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浙江省宁波市2012届高三第一学期期末数学(


浙江省宁波市 2012 届高三第一学期期末数学(理)试卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 3 页, 非选择题部分 3 至 4 页.满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

参考公式:
如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A,B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn(k)= Cn p (1-p)n-k(k=0,1,2,?n) 球的体积公式 V=
4 3
k k

柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式 V=
1 3

Sh

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 台体的体积公式 V ?
1 3 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 )

其中 S1,S2 分别表示台体的上,下底面积, h 表示台体的高 球的表面积公式 S=4πR2 ,其中 R 表示球的半径

πR3 ,其中 R 表示球的半径

第Ⅰ卷(选择题
1 i

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知 i 为虚数单位,则 ? i ?
3

(A) 0

(B) 1 ? i

(C) 2i

(D) ? 2i

(2)已知 a, b ?R,则“ a ? b ”是“ (A)充分不必要条件 (C)充要条件

a?b ? ab ”的 2
(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(3)200 辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如图所示,则时速超过 60km/h 的汽车数量为 (A)65 辆 (B)76 辆(C)88 辆 (D)辆 95 (4)下列命题中,错误 的是 .. (A) 一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交 (B)平行于同一平面的两个不同平面平行 (C)如果平面 ? 不垂直平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? (D)若直线 l 不平行平面 ? ,则在平面 ? 内不存在与 l 平行的直线

(5)设集合 A ? ( x, y) | x ? a 2 y ? 6 ? 0 , B ? ?( x, y) | (a ? 2) x ?3ay ? 2a ? 0? , 若 A ? B ? ? ,则实数 a 的值为 (A) 3 或 ? 1 (B) 0 或 3 (C) 0 或 ? 1 (D) 0 或 3 或 ? 1
开始
y?4

?

?

(6)执行如图所示的程序框图,其输出的结果是 (A) 1 (B) ?

1 2

(C) ?

5 4

(D) ?

13 8
的最小

? (7)设点 G 是 ?ABC 的重心,若 ?A ? 120 , AB ? AC ? ?1 ,则 AG

x? y

值是 (A)

y?

1 x ?1 2

3 3

(B)

2 3

(C)

2 3

(D)

3 4

| y ? x |? 1



(8) 已知 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的增函数,且 f (1) ? 0 ,函数 g ( x) 在

是 输出

y

(??,1]

上为增函数,在 [1, ??) 上为减函数,且 g (4) ? g (0) ? 0 ,则

结束

集合 {x | f ( x) g ( x) ? 0} = (A) {x | x ? 0或1 ? x ? 4} (B) {x | 0 ? x ? 4} (C) {x | x ? 4} (D) {x | 0 ? x ? 1或x ? 4}

(9)设点 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点, F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点, I 为 ?PF1 F2 的内心,若 a2 b2

S ?IPF1 ? S ?IPF2 ? 2S ?IF1F2 ,则该椭圆的离心率是
(A)

1 2

(B)

2 2

(C)

3 2

(D)

1 4

(10)设函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上以 1 为周期的函数,若 g ( x) ? f ( x) ? 2 x 在区间 [2,3] 上的值域为 [?2,6] ,则

, 2012 ] 上的值域为 函数 g ( x) 在 [?2012
(A) [?2,6]

, 4024 ] (B) [?4030

, 4034 ] (C) [?4020

, 4016 ] (D) [?4028

非选择题部分

(共 100 分)

二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分. (11) (1 ? x) 的展开式中 x 的系数是
4
2



. ▲ .

(12)如图是一个组合几何体的三视图,则该几何体的体积是

(13)已知某随机变量 ? 的概率分布列如右表,其中 x ? 0, y ? 0 ,随机 变量 ? 的方差 D? ? 则x? y ? ▲

1 , 2
.

?
P

1

2

3

x

y

x

(14)若 ? ? (0,

?
2

) ,且 cos 2 ? ? sin(

?
2

? 2? ) ?

1 ,则 tan ? ? 2



.

?x ? y ? 1 ? 0 5 ? ( 15)已知实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 8 ? 0 ,若 (3, ) 是使得 ax ? y 取得最小值的可行解,则实数 a 的取值范围为 2 ?x ? 3 ?
▲ .

( 16 )已知函数 y ? ▲ .

3x ?

