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2012年全国高中数学联赛(山东)赛区竞赛试卷


山东省 2012 届高中数学夏令营数学竞赛(及答案) 一.填空题(本题共 5 道小题,每小题 8 分,满分 40 分) 1.函数 f ( x) ? 1 ? 2 x ? 3 ? 2 x 的最大值是________________ 供题) 解: f ( x) ? 1 ? 2 x ? 3 ? 2 x ? 2 2 ,其等号仅当 1 ? 2x ? 3? 2x 即 x ? 时成立, 所以,f

(x)最大= 2 2 . 2.如果自然数 a 的各位数字之和等于 5,那么称 a 为“吉祥数”, 将 所有吉祥数从小到大排成一列 a1,a2,?,an.若 an=2012.则 n=_______________. (王继忠 供题) 解:设 x1 x2 ? xm 为吉祥数,则 x1+x2+?+xm=5,由 x1≥1 和 x2,?,xm≥0 得
4 4 (x1-1)+x2+?+xm=4,所以, x1 x2 ? xm 为第 C m ? 3 个吉祥数. 1x2 ? xm 为第 Cm ? 2 个

;

(王泽阳

1 2

吉祥数. 由此得:一位吉祥数共 1 个,二位吉祥数共 C54 ? 5 个,三位吉祥数共
C64 ? 15 个,

因以 1 为首位的四位吉祥数共 C64 ? 15 个,以 2 为首位的前两个四位 吉祥数为: 2003 和 2012.故 n=1+5+15+15+2=38. 3.已知 f(x)是 2011 次多项式,当 n=0,1,?,2011 时, f (n) ? 则 f(2012)=______;
n . n ?1

(王 林 供题)

解:当 n=0,1,?,2011 时, (n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-x 有 2012 个

根, 设 (x+1)f(x)-x=ax(x-1)(x-2) ? (x-2011). 取 x=-1, 则 1=2012!a. 故
a? 1 , 2012!
f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 2) ?( x ? 2011) x ? 2012!( x ? 1) x ?1

,

f (2012) ?

2012! 2012 2013 ? ? ?1 . 2012!2013 2013 2013

4.将圆周上 5 个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依逆 时针方向,第 1 步转过 1 个间隔将到达的那个点染红,第 2 步转过 2 个间 隔将到达的那个点染红,第 k 步转过 k 个间隔将到达的那个点染红.一直 进行下去,可得到_________个红点. (龚红戈 供题) 解:将 5 个点依次编号 0—4,且不妨设开始染红的是 0 号点,则第 1 步染红的是 1 号点,第 2 步染红的是 3 号点,第 3 步染红的又是 1 号点. 故共可得 3 个红点. 5.如图,设 O , I 分别为 ?ABC 的外心、内心,且 ?B ? 60? , AB > BC , 已知 AD ? 18 ,则 OI ? _____________. ?A 的外角平分线交⊙ O 于 D , 供题) 解: 连接 BI 并延长交⊙ O 于 E ,则 E 为弧 AC 的中点.连
OE 、 AE 、 CE 、 OC ,由 ?B ? 60? ,易知 ?AOE 、 ?COE 均为
O I B F C

(李耀文
D A

E

正三角形.由内心的性质得知: AE ? IE ? CE ,所以
A 、 O 、 I 、 C 四点共圆,且圆心为 E .再延长 AI 交⊙ O 于 F ,

由题设知 D 、 O 、 F 共线,于是 ?OEI ? 2?OAI , ?AOD ? 2?AFD ? 2?OAI , 又 OA ? OD ? OE ? IE , 从而 ?OAD ≌ ?EOI , 故 OI ? AD ? 18 .

二.解答题(本题共 5 道小题,每小题 20 分,满分 100 分) 6.证明:对任给的奇素数 p,总存在无穷多个正整数 n 使得 p|(n2n-1). (陈永高 供题) 证 明 : 取 n=(p-1)k, 则 由 费 尔 马 小 定 理 知 2( p ?1) k ? 1(mod p) , 所 以 , p|(n2n-1)
? ( p ? 1)k ? 2( p ?1) k ? 1(mod p) ? ( p ? 1)k ? 1(mod p) ? k ? ?1(mod p) .

取 k=pr-1(r∈N*),即 n=(p-1)(pr-1),就有 ( p ? 1)k ? 2( p ?1) k ? 1(mod p) 即 p|(n2n-1). 7.如图,已知 P 是矩形 ABCD 内任意一点,延长 BP 交 AD 于 E,延 长 DP 交 AB 于 F,延长 CP 交矩形的外接圆于 G。求证:GE⊥GF.
G

(叶
Q P E D

中豪 供题) 证法 1: 设 CG 交 AD 于 Q,由∠GBA=∠GDA 及

A

F

∠AGB=∠CGD 知△ABG∽△QDG。延长 DF、CB
R

交于 R,由 AD∥BR, AD=BC 得
AF BC ? FB BR

B

C



又由△CPB∽△QPE 及△RPB∽△DPE 得 由①,②得

BC QE ? BR ED



AF QE ? ,表明 F,E 是△ABG,△QDG 的相似对应点,故得 FB ED

△FBG∽△EDG.所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900, 即 GE⊥GF. 证法 2:联结 GB,GD,令∠GCB= ? ,∠GCD= ? ,
A G Q P F E D

由正弦定理得:
?

