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振动和波复习


12-1 简谐运动

简谐运动的特点

d x 2 +? x=0 2 dt
三种常见的简谐运动 弹簧振子 单摆

2

x ? A cos(?t ? ?0 )

? 2=k m

? ? g /l
2

复摆

? 2 ? mgh I

12-2 简谐运动的振幅、周期、频率和相位
x ? A cos(?t ? ?0 )

振幅

周期与频率

相位

常数A和j 的确定

? x0 ? A cos j0 ? ?v0 ? ? A? sin j0

? v0 ? A= x ? ? ? ?? ?
2 0

2

v0 tgj0 ? ? ? x0

旋转矢量法求解振动方程

A

?

o

x

12-3 简谐振动的能量
一 简谐振动的能量表示式 动能
势能

1 1 2 Ek ? mv ? m? 2 A2 sin 2 (?t ? j0 ) 2 2 1 2 1 2 2 Ep ? kx ? kA cos (?t ? j0 ) 2 2

? ?k/m
2

1 2 E ? Ek ? Ep ? kA ? A2 2
简谐运动的能量与振幅的平方成正比 作简谐运动的系统机械能守恒

12-4 简谐振动的合成
两个同方向同频率简谐振动的合成

x1 ? A1 cos(?t ? j10 )
x2 ? A2 cos(?t ? j20 )

? A2
j2
0

?
j0

? A
x
x

x ? x1 ? x2
x ? A cos(?t ? j0 )
2 1 2 2

x2

j1

x1

? A1

A ? A ? A ? 2 A1 A2 cos(j20 ? j10 )
A1 sin j10 ? A2 sin j20 两个同方向同频 tan j0 ? 率简谐运动合成 A1 cos j10 ? A2 cos j20 后仍为简谐运动

B

D

B B

B

CB

0 1分 3pi cm/s 2分

D

10 cm 1分 (pi/6) rad/s 1分 pi/3 1分

m 2? k

T/8,3T/8 (只答一个的给2分)

机械波
1 机械波 1) 产生条件

2) 描述波动的物理量
产生条件:1、有做机械振动的物体,即波源; 2、有连续的介质——弹性介质. 横波与纵波 波线和波面

波长 波的周期和频率 波速
注意

u?

?
T

? ??

u ? ? ? Tu ?

周期或频率只决定于波源的振动! 波速只决定于媒质的性质!

2 平面简谐波波动方程 1) 波动方程

? ? x? ? y ? A cos ?? ? t ? ? ? j0 ? ? ? u? ?

波动方程的其它形式: 根据

2π ? ? , ? ? 2π? , ? ? uT T

等公式,上面波动方程也可以写成

? ? t x? ? ? ? y ? A cos ? 2 π ? ? ? ? j0 ? ? A cos ? 2 π ?? t ? ? ?T λ ? ? ? ?

x? ? ? ? j0 ? λ? ?

x ? ? ?2 π ? ? A cos ? ?t ? 2π ? j0 ? ? A cos ? ? ut ? x ? ? j0 ? λ ? ? ? ? ?

? ? x? ? ? 波动方程: y ? A cos ?? ? t ? ? ? j0 ? ? ? u? ?
质点的振动速度,加速度:

?y ? ? x? ? v? ? ?? A sin ?? ? t ? ? ? j0 ? ?t ? ? u? ?
注意振动速度 v 和波的传播速度 u 的区别

? y ? ? x? ? 2 a ? 2 ? ?? A cos ?? ? t ? ? ? j0 ? ?t ? ? u? ?
2
13

2) 波动方程的物理意义

? ? x? ? ? ? t x? ? y ? A cos ?? ? t ? ? ? j0 ? ? A cos ?2 π ? ? ? ? j0 ? ? ? u? ? ? ?T ? ? ?
1 当 x 固定时, 波函数表示该点的简谐振动 方程,并给出该点与 O点振动的相位差.

x x ?j ? ?? ? ?2 π u λ

y ( x, t ) ? y ( x, t ? T ) (波具有时间的周期性)

