 ),

c=f(0.2

-0.6

),则 a,b,c 的大小关系是( B.c<b<a C.b<c<a

)

A.c<a<b

D.a<b<c

(1)已知 a=2 ,b=?
1.2

1?-0.8 ?2? ,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为(

)

A.c<b<a

B.c<a<bC.b<a<c

D.b<c<a

(2)已知函数 f(x)=loga(x+b) (a>0 且 a≠1)的图象过两点(-1, 0)和(0,1), 则 a=________, b=________. 题型三 对数函数的应用 例3 已知函数 f(x)=loga(3-ax).

(1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1?如果存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由.

25

戴氏教育精品堂蜀汉路校区

教师:周老师

学生:

已知 f(x)=log4(4x-1). 1 (1)求 f(x)的定义域;(2)讨论 f(x)的单调性;(3)求 f(x)在区间[ ,2]上的值域. 2

利用函数性质比较幂、对数的大小 典例:(15 分)(1)设 a=0.5 ,b=0.3 ,c=log0.30.2,则 a,b,c 的大小关系是( A.a>b>c B.a<b<c C.b<a<c
log 2 3.4

0.5

0.5

)

D.a<c<b )

(2)已知 a= 5 A.a>b>c

,b= 5

log 2 3.6

1 log 0.3 ,c=( ) 3 ,则( 5 D.c>a>b

B.b>a>c

C.a>c>b

(3)已知函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称,且当 x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0 成立,a=(20.2)· f(20.2), b=(logπ3)· f(logπ3),c=(log39)· f(log39),则 a,b,c 的大小关系是( A.b>a>c B.c>a>b C.c>b>a D.a>c>b )

A组 一、选择题 1. 函数 y= 2-x 的定义域是 lg x

专项基础训练(时间:40 分钟)

(

)

A.{x|0<x<2}B.{x|0<x<1 或 1<x<2}C.{x|0<x≤2}D.{x|0<x<1 或 1<x≤2} 2. 函数 y=lg|x-1|的图象是 ( )

3. 已知 x=ln π,y=log52,z= e A.x<y<z B.z<x<y

?

1 2

,则(

)

C.z<y<x

D.y<z<x

4.

log x,x>0, ? ? 2 设函数 f(x)=? log ?-x?,x<0, 1 ? ? 2

若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是(

)

26

戴氏教育精品堂蜀汉路校区 A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞)

教师:周老师 B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) ( )

学生:

5. 函数 f(x)=loga(ax-3)在[1,3]上单调递增,则 a 的取值范围是 A.(1,+∞) 二、填空题
? 1 6. 计算(lg -lg 25)÷ 100 2 =________. 4 1

1 B.(0,1) C. 0,3

( )

D.(3,+∞)

x 1 ?3 ,x≤0, 7 . 已 知 函 数 f(x) = ? 则 使 函 数 f(x) 的 图 象 位 于 直 线 y = 1 上 方 的 x 的 取 值 范 围 是 ?log2x,x>0,


________________. 8. 若 log2a 1+a2 <0,则 a 的取值范围是____________. 1+a

三、解答题 9. 已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的解集.

1 1 10.设 x∈[2,8]时,函数 f(x)= loga(ax)· loga(a2x)(a>0,且 a≠1)的最大值是 1,最小值是- ,求 a 的值. 2 8

B组

专项能力提升(时间:30 分钟) ( )

2 1. 设 f(x)=lg?1-x+a?是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是

?

?

A.(-1,0)

B.(0,1)C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(1,+∞) )

2. 设函数 f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当 x≥1 时,f(x)=ln x,则有( 1 1 A.f( )<f(2)<f( ) 3 2 1 1 1 1 B.f( )<f(2)<f( )C.f( )<f( )<f(2) 2 3 2 3 1 1 D.f(2)<f( )<f( ) 2 3

2 2 3. 设函数 f(x)=logax (a>0,且 a≠1),若 f(x1x2?x2 015)=8,则 f(x2 1)+f(x2)+?+f(x2 015)=________.