GB sin ? BP sin ?PBC ? ? GD sin ? DP sin ?PDC

BF sin ?BFP sin ?PBC BF ? ? , DE sin ?DEP sin ?PDC DE

由∠GBF=∠GDE 得△FBG∽△EDG. 所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900, 即 GE⊥GF. 8.对于恰有 120 个元素的集合 A.问是否存在子集 A1,A2,?,A10 满 足: (1)|Ai|=36,i=1,2,?,10; (2)A1∪A2∪?∪A10=A; (3)|Ai ∩Aj|=8,i≠j.请说明理由. 供题) 解:答案:存在.
3 考虑长度为 10 的 0,1 数列.其中仅 3 项为 1 的恰有 C10 ? 120 个,

(刘裕文

每个作为集合 A 的一个元素.
2 对每个 j=1,2,?,10,第 j 项为 1 的 0,1 数列恰有 C9 ? 36 个,它们

是集合 Aj 的 36 个元素.对每对 i,j∈{1,2,?,10}(i<j),第 i 项与第 j
1 项均为 1 的 0,1 数列恰有 C8 ? 8 个,它们是 Ai∩Aj 的元素.

综上知,存在满足条件的 10 个子集. 9.求最小的正整数 m,n(n≥2),使得 n 个边长为 m 的正方形,恰好可 以 割 并 成 (邹 明 供题) 解:依题意 n 个边长为 m 的正方形,恰好可以割并成 n 个边长分别为 n 个 边 长 分 别 为 1,2, ? ,n 的 正 方 形 .

1,2,?,n 的正方形 ? 12+22+?+n2=nm2,即 6m2=(n+1)(2n+1), 则(n+1)(2n+1)=2n2+3n+1≡0(mod6), 由 n2≡0,1,3,4(mod6)知 n≡±1(mod6). 若 6|n+1,设 n=6k-1(k∈N),得 m2=k(12k-1), 因(k,12k-1)=1,所以 k 与 12k-1 都是完全平方数,但 12k-1≡3 (mod4) 矛盾! 若 6|n-1,设 n=6k+1(k∈N),得 m2=(3k+1)(4k+1),因(3k+1,4k+1)=1,所 以, 3k+1=v2,4k+1=u2, 消 去 k 得 4v2-3u2=1,v=u=1 时 ,k=0,n=1, 但 n ≥ 2, 故 u>1,v>1. 由 4v2-3u2≡1(mod8)知 u,v 为奇数, 直接计算得 umin=15,vmin=13,k=56,所以, m 最小=15×13=195,n 最小=337. 10.设实系数三次多项式 p( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? c 有三个非零实数根. 求证: 6a ? 10(a ? 2b) ?12ab ? 27c .
3 2 3 2

(李胜宏

供题) 证明:设 ? , ? , ? 为 p(x)=0 的三个根,由根与系数关系
?? ? ? ? ? ? ? a ? ??? ? ?? ? ?? ? b 得: ???? ? ?c ?

a ? 2b ? ? ? ? ? ? .原式 ? 6a(a ? 2b) ? 10(a ? 2b) ? 27c
2 2 2 2

2

2

3 2

? 6(? ? ? ? ? )(? ? ? ? ? ) ? 10(? ? ? ? ? ) ? 27??? ①.
2 2 2 2 2

3 2 2

2 2 2 若 ? ? ? ? ? ? 0 ,则①成立.
2 2 2 若 ? ? ? ? ? ? 0 ,不妨设 | ? |?| ? |?| ? | ,由①的齐次性,不妨设

? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 9 ,则 ? 2 ? 3 , 2?? ? ? 2 ? ? 2 ? 9 ? ? 2 ? 6 .
① ? 2(? ? ? ? ? ) ? ??? ? 10 .因

[2(? ? ? ? ? ) ? ??? ]2 ? [2(? ? ? ) ? (2 ? ?? )? ]2 ? [4 ? (2 ? ?? )2 ][(? ? ? ) 2 ? ? 2 ]
3 ? [ 8 ? ? ? ? ? ? ) ] ( 9 ? 2 ? ) ?2? ? ) 2? ? ? 4 ( 2 ? ? ( (

)

?? ( 2? 0

)

72

? (?? ? 2)2 (2?? ? 7) ? 100 ? 100 , 所 以 , 2(? ? ? ? ? ) ? ??? ? 10 . 故
原式成立.

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