1 的图象为双曲线,在此双曲线的两支上分别取点 P, Q ,则线段 PQ 长的最小值为 x

(17)把已知正整数 n 表示为若干个正整数(至少 3 个,且可以相等)之和的形式,若这几个正整数可以按一定顺 序构成等差数列,则称这些数为 n 的一个等差分拆.将这些正整数的不同排 列视为相同的分拆.如: (1,4,7)与 (7,4,1)为 12 的相同等差分拆.问正整数 30 的不同等差分拆有 ▲ 个.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (18) (本题满分 14 分)已知 m ? (2cos x ? 2 3sin x,1), n ? (cos x, ? y) ,满足 m ? n ? 0 . (I)将 y 表示为 x 的函数 f ( x ) ,并求 f ( x ) 的最小正周期; (II)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 对应的边长,若 f ( x) ? f ( ) 对所有 x ? R 恒成立,且 a ? 2 ,求

??

?

?? ?

A 2

b ? c 的取值范围.
(19) (本题满分 14 分)在数列 {an } 中, Sn 为其前 n 项和,满足 Sn ? kan ? n2 ? n(k ? R, n ? N*) . (I)若 k ? 1 , 求数列 {an } 的通项公式; (II)若数列 {an ? 2n ? 1} 为公比不为 1 的等比数列,求 Sn . (20) (本题满分 14 分)已知四棱锥 P ? ABCD 中,
P

?BAD ? 120? , PA ? 平面ABCD , 底面 ABCD 是边长为 a 的菱形,
PA ? b .
(I)求证: 平面PBD ? 平面PAC ; (II) 设 AC 与 BD 交于点 O ,M 为 OC 中点, 若二面角 O ? PM ? D 的正切值为 2 6 ,求 a : b 的值. (21) (本题满分 15 分) 设函数 f ( x) ? c ln x ?
B A O M D

C

1 2 x ? bx (b, c ? R, c ? 0) , 且 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点. ( Ⅰ) 若 x ? 1 2

为 f ( x ) 的极大值点,求 f ( x ) 的单调区间(用 c 表示) ; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 恰有 1 解,求实数 c 的取值范围. ( 22 ) (本题满分 15 分)长为 3 的线段 AB 的两个端点 A, B 分别在 x, y 轴上移动,点 P 在直线 AB 上且满足

??? ? ??? ? BP ? 2 PA . (I)求点 P 的轨迹的方程; (II)记点 P 轨迹为曲线 C ,过点 Q(2,1) 任作直线 l 交曲线 C 于 M , N 两点,
过 M 作斜率为 ? 求出该定点.

1 的直线 l ' 交曲线 C 于另一点 R .求证:直线 NR 与直线 OQ 的交点为定点( O 为坐标原点) ,并 2

2011 学年第一学期高三期末试卷 数学(理科)参考答案及评分标准
说明:[来源:学科网] 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容制订相 应的评分细则. 二、对计算题,当考生的题答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度,可视影响的 程度决定后续部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不 再给分.

三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分. (1)D (2) B (3) B (4) D (5) C

(6) C (7) B (8) A (9) A (10) C

二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 28 分. (11) 6 ( 12) 36 ? 128? (13)

3 4

(14) 1 (17) 19

(15) a ? ?

1 1 ( a ? ? 不扣分) (16) 2 3 ? 2 2 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (18) (本题满分 14 分)解: (I)由 m ? n ? 0 得 2cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? y ? 0 即 y ? 2cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? 所以 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?? ?

?
6

) ?1

?
6

) ? 1 ,其最小正周期为 ? . ?????6 分

(II)因为 f ( x) ? f ( ) 对所有 x ? R 恒成立 所以 f ( ) ? 3 ,且 A ?

A 2

A 2

?
6

? 2 k? ?

?
2

,k ?Z

因为 A 为三 角形内角,所以 0 ? A ? ? ,所以 A ? 由正弦定理得 b ?

?
3

. ?????9 分

4 4 3 sin B , c ? 3 sin C , 3 3

b?c ?

4 3 4 3 4 3 4 3 2? ? sin B ? sin C ? sin B ? sin( ? B) ? 4 sin(B ? ) 3 3 3 3 3 6

? B ? (0,

2? ) 3



? sin( B ?

?