2) 波动方程的物理意义

? ? x? ? ? ? t x? ? y ? A cos ?? ? t ? ? ? j0 ? ? A cos ?2 π ? ? ? ? j0 ? ? ? u? ? ? ?T ? ? ?
1 当 x 固定时, 波函数表示该点的简谐振动 方程,并给出该点与 O点振动的相位差.

x x ?j ? ?? ? ?2 π u λ

y ( x, t ) ? y ( x, t ? T ) (波具有时间的周期性)

? ? x? ? ? ? t x? ? y ? A cos ?? ? t ? ? ? j0 ? ? A cos ?2 π ? ? ? ? j0 ? ? ? u? ? ? ?T ? ? ?
2 当 t 一定时,波动方程表示该时刻波线上各 点相对其平衡位置的位移,即此刻的波形.

y ( x, t ) ? y ( x ? ? , t ) (波具有空间的周期性)
x1 t x1 ?1 ? ? (t ? ) ? ?0 ? 2 π( ? ) ? ?0 u T ?
x2 t x2 ?2 ? ? (t ? ) ? ?0 ? 2 π( ? ) ? ?0 u T ?
波程差

?x21 ? x2 ? x1
?j ? 2π ?x

x2 ? x1 ?x21 ?j12 ? j1 ? j 2 ? 2 π ? 2π ? ?

?
16

3 若 x, t 均变化,波动方程表示波形沿传播方 向的运动情况(行波).

y y
O

u

t

时刻

t ? ?t 时刻

?x

x x

t x y ? A cos 2 π ( ? ) j (t , x) ? j (t ? ?t , x ? ?x) T ? ? t ?x t x t ? ?t x ? ?x ? ?x ? u?t 2π ( ? ) ? 2π ( ? ) T ? T ? T ?
3) 波动方程的求解 (重点)

波的能量、惠更斯原理
一、波的能量
1、波的能量 二、惠更斯原理 1、原理内容 2、惠更斯原理解释波的衍射、反射和折射 三、波的干涉 1、干涉条件 2、干涉相长相消条件 2、能量密度 3、能流和能流密度

波的能量、惠更斯原理
1、波的能量 1 x 2 2 2 dEk ? dEp ? ?dVA ? sin ? (t ? ) 2 u ? 体积元的总机械能 x 2 2 2 dE ? dEk ? dEp ? ?dVA ? sin ? (t ? ) u 讨论 总机械能均随

1)在波动传播的媒质中,任一体积元的动能、 势能、

x, t作周期性变化,且变化是同相位的.

? ?

体积元在平衡位置时,动能、势能和总机械能均最大 . 体积元的位移最大时,三者均为零. 2) 任一体积元都在不断地接收和放出能量,即 不断地传播能量 . 任一体积元的机械能不守恒 . 波动 是能量传递的一种方式 .

2、能量密度

?

能量密度:单位体积介质中的波动能量.

dE x 2 2 2 w? ? ?A ? sin ? (t ? ) dV u
平均能量密度:能量密度在一个周期内的平均值.

1 T 1 2 2 w ? ? wdt ? ?? A T 0 2

3. 波的能流和能流密度 ? 能流:单位时间内垂直通过某一面积的能量。

P ? wuS
? 平均能流:能流在一个周期内的平均值。

1 2 2 ? ? A ? uS P ? wu S 2

? u

? 能流密度 ( 波的强度 ) I : 通过垂直于波传播方向的单 位面积的平均能流.

udt

S

1 2 2 I ? ? A ? u 单位: Wm-2 2 21

P I ? ? wu S

惠更斯原理
介质中任一波面上的各点,都可看成是产生球面 子波的波源;在其后的任一时刻,这些子波的包络面 构成新的波面。

可以解释波的衍射、反射和折射

缺陷

? 不能说明子波的强度分布问题 ? 不能说明波不能向后传播的问题

22

波的干涉 频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒 定的两列波相遇时,使某些地方振动始终加强,而使

另一些地方振动始终减弱的现象,称为波的干涉现象. ? 波的相干条件
1)频率相同; 2)振动方向平行; 3)相位相同或相位差恒定.

23

讨论

A ? A ? 2 A1 A2 cos ?j r2 ? r1 ?j ? j 2 ? j1 ? 2π ? A?
2 1 2 2

1 ) 合振动的振幅(波的强度)在空间各点的分布 随位置而变,但是稳定的.

