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关于“恒成立”问题的求解策略例谈


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2 0 0 3 年第 1 2 期 
解: 如 嗣所 示 , 分 爿上 i  、 D彳 1 = B E上 C于  上 c于 F, 在 R t AA B C中 , 雎 =   1 , '   , 同理 
,  
.  

中学数 学研 究 
? . .



异 面直 线  、 S f f i的距 离 :  
√ 3  √ 3  - 2 √ 2  

丁  

D F = 

.  

一  

√ / ( 等 - j n )   + ( 等 Ⅱ ) 2 - 2 " ( 譬 口 )   ?  
√ 2  
= =   。 ?  

又 B ~A C—D 为 直 二 面角 , 由公 式 ① 得 

兰 j 一 l   +  

例 3 棱 锥 s一肚 c D 的底 面 是 梯 形 , 腰  B c:A D=n , A c平分  A且 与 B C垂 直 , 侧 面 


6   、 三  
 

s   、 S B C都 垂 直 于 底 面 , 平面 S A B 与 底 面 成  角, 求异面直线 S A、 B C 的 距离 .   解: 如 图所 示, 过 c 作 
S  
。 



=   ∞ 5    故 B I ) 与 c的 距 离 为一 §  
例 2 已知 正 三 棱 锥 S—A B C的 僦 棱 和 底  面 边 长 均 为 n, E、 F   别是 S  . , i   的 中 点 

上解 于 E , 连结 S E,  
- ?



平面 S B C、S C D 垂 直 
B   E  ^  

直线 j   与s A的畦离.  
解: 如 图所 示 , 依 题 意 可 

于 腻面 A B C D,  
. .

S C

L 底面 船 c D.  


图4  

知该 三 棱 锥 为 正 四 面 体 . 取 
s A的 中 点 D, 再分另 4 圾 S D、   D A 的 中 点  、G, 连结 ∞ 、   D B、E H、G F,由 于 △  、  
图3  
:  

则  S  ̄ C 为 S— A B — C 的平 面 角, 即 
S EC _ 6 0  ̄ .  

在梯形 A B C D中,   A B C=2 /" C AB=6  ,   在△船 C中, 易得 A C=√ 3   a ,  
?


=2 a, C E 

△S A C均 为正 三角 形 , 则 C D、 D B、 E H  G F都 垂  

SC : C E? t a n SO  ̄:  3
口 ,  

直于 S A 。  
? . .

又二 二 面角 S—B C—A为直二 面角 , 由公式 
a    ̄ L  C T ) B 为 二 瓶 角 E—  
① 得 
口?   i n g ( ? 

C D : =   p =4   3  

s A—F的 平 面 角 ,   由余 弦 定 理 , 得 c o s  ̄ /C D B=1 1  则  _

2 ?   √ (   + (   a )   一  

口?   口? c o s 9 f 

s i I  C D B=  三  ,  
又 G F =E H=   c D=   - 4 - a.  

3 、 厂 _ 7  
= = …  —d ‘  

故所求距离 为3   。
. 



L , , 1  l  



A / / 1 



 

, : - I  A   q  : - I  

.   /1 



 

关 于“ 恒成 立" 伺  题 的 求解 策 略例 谈 
浙 江省 台州市椒 江一 中   ( 3 1 8 0 0 0 )   江访 良 

“ 恒成立” 问题是高中数学教学中的一个重  点, 也是一个难点. 同时也是高考和竞赛中的热 
?

3 2 ?  

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中学数 学研 究 
点. 通常遇到 的“ 恒成立” 问题 具 有 隐蔽 性 强 , 富 
< c < 1.  

2 0 0 3 年第 l 2期 

于思考 的特点 , 学 生解 决起来 感到难 以下手 . 下 
面举 例说 明关 于 “ 恒成立” 各 类 问题 的思 维 切入  
途径及解法 .   方 程 的解 集 为 全体 实数 的 问题 


由 Q: 不等式  +I   一2 c   I >1 的解集 为 R  
甘 I   一2 c   I >1 一   在 R上恒成立 ,   为 此 只要 画 出 函数 Y= I   一2 c   I 和 Y=1 一   的图象 ,   从 图象 知要 使 I   一2 c   I >1 一   在 R上 恒 成   立, 只 要 Y:I   一2 c   I 的 图 象 在 Y=1 一   的 图  象 的上 方 , 从而得 2 c>1 , 即 c >   1.  