1 ) ? ( ,1] ,? b ? c ? (2,4] , 6 2
????14 分

所以 b ? c 的取值范围为 (2, 4]

(19) (本题满分 14 分)解: (1)当 k ? 1 时, Sn ? an ? n2 ? n, 所以 Sn?1 ? n2 ? n,(n ? 2) ,即 Sn ? (n ? 1)2 ? (n ? 1) ? n2 ? n,(n ? 1) ??3 分 所以当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ; 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? n ? (n ?1)2 ? (n ?1) ? 2n 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n(n ? N ? ) .?????6 分 (II)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? kan ? kan?1 ? 2n ? 2 ,

(k ?1)an ? kan?1 ? 2n ? 2 , a1 ? S1 ? ka1 ,若 k ? 1 ,则 an ? 2n ?1 ? ?1,
从而 {an ? 2n ? 1} 为公比为 1 的等比数列,不合题意;?????8 分

若 k ? 1 ,则 a1 ? 0 , a2 ?

2 4 ? 6k , a3 ? 1? k (1 ? k ) 2

a1 ? 3 ? ?3, a2 ? 5 ?

5k ? 3 ?7k 2 ? 8k ? 3 , a3 ? 7 ? 1? k (k ? 1)2
3 .??10 分 2

由题意得, (a2 ? 5)2 ? (a1 ? 3)(a3 ? 7) ? 0 ,所以 k ? 0 或 k ?

当 k ? 0 时, Sn ? n2 ? n ,得 an ? 2n ? 2 , an ? 2n ? 1 ? ?3 ,不合题意;?12 分 当k ?

3 时, an ? 3an?1 ? 4n ? 4 ,从而 an ? 2n ?1 ? 3[an?1 ? 2(n ?1) ?1] 2

因为 a1 ? 2 ?1 ?1 ? ?3 ? 0, an ? 2n ? 1 ? 0 , {an ? 2n ? 1} 为公比为 3 的等比数列, an ? 2n ?1 ? ?3n ,所以

an ? 2n ? 3n ? 1,
从而 Sn ? n ? 2n ?
2

3n ?1 3 ? .?????????14 分 2 2

(20) (本题满分 14 分)解: (I)因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BD 又 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD,所以 BD⊥平面 PAC 从而平面 PBD⊥平面 PAC. ?????6 分

(II)过 O 作 OH⊥PM 交 PM 于 H,连 HD 因为 DO⊥平面 PAC,可 以推出 DH⊥PM,所以∠OHD 为 A-PM-D 的平面角 又 OD ?

OH AP 3 a 3a ? a, OM ? , AM ? ,且 OM PM 2 4 4

从而 OH ?

a ab ·? 4 9 16b 2 ? 9a 2 b2 ? a 2 16

b

3(16b2 ? 9a 2 ) OD tan ?OHD ? ? ?2 6 OH 2b
所以 9a ? 16b ,即
2 2

a 4 ? . b 3

?????????14 分

z P
P

A
A H O M D

D y O M C

B
C

B

x

法二:如图,以 A 为原点, AD, AP 所在直线为 y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,则

P(0,0, b), D(0, a,0) , M (

3 3 3 3 1 a, a, 0) , O( a, a, 0) ????8 分 8 8 4 4

从而 PD ? (0, a, ?b), PM ? (

??? ?

???? ?

???? 3 3 3 3 3 a, a, ?b) OD ? (? a, a, 0) 8 8 4 4 ???? 3 3 a, a, 0) . 4 4

因为 BD⊥平面 PAC,所以平面 PMO 的一个法向量为 OD ? (? 设平面 PMD 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,由 PD ? n, PM ? n 得

?

??? ?

? ???? ?

?

??? ? ? ???? ? ? 3 3 3 PD ? n ? ay ? bz ? 0, PM ? n ? ax ? ay ? bz ? 0 8 8
取x?

? 5 b, y ? b, z ? a ,即 n ? ( b, b, a ) ?????11 分[来源:学科网] 3 3 3 3 5

设 OD 与 n 的夹角为 ? ,则二面角 O ? PM ? D 大小与 ? 相等 从而 tan ? ? 2 6 ,得 cos ? ?

????

?

1 5

5 3 ???? ? ? ab ? ab OD ? n 1 12 4 cos ? ? ???? ? ? ? 5 | OD | ? | n | a 52 2 12 b ? a2 4 27
从而 4b ? 3a ,即 a : b ? 4 : 3 . (21) (本题满分 15 分)解: f '( x) ? ?????14 分

c x 2 ? bx ? c ? x?b ? x x

因为 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点,所以 f '(1) ? 0 所以 b ? c ? 1 ? 0 且 c ? 1 , f '( x) ?

