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高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例课件2 新人教A版必修1


第三章——

函数的应用

3.2 函数模型及其应用

3.2.2 函数模型的应用实例

[学习目标]
1.会利用已知函数模型解决实际问题. 2.能建立函数模型解决实际问题.

栏目索引
CONTENTS PAGE

1 预习导学 2 课

堂讲义 3 当堂检测

挑战自我,点点落实

重点难点,个个击破

当堂训练,体验成功

预习导学

挑战自我,点点落实

[预习导引] 1.解决函数应用问题的基本步骤 利用函数知识和函数观点解决实际问题时,一般按以下几 个步骤进行: (一)审题;(二)建模;(三)求模;(四)还原.

这些步骤用框图表示如图:

2.数学模型

就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或
近似地反映实际问题,得出关于实际问题的数学描述.

课堂讲义

重点难点,个个击破

要点一 用已知函数模型解决问题

例1

通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生接受能

力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间.讲座开始时,学 生的兴趣激增,中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持较 理想的状态,随后学生的注意力开始分散,分析结果和实验表 明,用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力 (f(x)值越大,表示接

受的能力越强),x表示提出和讲授概念的时间 (单位:min),可
有以下的公式:

?-0.1x2+2.6x+43,0<x≤10, ? ? f(x)=?59,10<x≤16, ? ? ?-3x+107,16<x≤30.
(1)开始后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多长时 间?

解 当0<x≤10时,
f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9.

故f(x)在(0,10]上单调递增,最大值为 f(10)=-0.1×(-3)2+59.9=59; 当16<x≤30时,f(x)单调递减, f(x)<-3×16+107=59. 因此,开讲后10 min,学生达到最强的接受能力(值为 59),并维持6 min.

(2)开讲后5 min与开讲后20 min比较,学生的接受能力何时 强一些? 解 f(5)=-0.1×(5-13)2+59.9=59.9-6.4=53.5, f(20)=-3×20+107=47<53.5=f(5). 因此,开讲后5 min学生的接受能力比开讲后20 min强一些.

(3)一个数学难题,需要55的接受能力以及 13 min时间,老 师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完 这个难题? 解 当0<x≤10时,令f(x)=55, 则-0.1×(x-13)2=-4.9,(x-13)2=49. 所以x=20或x=6.但0<x≤10,

故x=6.
当16<x≤30时,令f(x)=55,则-3x+107=55.

1 所以 x=17 3.
因此,学生达到(或超过)55 的接受能力的时间为 1 1 17 3-6=11 3<13(min),所以老师来不及在学生一直达到 所需接受能力的状态下讲授完这道难题.

规律方法

解决已给出函数模型的实际应用题,关键是考虑

该题考查的是哪种函数,并要注意定义域,然后结合所给模

型,列出函数关系式,最后结合其实际意义作出解答.
解决此类型函数应用题的基本步骤是: 第一步:阅读理解,审清题意. 读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理解叙述所反

映的实际背景 .在此基础上,分析出已知是什么,所求是什么,

并从中提炼出相应的数学问题.

第二步:根据所给模型,列出函数关系式.

根据问题的已知条件和数量关系,建立函数关系式,在此
基础上将实际问题转化为一个函数问题.

第三步:利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模
型)予以解答,求得结果. 第四步:再将所得结论转译成具体问题的解答.

跟踪演练 1 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小 时的耗油量为 y(升)关于行驶速度 x(千米/时)的函数解析式可 1 3 3 以表示为:y=12 800x -80x+8(0<x≤120).已知甲、乙两地 相距 100 千米.当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时,从甲 地到乙地要耗油多少升?

100 解 当 x=40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 40 =2.5(小时),
? 1 ? ? ? 3 3 要耗油?12 800×40 -80×40+8?×2.5=28.75(升),即当汽车 ? ?

以 40 千米/时的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油 28.75 升.