2)

?j ? ?2k π k ? 0,1,2,? A ? A1 ? A2 振动始终加强 ?j ? ?(2k ? 1) π k ? 0,1,2,? A ? A1 ? A2 振动始终减弱 ?j ? 其他 A1 ? A2 ? A ? A1 ? A2
24

讨论

A?

A ? A ? 2 A1 A2 cos ?j
2 1 2 2

?j ? j 2 ? j1 ? 2π

r2 ? r1

? 若 j1 ? j 2 则 ?j ? ?2 π ?

?

波程差 ?

? r2 ? r1

? ? ?k?

k ? 0,1,2,?
振动始终加强

A ? A1 ? A2
3)

? ? ?(k ? 1 2)?
A ? A1 ? A2

k ? 0,1,2,?
振动始终减弱
25

? ?

其他

A1 ? A2 ? A ? A1 ? A2

驻波和多普勒效应
1 驻波的产生

?波节和波腹 ?相位 ?能量

振幅、频率、传播速度都相同 的两列相干波,在同一直线上沿相 反方向传播时叠加而形成的一种特 殊的干涉现象.

正向: y1 ? A cos 2π (?t ? 负向: y2 ? A cos 2π (?t ?

x

x

?

)
)

?

y ? 2 A cos 2?

x

?

cos 2?? t

讨论

? 驻波方程 y ? 2 A cos 2π cos 2π ?t ? x 1)振幅 2 A cos2π 随 x 而异, 与时间无关. ? x 2π ? ? k π k ? 0,1,2,? 1 x ? cos 2 π ? x 1 ? 0 2 π ? ?(k ? ) π k ? 0,1,2,? ? 2 ? ?k k ? 0,1,? Amax ? 2 A 波腹 2 x? 1 ? ? (k ? ) k ? 0,1, ? Amin ? 0 波节 2 2 相邻波腹(节)间距 ? ? 2 相邻波腹和波节间距 ? ? 4
27

x

2)相邻两波节之间质点振动同相位,任一波节 两侧振动相位相反,在波节处产生 π 的相位跃变 . (与行波不同,无相位的传播).

x y ? 2 A cos 2π cos 2π ? t ? ? 例 x ? ? 为波节 4

y
?? 2

o

?2

x

x ? ? cos 2 π ? 0 , ? ? x ? , y ? 2 A cos 2 π x cos 2π ? t 4 4 ? ? x ? 3? x cos 2 π ? 0 , ? x ? , y ? 2 A cos 2 π cos(2 π ? t ? π ) 4 4 ? ?
28

驻波的能量 位移最大时
波 节 波 腹 A B C

x x
平衡位置时

? ?y ? dEp ? ? ? ? ?x ?

2

? ?y ? dEk ? ? ? ? ?t ?

2

驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化, 在相邻的波节间发生动能和势能间的转换,动能 主要集中在波腹,势能主要集中在波节,但无长 距离的能量传播.
29

相位跃变(半波损失)

波在反射时引起相位突变 π 的现象,称为半波 损失。 形成半波损失(半波损失情况比较复杂,在我们 课程所涉及的范围内)的规律是:

当波从波疏媒质入射到波密媒质分界面反射时 就产生半波损失,反之就不产生半波损失。

30

多普勒效应
vS
波源 S

u
vR
观察者 R

u ? v0 ?? ? ? u ? vs

规定

vR、vS 的符号为“趋近为正,背离为负”
波速 u 的符号为“恒为正”

速度的大小全是相当于介质来说的。
若波源与观察 者不沿二者连线运 动,则以速度在连 线方向上的分量计 算。

? v 's
? vs

? vo
? v 'o

yP2 ? 0.04cos(?t ? ?)

y A O

u x

1 1 y P ? 0.2 cos( ?t ? ?) 2 2

C

1 ? 2

? ?? 2
2? ?? ? y ? 0.5cos ? t ? x ? j0 ? ? ?2 ?

3 t ? 2, x ? 0, j =2 ? ? j0 ? ? 2 2

?

1 j0 ? ? 2

T ?2

? ? 2? T ? ?

y ? 0.1cos ?? t ? j0 ?


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