( x ? 1)( x ? c) ?????3 分 x

(I)因为 x ? 1 为 f ( x ) 的极大值点,所以 c ? 1 当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 ;当 1 ? x ? c 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? c 时, f '( x) ? 0 所以 f ( x ) 的递增区间为 (0,1) , (c, ??) ;递减区间为 (1, c) .????6 分

(II)若 c ? 0 ,则 f ( x ) 在 (0,1) 上递减,在 (1, ??) 上递增

1 1 f ( x) ? 0 恰有 1 解,则 f (1) ? 0 ,即 ? b ? 0 ,所以 c ? ? ;????9 分 2 2 1 2 1 若 0 ? c ? 1 ,则 f极大 ( x) ? f (c) ? c ln c ? c ? bc , f极小 ( x) ? f (1) ? ? b 2 2
因为 b ? ?1 ? c ,则 f极大 ( x) ? c ln c ?

c2 c2 ? c(?1 ? c) ? c ln c ? c ? ? 0 2 2

1 f极小 ( x) ? ? ? c ,从而 f ( x) ? 0 恰有一解; ?????12 分 2

c2 c2 ? c(?1 ? c) ? c ln c ? c ? ? 0 若 c ? 1 ,则 f极小 ( x) ? c ln c ? 2 2
1 f极大 ( x) ? ? ? c ,从而 f ( x) ? 0 恰有一解; 2 1 所以所求 c 的范围为 0 ? c ? 1或c ? 1或c ? ? . 2

?????15 分

(22) (本题满分 15 分)解: (I)设 A(m,0), B(0, n), P( x, y) 由 BP ? 2 PA 得 x ? 2(m ? x), y ? n ? 2(0 ? y ) 即 m ?
2 2

??? ?

??? ?

3 x, n ? 3 y 2

x2 ? y 2 ? 1即为点 P 的轨迹方程.??5 分 又由 | AB |? m ? n ? 3 得 4
(II)当 l 的斜率不存在时,直线 l 与曲线 C 相切,不合题意; 当 l 斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ? 1 ,即 y ? kx ? 1 ? 2k

? x2 ? y2 ? 1 ? 联列方程 ? 4 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8k (1 ? 2k ) x ? 4(1 ? 2k )2 ? 4 ? 0 ? y ? kx ? 1 ? 2k ?
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), R( x3 , y3 ) , 则 x1 ? x2 ?

8k (2k ? 1) 16(k 2 ? k ) , x x ? , 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

?????7 分

则 MR 的方程为 y ? ?

1 ( x ? x1 ) ? y1 2

与曲线 C 的方程联列得 2x2 ? 2( x1 ? 2 y1 ) x ? ( x1 ? 2 y1 )2 ? 4 ? 0 则 x1 ? x3 ? x1 ? 2 y1 所以 x3 ? 2 y1 , y3 ? ?

1 1 ( x3 ? x1 ) ? y1 ? x1 2 2

?????9 分

1 x1 ? y2 ( x ? x2 ) ? y2 直线 NR 的方程为 y ? 2 2 y1 ? x2
令y?

1 2 y ? 2 y2 ? x1 ? x2 4y y ? x x x ,则 1 x? 1 2 1 2 2 2 y1 ? x2 2 y1 ? x2

? 2 y1 ? 2 y2 ? x1 ? x2 ? (2k ? 1)( x1 ? x2 ) ? 4(1 ? 2k ) 8k (2k ? 1) ? (2k ? 1) ? 4(1 ? 2k ) 1 ? 4k 2


? (2k ? 1)[

8k (2k ? 1) 4(1 ? 4k 2 ) ? 4] ? . ?????????11 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

4 y1 y2 ? x1 x2 ? (4k 2 ? 1) x1 x2 ? 4k (1 ? 2k )( x1 ? x2 ) ? 4(1 ? 2k ) 2 ? (4k 2 ? 1)
?

16(k 2 ? k ) 8k (2k ? 1) ? 4k (1 ? 2k ) ? 4(1 ? 2k ) 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

4(2k ? 1) [4(2k ? 1)(k 2 ? k ) ? k (1 ? 2k )8k ? (2k ? 1)(1 ? 4k 2 )] 2 1 ? 4k 4(2k ? 1) 4(1 ? 4k 2 ) ? ( ? 2 k ? 1) ? ???????13分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

?4 y1 y2 ? x1x2 ? 2 y1 ? 2 y2 ? x1 ? x2 .
从而 x ? 1, y ?

1 1 .即直线 NR 与直线 OQ 交于定点 (1, ) .???15 分 2 2


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