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圆锥曲线概念、方法、题型、易误点技巧总结


圆锥曲线概念、方法、题型、易误点技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义:

(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点 于常数 2a,且此常数 2a 一定要大于 常数小于 ,当常数等于

的距离的和等 ,当

时,轨迹是线段

时, 无轨迹; 双曲线中, 与两定点

的距离的差的绝对值等于常数 2a, 不 可 忽视 。若 ,则轨迹不存在。若

且 此常 数 2a 一 定要 小于 ,则轨迹是以 ①已知定点 A. C. ②方程

, 定 义中 的 “绝对 值 ”与 为端点的两条射线,若

去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如: ,在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是 B. D. (答:C) ; 表示的曲线是_____ (答: 双曲线的左支)

(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距 为分母”,其商即是离心率 e。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与 此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

如已知点 (答:2)

及抛物线

上一动点 P (x,y) y+|PQ|的最小值是_____ ,则

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置 的方程) :

(1)椭圆:焦点在 x 轴上时

(参数方

程, 其中 为参数) 焦点在 y 轴上时 ,

。 方程

表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B,C 同号,A≠B) 。比如:已知方程

表示椭圆, k 的取值范围为____ 则 (答:

) ;

(2)双曲线:焦点在 x 轴上:

,焦点在 y 轴上:

。方程

表示双曲线的充要条件是什

么?(ABC≠0,且 A,B 异号) 。比如:双曲线的离心率等于

,且与椭圆

有公共焦点,则该双曲线的方程_______(答: (3)抛物线:开口向右时 开口向上时 ,开口向下时

) ; ,开口向左时 。 ,

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断) : (1)椭圆:由 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程

表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是

__(答: (2)双曲线:由

) 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 特别提醒: (1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点 位置,焦点、的位

置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参 数 a,b,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题 时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中,a 最大, 大, 。 ,在双曲线中,c 最

4.圆锥曲线的几何性质:

( 1 ) 椭 圆 ( 以

为 例 ): ① 范 围 :

;②焦点:两个焦点 x=0,y=0,一个对称中心(0,0) ,四个顶点

;③对称性:两条对称轴 ,其中长轴长为 2a,短轴

长为 2b;④准线:两条准线 越小,椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁。

; ⑤离心率:

,椭圆

,e

比如:若椭圆

的离心率

,则 m 的值是__(答:3 或

) ;

( 2 ) 双 曲 线 ( 以 ;②焦点:两个焦点 x=0,y=0,一个对称中心(0,0) ,两个顶点

为 例 ): ① 范 围 : ;③对称性:两条对称轴 ,其中实轴长为 2a,虚轴长为 2b, ;

特别地, 当实轴和虚轴的长相等时, 称为等轴双曲线, 其方程可设为

④准线: 两条准线

; ⑤离心率:

, 双曲线

, 等轴双曲线



e 越小,开口越小,e 越大,开口越大;⑥两条渐近线: 比如:双曲线的渐近线方程是



,则该双曲线的离心率等于______(答:



) ; 为例) :①范围: ;②焦点:一个

(3)抛物线(以

焦点

,其中 p 的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴 y=0,

没有对称中心,只有一个顶点(0,0) ;④准线:一条准线 抛物线 。

; ⑤离心率:



如设

,则抛物线

的焦点坐标为________(答:

) ;

5、点

和椭圆

的关系:

(1)点

在椭圆外



(2)点

在椭圆上



(3)点

在椭圆内

6.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交: 曲线相交不一定有 个交点,故 直线与椭圆相交; 直线与双曲线相交,但直线与双

,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件; 直线与

抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有 ,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线 与抛物线相交且只有一个交点,故 也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要 条件。 比如:若直线 y=kx+2 与双曲线 的右支有两个不同的交点,则 k 的取值范

围是_______(答: (2)相切: 与抛物线相切; (3)相离: 与抛物线相离。

) ; 直线与椭圆相切; 直线与椭圆相离; 直线与双曲线相切; 直线与双曲线相离; 直线 直线

特别提醒: (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如 果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的 轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;

(2)过双曲线

外一点

的直线与双曲线只有一个公共点的情况

如下:①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分 别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内 时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P 在两条渐 近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P 为原点时 不存在这样的直线; (3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行 于对称轴的直线。比如: ①过点(2,4)作直线与抛物线 2) ; ②对于抛物线 C: 内部,若点 , 我们称满足 在抛物线的内部,则直线 : ③求椭圆 的点 在抛物线的 与抛物线 C 的位置关 上的点到直线 只有一个公共点,这样的直线有______(答:

系 是 _______ ( 答 : 相 离 );

的最短距离(答: 学习论坛,地址 www.yaoxuexi.cn

) ;[要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的 手机版地址 wap.yaoxuexi.cn]

7、焦半径(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义, 转化到相应准线的距离, 即焦半径 r=ed, 其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。 比如:

①已知椭圆

上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3,则点 P 到右准线的距离为

____(答:

) ;

②椭圆

内 有 一 点 p(1,-1) , F 为 右 焦 点 , 在 椭 圆 上 有 一 点 M , 使

之值最小,则点 M 的坐标为_______(答:



8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义 和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点 到两焦点 的距离分别