要点二 建立函数模型解决实际问题 例2 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状 况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流 密度x(单位:辆 /千米)的函数. 当桥上的车流密度达到 200辆/千

米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/
千米时,车流速度为 60 千米 / 时 . 研究表明:当 20≤x≤200 时, 车流速度v是车流密度x的一次函数. (1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;



由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)= 60;当20≤x≤200时,

设v(x)=ax+b,

? ?200a+b=0, 再由已知得? ? ?20a+b=60,
? ?a=-1, 3 ? 解得? ? 200 b= 3 . ? ?

故函数 v(x)的表达式为
?60,0≤x≤20, ? v(x)=?1 ? ?200-x?,20≤x≤200. ?3

(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某
观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=x· v(x)可以达到最大, 并求出最大值.(精确到1辆/时)

解 依题意并由(1)可得
?60x,0≤x≤20, ? f(x)=?1 ? x?200-x?,20≤x≤200. ?3

当 0≤x≤20 时, f(x) 为增函数,故当 x = 20 时,其最大值为 60×20=1 200;

1 当 20≤x≤200 时,f(x)=3x(200-x) 1 2 200 1 2 =-3x + 3 x=-3(x -200x) 1 2 10 000 =-3(x-100) + 3 ,

10 000 所以当 x=100 时,f(x)在区间[20,200] 上取得最大值 3 .
10 000 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200] 上取得最大值 3 ≈3 333,
即当车流密度为 100 辆 / 千米时,车流量可以达到最大,最 大值约为3 333辆/时.

规律方法

根据收集到的数据的特点,通过建立函数模型,

解决实际问题的基本过程,如下图所示.

跟踪演练 2 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润 分别是 M(亿元)和 N(亿元),它们与投资额 t(亿元)的关系有 1 1 经验公式:M=3 t,N=6t,今该公司将用 3 亿元投资这两 个项目,若设甲项目投资 x 亿元,投资这两个项目所获得的 总利润为 y 亿元. (1)写出 y 关于 x 的函数表达式;

1 解 当甲项目投资 x 亿元时,获得利润为 M=3 x(亿元),此 1 时乙项目投资(3-x)亿元,获得利润为 N=6(3-x)(亿元),则 1 1 有 y=3 x+6(3-x),x∈[0,3].

(2)求总利润y的最大值.

解 令 x=t,t∈[0, 3],则 x=t ,
2

1 1 1 2 2 2 此时 y=3t+6(3-t )=-6(t-1) +3.

∵t∈[0, 3],∴当 t=1,即 x=1 时,
2 y 有最大值为3.

2 即总利润 y 的最大值是3亿元.

当堂检测

当堂训练,体验成功

1 2 3 4

1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函 数关系,如图所示,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售 量时的收入是( )

A.310元 C.390元

B.300元 D.280元

1 2 3 4

解析

由图象知,该一次函数过(1,800),(2,1 300),可求

得解析式y=500x+300(x≥0),当x=0时,y=300.
答案 B

1 2 3 4

2. 小明的父亲饭后出去散步,从家中走20 分钟到一个离家 900 米 的报亭看10分钟报纸后,用20分钟返回家里,下面图形中能表示 小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是( ) D

1 2 3 4

3.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……现 有2个这样的细胞,分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系 是( ) B.y=2x-1

D A.y= 2x
C.y=2x
解析 个,……,分裂x次后y=2x+1个.

D.y=2x+1

分裂一次后由2个变成2×2=22个,分裂两次后4×2=23

1 2 3 4

x 4.长为 3,宽为 2 的矩形,当长增加 x,宽减少2时,面积达到最 1 大,此时 x 的值为________. 2
x x x 解析 S=(3+x)(2-2)=- 2 +2+6 1 1 2 49 =-2(x-2) + 8 ,
2

1 49 ∴x=2时,Smax= 8 .

课堂小结 1.函数模型的应用实例主要包括三个方面: (1)利用给定的函数模型解决实际问题;

(2)建立确定性的函数模型解决实际问题;
(3)建立拟合函数模型解决实际问题. 2.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时,一是要注意 自变量的取值范围,二是要检验所得结果,必要时运用估算 和近似计算,以使结果符合实际问题的要求.

3.在实际问题向数学问题的转化过程中,要充分使用数 学语言,如引入字母,列表,画图等使实际问题数学符 号化.

*


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