27

戴氏教育精品堂蜀汉路校区 4. 设 f(x)=|lg x|,a,b 为实数,且 0<a<b.

教师:周老师

学生:

(1)求方程 f(x)=1 的解;(2)若 a,b 满足 f(a)=f(b),求证:a· b=1,

a+b >1. 2

a+b (3)在(2)的条件下,求证:由关系式 f(b)=2f( )所得到的关于 b 的方程 g(b)=0,存在 b0∈(3,4),使 2 g(b0)=0.

5. 已知函数 y= log 1 (x2-ax+a)在区间(-∞, 2)上是增函数,求 a 的取值范围.
2

§ 2.7

函数的图象

1. 描点法作图 方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调 性、最值(甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象. 2. 图象变换 (1)平移变换

28

戴氏教育精品堂蜀汉路校区 (2)对称变换

教师:周老师

学生:

(3)伸缩变换

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当 x∈(0,+∞)时,函数 y=|f(x)|与 y=f(|x|)的图象相同. (2)函数 y=af(x)与 y=f(ax)(a>0 且 a≠1)的图象相同. (3)函数 y=f(x)与 y=-f(x)的图象关于原点对称. ( ( ( ) ) ) ( ) ) ) )

(4)若函数 y=f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),则函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称.( (5)将函数 y=f(-x)的图象向右平移 1 个单位得到函数 y=f(-x-1)的图象.( (6)不论 a(a>0 且 a≠1)取何值,函数 y=loga2|x-1|的图象恒过定点(2,0). 2. 函数 y=xcos x+sin x 的图象大致为 (

3. 函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)等于 ( A.e
x+1

)

B.e

x-1

C.e

-x+1

D.e

-x-1

4. 已知图①中的图象对应的函数为 y=f(x),则图②中的图象对应的函数为

(

)

A.y=f(|x|)

B.y=|f(x)|C.y=f(-|x|)

D.y=-f(|x|)

29

戴氏教育精品堂蜀汉路校区

教师:周老师

学生:

?2,x>m, 5. 已知函数 f(x)=? 2 的图象与直线 y=x 恰有三个公共点, 则实数 m 的取值范围是 ( ?x +4x+2,x≤m A.(-∞,-1] B.[-1,2)C.[-1,2] D.[2,+∞)

)

题型一 作函数的图象 例1 分别画出下列函数的图象: (2)y=2x 2;


(1)y=|lg x|;

(3)y=x2-2|x|-1;

(4)y=

x+2 . x-1

作出下列函数的图象. (1)y=sin |x|; x+2 (2)y= . x+3

题型二 识图与辨图 例2 (1)函数 y= x3 的图象大致是 3 -1
x

(

)

?-2x,?-1≤x≤0? (2)已知 f(x)=? ,则下列函数的图象错误的是 ? x,?0<x≤1?

(

)

1 (1)已知函数 f(x)= ,则 y=f(x)的图象大致为 ln?x+1?-x

(

)

(2)把函数 y=f(x)=(x-2)2+2 的图象向左平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象对应的函数

30

戴氏教育精品堂蜀汉路校区 解析式是 A.y=(x-3) +3
2

教师:周老师

学生: ( )

B.y=(x-3) +1C.y=(x-1) +3

2

2

D.y=(x-1) +1

2

题型三 函数图象的应用 例3 1 x (1)当 0<x≤ 时,4 <logax,则 a 的取值范围是 2 2 ) 2 B.( 2 ,1)C.(1, 2) D.( 2,2) 2 ) ( )

A.(0,

(2)(2013· 湖南)函数 f(x)=2ln x 的图象与函数 g(x)=x2-4x+5 的图象的交点个数为( A.3 B.2 C.1 D.0

(1)已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[-1,1]时 f(x)=x2,那么函数 y=f(x)的图象与函数 y=|lg x|的图象的交点共有 A.10 个 B.9 个 C.8 个 D.1 个 ( )

(2)直线 y=1 与曲线 y=x2-|x|+a 有四个交点,则 a 的取值范围是________.