方 程 的解 集 为 全 体 实 数 , 就 是 这 个 等 式 在 

全体 实数范 围 内恒 成立 . 解决这种 问题 常通过 
恒等变形 , 使方 程 一 端 化成 只 含 参 数 的解 析 式 ,  

而另 一端 为与参 数无关 的主变元 的 函数 , 然后  求 出主变元 函数 的值域 , 就 不难 确定参 数 的取  值范 围了 .   例 1   已 知 关 于  的方 程 s i n O—a c o s O+   2 Ⅱ一3=0的解 集 为 全 体实 数 , 求 实 数 a的 取 值  
范 围.   解: 原 方 程 的 解 集 为 全 体 实 数 等 价 于 

所 以 P和 Q有 且 仅有 一个 正 确 时 c的取  值范 围是 0<c ≤   1 或 c ≥1 .   如果 能将参 数分离 出来 , 建立 起 明确 的关  系, 问题就不难 解 决 了. 解题 过程 中, 我们 常用 
到下面结论 :  

 ̄ / 1 +a 2 s i n ( 0+  ) =3 ~2 a恒 成 立 ( 其中 s i n q  ̄  
Ⅱ   l   、  

( 1 ) g ( Ⅱ ) >   ) 恒成 立 的充 要条件是 :   g ( Ⅱ ) >   ) ] 一或 g ( Ⅱ ) ≥  ( 其中 M >   J r (  ) ) .   ( 2 ) g ( n ) <  (  ) 恒成立 的充要条件是 :   g ( 。 )<[   ) ] Ⅱ 1 i   或 g( Ⅱ ) ≤m( 其中 r n<  
f ( z ) ) .  

: i   一  ’ ∽  一、  ~  
分离参数 。 , 得s m (  +  ) = 一 竽  , 由于 
v  1+ Ⅱ 

I   s i n (  十  ) I ≤1 , 得}  
l+ “  

l ≤1 ,  

例3 设 Ⅱ 0 为 常数 , 且 a  =3   一2 a   一 l  
( n E  N ) .  

转化 为 I   3 —2 ⅡI   ≤( ~ / 1 +Ⅱ   )   , 斛得 
, ) 一  , ) 一  

(i ) 证明对任意 n ≥1 , ‰ ={[ 3 “ +( 一  
1 )   一   ? 2   ] +( 一1 )   ? 2  0 ;   ( i i ) 假设对 任意 n ≥1 , 有 a   >a   一 l , 求 a 0   的取值范 围. ( 2 0 0 3年 高 考新 课 程 卷理 第 ( 2 2 )  
题)  

2一  

6≤ “≤ 2十一   6?  

二、 不 等 式 的 解 集 为 全体 实数 的 问题  

不 等式的解集 为全体 实数 , 也 就 是 不 等 式  在 R上恒成 立 , 对 于 这类 问题 , 涉 及 的 知 识 面  广、 综 合性强 , 同时数学语 言抽 象 , 从 题 目中 :  

解: (i ) 用 数 学 归 纳法 不 难 证 明, 故 证 明 
略.  

何提 取可利 用 的知识模 块往往 捉摸 不定 , 难 以 
寻觅 . 为此 , 在 设法 分离参 数 的 同时 , 辅 以 数 形 

结合思想 , 揭示参数 的真正面貌 .   例 2   已 知 c>0 . 设 P:  
函 数 Y=c   在 R上 单 调 递 减 ;   Q: 不 等式   + I   一2 c   I >1的 

( i i ) 对任 意 n ≥1 , 有 a   >a   一 1 , 即对 任 意  nEN+, a  >n   一 l 恒成立 .   将 (i ) a   的通 项公式 代人 a   >a   一 l , 得 

{ [ 3 n + ( 一 1 )   ] + ( 一 1 ) n . 2   0 > { .  
[ 3   一  +( 一1 ) “ 一   ? 2   一   ] +( 一1 )   一   ? a n - 1 a 0 ,  
:  

解集 为 R.   如果 P 和 Q有 且 仅 有 一 

个正确 , 求 c的取值 范 围. ( 2 0 0 3 年 高考全 国卷  理第 ( 1 9 ) 题)   解: 由 P: 函数 Y=c   在 尺上 单调递 减甘 0  

整理, 得( 一 1 ) “ 一   ( 5 Ⅱ 0 — 1 ) < ( 妄)   一   ( , I ∈  
Ⅳ ) …① 

( 1 ) 当 n为 奇数 , 即 , I =2 k一1 ( k∈Ⅳ  )   时, ① 式 即 为 
?

33 ?  

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<  2 , 作 差  .  