,焦点

的面积为

,则在椭圆

中,



, 且 当

即 P 为 短 轴 端 点 时 ,

最 大 为

;②

,当

即 P 为短轴端

点时,

的 最 大 值 为 bc ; 对 于 双 曲 线

的焦点三角形有:①

;②



比如:短轴长为 于 A、B 两点,则

,离心率

的椭圆的两焦点为

,过

作直线交椭圆

的周长为________(答:6) ;

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: (1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相 切; (2)设 AB 为焦点弦, M 为准线与 x 轴的交点,则∠AMF=∠BMF; (3)设 AB 为焦 点弦,A、B 在准线上的射影分别为 ,若 P 为 的中点,则 PA⊥PB; (4)若 AO

的延长线交准线于 C,则 BC 平行于 x 轴,反之,若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点,则 A,O,C 三点共线。 10、弦长公式:若直线 的横坐标,则 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 ,若 分别为 A、B

分别为 A、B 的纵坐标,则

, 若 弦 AB 所 在 直 线 方 程 设 为

, 则

。特别地,焦点弦(过焦点的弦) :焦点弦的弦长的计算, 一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。 比如:过抛物线 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,已知|AB|=10,O 为坐

标原点,则 ΔABC 重心的横坐标为_______(答:3) ;

11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆

中,以

为中点的弦所在直线的斜率

;在双曲线

中,以 以

为中点的弦所在直线的斜率

;在抛物线中,

为中点的弦所在直线的斜率。

比如:如果椭圆 是 (答:

弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程 ) ;

12.你了解下列结论吗?

(1)双曲线

的渐近线方程为



(2)以

为渐近线(即与双曲线

共渐近线)的双曲线方程为

( 为参数, ≠0) 。 (3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 ;

(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为

,焦准距(焦点到相应准

线的距离)为

,抛物线的通径为 2p,焦准距为 p;

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线 ;② (7)若 OA、OB 是过抛物线 AB 恒经过定点(2p,0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 的焦点弦为 AB, ,则①

13.动点轨迹方程: (1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法:

①直接法:直接利用条件建立 x,y 之间的关系 F(x,y)=0; 如已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 x=3 的距离之和等于 4, P 的轨迹方程. 求 (答: 或 ) ;

②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方 程,再由条件确定其待定系数。 如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0)(m>0),端点 A、B 到 x 轴距离之积 为 2m,以 x 轴为对称轴,过 A、O、B 三点作抛物线,则此抛物线方程为 (答: ); [ 要 学 习 网 , 只 做 中 学 生 最 喜 欢 、 最 实 用 的 学 习 论 坛 , 地 www.yaoxuexi.cn 手机版地址 wap.yaoxuexi.cn] ③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动 点的轨迹方程; 址 如点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 程是_______ (答: ) ; 的变化而变化, 并且 ,再将 代入已知曲线得要求 的距离小于 1,则点 M 的轨迹方

④代入转移法: 动点 P(x,y)依赖于另一动点 又在某已知曲线上,则可先用 x,y 的代数式表示 的轨迹方程; 如动点 P 是抛物线

上任一点, 定点为 A(0,-1),点 M 分

所成的比为

2,则 M 的轨迹方程为__________(答:

) ;

⑤参数法:当动点 P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可 考虑将 x,y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程) 。 如若点 在圆 上运动,则点 的轨迹方程是

____(答:

) ;

注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向 量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化, 还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子” 转化。

如已知椭圆 0) ,Q 是椭圆外的动点,满足 段 上,并且满足

的左、右焦点分别是 F1(-c,0) 、F2(c, 点 P 是线段 与该椭圆的交点,点 T 在线

(1)设 x 为点 P 的横坐标,证明

; (2)求点 T 的轨迹 C 的方程; (3)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是 否存在点 M,使△F1MF2 的面积 S= 若存在,求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明

理由. (答: (1)略; (2) 在,此时∠F1MF2=2)

; (3)当

时不存在;当

时存

②曲线与曲线方程、 轨迹与轨迹方程是两个不同的概念, 寻求轨迹或轨迹方程时应注意 轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. ③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双 重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类 讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. ④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”, 那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁 转化.

14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1) 给出直线的方向向量 (2)给出 (3)给出 (4)给出 (5) 给出以下情形之一:① 在实数 与 AB 相交,等于已知 ; 过 AB 的中点;

,等于已知 P 是 MN 的中点; ,等于已知 P,Q 与 AB 的中点三点共线; ;②存在实数 ;③若存 ,等于已知 A,B,C 三点共线

(6) 给出

,等于已知 P 是

的定比分点,

为定比,即

(7) 给出

,等于已知

,即

是直角,给出

,等于已知 知 是锐角。

是钝角, 给出

,等于已

(8)给出

,等于已知 MP 是

的平分线; ,等于已知

(9)在平行四边形 ABCD 中,给出 ABCD 是菱形; (10) 在平行四边形 ABCD 中,给出 形; (11)在△ABC 中,给出

,等于已知 ABCD 是矩

,等于已知 O 是△ABC 的外心(三

角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点) ; (12) 在△ABC 中,给出 (三角形的重心是三角形三条中线的交点) ; (13)在△ABC 中,给出 ABC 的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点) ; ,等于已知 O 是△ ,等于已知 O 是△ABC 的重心

(14)在△ABC 中,给出 知 通过△ABC 的内心; (15)在△ABC 中,给出

等于已

等于已知 O 是△ABC

的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点) ; (16) 在△ABC 中,给出 ,等于已知 AD 是△ABC 中 BC 边的中线


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