高考中的函数图象及应用问题 一、已知函数解析式确定函数图象 典例:(5 分)函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y= log 1 f(x)的图象大致是
2

(

)

二、函数图象的变换问题 典例:(5 分) 若函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=-f(x+1)的图象大致为( )

三、图象应用 典例 :(5 分)已知函数 y= ________. |x2-1| 的图象与函数 y=kx-2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是 x-1

31

戴氏教育精品堂蜀汉路校区 A组 一、选择题 1. 函数 y=ln(1-x)的大致图象为

教师:周老师

学生:

专项基础训练(时间:40 分钟)

(

)

2. 函数 y=5x 与函数 y=- A.x 轴对称

1 的图象关于 5x
D.直线 y=x 对称 ( )

(

)

B.y 轴对称 C.原点对称

3. 若 loga2<0(a>0,且 a≠1),则函数 f(x)=loga(x+1)的图象大致是

4. 为了得到函数 y=lg

x+3 的图象,只需把函数 y=lg x 的图象上所有的点( 10

)

A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 5. 使 log2(-x)<x+1 成立的 x 的取值范围是 A.(-1,0) 二、填空题 1 6. 已知 f(x)=( )x, 若 f(x)的图象关于直线 x=1 对称的图象对应的函数为 g(x), 则 g(x)的表达式为________. 3 7. 用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值.设 f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则 f(x)的最大值 为________. B.[-1,0) C.(-2,0) D.[-2,0) ( )

?2, 8. 已知函数 f(x)=? x ??x-1?3,
________ 三、解答题

x≥2, x<2.

若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是

9. 已知函数 f(x)=x|m-x|(x∈R),且 f(4)=0. (1)求实数 m 的值;(2)作出函数 f(x)的图象; (3)根据图象指出 f(x)的单调递减区间;(4)若方程 f(x)=a 只有一个实数根,求 a 的取值范围. 1 10.已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+ +2 的图象关于点 A(0,1)对称. x a (1)求 f(x)的解析式;(2)若 g(x)=f(x)+ ,且 g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围. x

32

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教师:周老师

学生:

B组
2

专项能力提升(时间:30 分钟) )

?x +2x-1,x≥0, 1. 已知函数 f(x)=? 2 则对任意 x1,x2∈R,若 0<|x1|<|x2|,下列不等式成立的是( ?x -2x-1,x<0, A.f(x1)+f(x2)<0 B.f(x1)+f(x2)>0C.f(x1)-f(x2)>0 D.f(x1)-f(x2)<0

1 2. 函数 y= 的图象与函数 y=2sin πx (-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于 1-x ( A.2 3. ) B.4 C.6 D.8

?2-m?x 若函数 f(x)= 2 的图象如图,则 m 的取值范围是________. x +m

4. 已知函数 y=f(x)的定义域为 R,并对一切实数 x,都满足 f(2+x)=f(2-x). (1)证明:函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称; (2)若 f(x)是偶函数,且 x∈[0,2]时,f(x)=2x-1, 求 x∈[-4,0]时 f(x)的表达式.

5. 已知函数 f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合 M={m|使方程 f(x)=m 有四个不相等的实根}.

33

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学生:

§ 2.8

函数与方程

1. 函数的零点 (1)定义:如果函数 y=f(x)在实数 α 处的值等于零,即 f(α)=0,则 α 叫做这个函数的零点. (2)变号零点:如果函数图象通过零点时穿过 x 轴,则称这样的零点为变号零点. (3)几个等价关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. 2. 零点存在性定理 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即 f(a)f(b)<0, 则这个函数在这个区间上,至少有一个零点,即存在一点 x0∈(a,b),使 f(x0)=0. 3. 用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 第一步,确定区间[a,b],验证 f(a)f(b)<0; 第二步,求区间(a,b)的中点 c1; 第三步,计算 f(c1): (1)若 f(c1)=0,则 c1 就是函数的零点; (2)若 f(a)f(c1)<0,则令 b=c1(此时零点 x0∈(a,c1)); (3)若 f(b)f(c1)<0,则令 a=c1(此时零点 x0∈(c1,b)); 第四步,判断 x0 是否满足给定的精确度;否则重复第二、三、四步. 4. 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 二次函数 y=ax2+ bx+c(a>0)的图象 与 x 轴的交点 零点个数 (x1,0),(x2,0) 2个 (x1,0) 1个 无交点 0个 Δ=0 Δ<0

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点. (2)函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则 f(a)· f(b)<0. (3)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)在 b2-4ac<0 时没有零点. (4)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值. (5)函数 y=2sin x-1 的零点有无数多个. ( ( ( ( ) ) ) ) ( )

34

戴氏教育精品堂蜀汉路校区 1 (6)函数 f(x)=kx+1 在[1,2]上有零点,则-1<k<- . 2 2. 函数 f(x)=2x|log0.5 x|-1 的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4

教师:周老师

学生:

( ( )

)

3 若 a<b<c,函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间 (

)

A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 4. 在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为 1 A.(- ,0) 4 1 B.(0, ) 4 1 1 C.( , ) 4 2 1 3 D.( , ) 2 4 ( )

5. 已知函数 f(x)=ln x-x+2 有一个零点所在的区间为(k,k+1) (k∈N+),则 k 的值为________.

题型一 函数零点的判断和求解 例1 (1)(2012· 湖北)函数 f(x)=xcos x2 在区间[0,4]上的零点个数为 B.5 C.6 D.7 ( )

A.4

2 (2)设函数 f(x)=x2+ (x≠0).当 a>1 时,方程 f(x)=f(a)的实根个数为________. x (1)函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是 A.(-2,-1) B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2) ( )

(2)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数 y=f(x)-log3|x|的零 点个数是 A.多于 4 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 ( )

题型二 二次函数的零点问题 例2 是否存在这样的实数 a,使函数 f(x)=x2+(3a-2)x+a-1 在区间[-1,3]上恒有一个零点,且只有一

个零点?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由.

已知 f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比 1 大,一个零点比 1 小,求实数 a 的取值 范围.

题型三 函数零点的应用 例3 若关于 x 的方程 22x+2xa+a+1=0 有实根,求实数 a 的取值范围.

35

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学生:

已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(x),当-1<x≤1 时,f(x)=x3,若函数 g(x)=f(x) -loga|x|至少有 5 个零点,则 a 的取值范围是 A.(1,5) ( )

1 1 1 B.(0, )∪[5,+∞)C.(0, ]∪[5,+∞) D.[ ,1]∪(1,5] 5 5 5 函数与方程思想的应用

典例:(12 分)已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围;

e2 (x>0). x

(2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.

A组 一、选择题 1. 方程 log3x+x-3=0 的解所在的区间是 A.(0,1)

专项基础训练(时间:40 分钟)

(

)

B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) ( )

2. 方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是 A.1 B.2 C.3
2

D.4 )

3. 若关于 x 的方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是( A.(-1,1) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-2,2) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

4. 已知三个函数 f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x 的零点依次为 a,b,c,则( A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<c D.c<a<b )

)

1 5. 已知 x0 是函数 f(x)= +ln x 的一个零点,若 x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( 1-x A.f(x1)<0,f(x2)<0 二、填空题 6. 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x>0 时,f(x)=2 015x+log2 ________.
015x,则在

B.f(x1)>0,f(x2)>0C.f(x1)>0,f(x2)<0

D.f(x1)<0,f(x2)>0

R 上,函数 f(x)零点的个数为

x ?2 -1,x>0, 7. 已知函数 f(x)=? 2 若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点, 则实数 m 的取值范围是________. ?-x -2x,x≤0,

8. 若函数 f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2 和 3,则不等式 af(-2x) >0 的解集是________.