( 一 1 )   I 一   ( 5 口 。 一 1 ) < ( 号)   , 即为口 0 <  

- (   1 ) 一 / - (   2 ) = √   } +1 一 √   i + 1 一口 (   1  


{ ? (   ) 2 1 " - 3 +   1 … ②  
②式对 k ∈N   恒成立, 有口 0 <[ 专?  

x 2 ):—   二   =  二  

一口   (  1 一  2   )=(  1  

(   ) 2 k - 3 + 吉 ] I I l i n -  ̄ "   1 ? ( 一 z 3 , 2  ̄ 1 - 3 +   1 =   1 .  
( 2 ) 当T t 为偶数 时 , 即 n=2 k ( k ∈N ) 时,  
① 式 即 为  。  

一  ) ( —   = ; : 亏  ’ 。  
一  2

一 口   ) . ‘  

( 1 ) 若 
1 )一  

) 在[ O , +∞) 上单调递减 , 则 

2 ) >0恒成 立 .  

( 一 1 )   I 一   ( 5 口 0 — 1 ) < ( 詈)   , 即为 口 0 >  


e p (   ? 一   z ) ‘  i 、 /   i   + l + √   i + l   一 1 ) > o 恒  
成立 , 由  1 <  2 , 则 1 一: c 2 <0 , 得  口>  
’  
口≥ 1 .  

{ ? (   ) 2 k - 2 +   1 … ③  
③式 对 k∈ Ⅳ  恒 成 立 , 有 口 0 >[ 一一  ?  

恒戚 但 成业 立’ , 又 u 义 o ≤ 1 ≤  <  
一一 /x2 2= =


(   )   I - 2 + { ] 一 = 一 { ? (   ) 2  ̄ 1 - 2 +   1 = 0 .  
综上 ( 1 ) 、 ( : ) , ①式对任意 / l ' ∈N’ 恒成立 ,  

<  

所以 

. v  

+1

有0 <口 o < 告.  
故 口 0 的取值范围为( 0 ,   1) .  

( 2 ) 若 

) 在[ 0 , +∞) 上单调递增 , 则 

(   )一  (  2 )< 0恒 威 立 即 (  l— X 2 )’   ( 一   = 一 _ _ i= 一 =一 一虞 d   )<o恒 ‘【 J   戚  成立, 由  上 ± |   1<  
、 ,   f+ 1+ v   i+ 1  
2,

我们 知 道要 判断 函数 Y=f (  ) ,  ∈D 的  单调性 , 就是任取 l ,   2 ∈D, 且 1 <  2 , 然后看  X 1 ) <   X 2 ) ( 增) 还是 f (   1 ) >f (   2 ) ( 减) . 但  是如果 这个 问题 是 已知 函数 的单 调性 , 求 函数  中参数 的范 围 , 其 实 质就是 在 1 , : g 2 ∈D,  1 <   X 2 且  X 1 ) <   2 ) ( 增) 或 
三、 函 数 单调 性 中 的 问题  

则  1 一  2 <0 , 得  ± 立, a   <  = =   <_ —    == 恒 但成 飙  又 0 义 ≤ 1 ≤  <  


√  f + 1+√  + 1  

1 ) > 厂 (  2 ) ( 减)  

恒成立 的条件下 , 求参数 的取值范 围.  

故   苟 
而 G>O , 所 以这 样 的 a不存 在 .  

事实上 , 当0 <口<1 时, 在 区间[ 0 , +∞) 上  存在两点 1 = O   p + 2 - - 1 一  


例 4 设 函数 
>0.  

) = 、 /   +1 一o . x , 其中 口  
) ≤1 ;  

, 满足 

1 ) =l ,  

(I ) 解不等式 

( I I ) 求 口的取值 范围 , 使 函数  [ 0 , +∞) 上 是单调函数 .  

) 在区间 

) =1 , 即f (  1 ) =  (   2 ) , 所 以函数 (  ) 在  区间[ O , +∞) 上不是单调 函数 .   综上 , 当且仅 当 口 ≥1 时, 函数  [ 0 , +∞) 上是单调 函数 .   ) 在区 间 

( 2 O O O年高考全国卷理第 ( 1 9 ) 题)  

解: (i ) 解答 略 , 其答案 为  当0 <口<1 时, 所 给不 等式 的解集 为 {  l 0  
2n   ‘  
一  

四、 函数 奇 偶 性 ( 或对称性 ) 中的 问 题 

如果 已知函数 为奇 ( 偶) 函数 , 那么就有 
) =一 f (  ) ( f ( 一  ) =f (  ) ) 在 其定 义域 

≤   ≤『 二  j ;  
当口 ≥1 时, 所 给不 等式 的解 集为 {  l  ≥  

上 恒成立 ; 如果 已知 函数 图象关 于一条直 线对  称或一个点对称 , 也可转化为某个 等式恒成立 ,   例如 :   ( 1 ) 函数 Y =  菇 ) 的图象关于直线  =a  

0 1 .  
( I I ) 在区 间 [ 0 , +∞) 上任取 茹 1 ,  2 , 使 1  
?

3 4 ?  


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