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均值不等式教案1


课 题: 第 01 课时 二个正数的算术-几何平均不等式(第一课时) 教学目标: 1.学会推导并掌握二个正数的算术-几何平均不等式定理; 2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。 教学重点:均值不等式定理的证明及应用。 教学难点:等号成立的条件及解题中的转化技巧。 教学过程: 一、知识学习: 2 2 定理 1:如果 a、b∈R,那么 a +b ≥2ab(当且仅当

a=b 时取“=”号) 2 2 2 证明:a +b -2ab=(a-b) 2 2 当 a≠b 时, (a-b) >0,当 a=b 时, (a-b) =0 2 2 2 所以, (a-b) ≥0 即 a +b ≥2ab 由上面的结论,我们又可得到 定理 2 (基本不等式) : 如果 a, b 是正数, 那么 号) 证明:∵( a ) +( b ) ≥2 ab a +b ∴a +b≥2 ab ,即 ≥ ab 2 显然,当且仅当 a=b 时, 说明:1)我们称
2 2

a +b
2

≥ ab (当且仅当 a=b 时取 “=”

a +b
2

= ab

a +b
2

为 a,b 的算术平均数,称 ab 为 a,b 的几何平均数,因而,

此定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2)a +b ≥2ab 和
2 2

a +b
2

≥ ab 成立的条件是不同的:前者只要求 a,b 都是实数,而

后者要求 a,b 都是正数. 3) “当且仅当”的含义是充要条件. 4)几何意义. 二、例题讲解: 例 1 已知 x,y 都是正数,求证: (1)如果积 xy 是定值 P,那么当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 P ; 1 2 (2)如果和 x+y 是定值 S,那么当 x=y 时,积 xy 有最大值 S 4 证明:因为 x,y 都是正数,所以 (1)积 xy 为定值 P 时,有

x+y
2

≥ xy ∴x+y≥2 P

x+y
2

≥ P

上式当 x=y 时,取“=”号,因此,当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 P . S 1 2 (2)和 x+y 为定值 S 时,有 xy ≤ ∴xy≤ S 2 4 1 2 上式当 x=y 时取“=”号,因此,当 x=y 时,积 xy 有最大值 S . 4 说明:此例题反映的是利用均值定理求最值的方法,但应注意三个条件:

ⅰ)函数式中各项必须都是正数; ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数; ⅲ)等号成立条件必须存在。 例 2 :已知 a、b、c、d 都是正数,求证: (ab+cd) (ac+bd)≥4abcd 分析:此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系,从而正确运用,同时 加强对均值不等式定理的条件的认识. 证明:由 a、b、c、d 都是正数,得

ab+cd
2 ∴

≥ ab·cd >0,

ac+bd
2

≥ ac·bd >0,

(ab+cd)(ac+bd) ≥abcd 4

即(ab+cd) (ac+bd)≥4abcd 3 例 3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m ,深为 3m,如果池底每 2 2 1m 的造价为 150 元,池壁每 1m 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总 造价是多少元? 分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的最 值,其中用到了均值不等式定理. 解:设水池底面一边的长度为 xm,水池的总造价为 l 元,根据题意,得

l=240000+720(x+

1600

x

)≥240000+720×2



1600

x

=240000+720×2×40=297600 1600 当 x= ,即 x=40 时,l 有最小值 297600

x

因此, 当水池的底面是边长为 40m 的正方形时, 水池的总造价最低, 最低总造价是 297600 元. 评述: 此题既是不等式性质在实际中的应用, 应注意数学语言的应用即函数解析式的建 立,又是不等式性质在求最值中的应用,应注意不等式性质的适用条件. 三、课堂练习:课本 P91 练习 1,2,3,4. 四、课堂小结: 通过本节学习,要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理, 并会应用它证明一些不等式及求函数的最值, ,但是在应用时,应注意定理的适用条件。 五、课后作业 课本 P10 习题 1.1 第 5,6,7 题 六、教学后记:


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