36

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三、解答题 x 1 1 9. 已知函数 f(x)=x3-x2+ + .证明:存在 x0∈(0, ),使 f(x0)=x0. 2 4 2

10.已知函数 f(x)=4x+m· 2x+1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求出该零点.

B组
-x

专项能力提升(时间:30 分钟) ( )

1. 已知 x1,x2 是函数 f(x)=e -|ln x|的两个零点,则 1 A. <x1x2<1 e B.1<x1x2<eC.1<x1x2<10 D.e<x1x2<10

2. 若直角坐标平面内的两点 P,Q 满足条件: ①P, Q 都在函数 y=f(x)的图象上;②P, Q 关于原点对称. 则 称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”).已知 ?log2x,x>0, 函数 f(x)=? 2 则此函数的“友好点对”有 ?-x -4x,x≤0, A.0 对 B.1 对 C.2 对 D.3 对 ( )

3. 若方程 4-x2=k(x-2)+3 有两个不等的实根,则 k 的取值范围是________. 4. 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的取值范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的取值范围.

5. 已知 a 是正实数,函数 f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数 y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求 a 的取值范围.

37

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常考题型强化练——函数
A组 一、选择题 1. 若 f(x)= 1
2

专项基础训练(时间:40 分钟)

log 1 ? ?2x+1?

,则 f(x)的定义域为

(

)

1 A. -2,0

(

1 1 ,+∞)C.(- ,0)∪(0,+∞) D.(- ,2) ) B.(-1 2 2 2

2. 已知函数 f(x)=x-4+

1 |x+b| 9 ,x∈(0,4),当 x=a 时,f(x)取得最小值 b,则函数 g(x)=? ? ?a? 的图象为 x+1
( )

3. 已知函数 f(x)=ex-e x+1(e 是自然对数的底数),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为(


)

A.3

B.2

C.1

D.0 1+ax 是奇函数(a, b∈R, 且 a≠-2), 则 ab 的取值范围是 ( 1-2x )

4. 设定义在区间(-b, b)上的函数 f(x)=lg A.(1, 2]

B.(0, 2]C.(1, 2) D.(0, 2)

5. 已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)的图象在区间 [0,6]上与 x 轴的交点的个数为 A.6 B.7 C.8 D.9 ( )

二、填空题

38

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学生:

6. 已知函数 f(x)=?

? ? log 1 ?x+1??x≥1?, ? ?1?x<1?,
2

则不等式 f(3-x2)>f(2x)的解集为________.

7.

x-1,x>0, ? ? 若函数 f(x)=?a,x=0, ? ?x+b,x<0

是奇函数,则 a+b=________.

8. 已知 y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1)=________.

三、解答题 9. 已知函数 f(x)=a· 2x+b· 3x,其中常数 a,b 满足 ab≠0. (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围.

B组 1 1. 函数 y= 2
x

专项能力提升(时间:25 分钟) ( )

( ) +1 的图象关于直线 y=x 对称的图象大致是

2. 设 0<a<1,则函数 f(x)=loga?

x-1? ?x+1?

(

)

A.在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,1)上单调递增 B.在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减 C.在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递增 D.在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,1)上单调递减 1+?-1?x 3. 设函数 f(x)= (x∈Z),给出以下三个结论: 2 ①f(x)为偶函数;②f(x)为周期函数;③f(x+1)+f(x)=1,其中正确结论的序号是________. ax+1,-1≤x<0, ? ? (2012· 江苏)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=?bx+2 ? x+1 ,0≤x≤1, ?

4.



39

戴氏教育精品堂蜀汉路校区

教师:周老师

学生:

1 3 中 a,b∈R.若 f 2 =f 2 ,则 a+3b 的值为________. 5. 已知函数 f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab(a≠0),当 x∈(-3,2)时,f(x)>0;当 x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时, f(x)<0.(1)求 f(x)在[0,1]内的值域;(2)c 为何值时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立?

() ()

40


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