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2.2等差数列


等差数列
教学目的: 1、理解等差数列的概念。

2、掌握等差数列的通项公式,并会根据他进行简单
的运算 教学重点: 教学难点: 关 同 等差数列的概念及通项公式,通项公式的应用。 理解等差数列的概念。

键: 讲清“等差”的特点,强调每一项于前一项的差是

一个常数。 教学方法:启发式, 讲练结合

。 教学过程: 一、提问导入新课。

Ⅰ、 观察与思考 :下面的几个数列:
4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10, 1 2 3 4 5 , , , , 10 10 10 10 10 ? 3 , 0 , - 3 , - 6 , - 9 , -1 2 , ? , ?

Ⅱ、问题: 从第2项起它们的后一项与前一项的差有什麽特点? 分析:后一项与前一项的差的特点是: 1 , 1 , 1 , 1 ,1 ,1 , ? 是常数1
-3 ,
1 10 ,

-3 , -3 ,
1 10 ,

-3 ,
,

- 3 ,?
1 10 ,

是常数-3 1/10

1 10

? 是常数

Ⅲ、归纳:这些数列

从第2项起它们的后一项与前

一项的差都是同一个常数。

一、等差数列的定义:

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的
差等于同一个常数,那麽这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫等差数列的公差,通常用字母d表示。 等差数列的首项用字母 a1 表示。 例 1: 观察下列数列是否是等差数列:

? 1? : ? 2? : ? 3? : ? 4? :

1 , 2 , 4 , 6 , 8 ,10 , 12 , ? -3, -2 , 1 , 3 , 5 , 7 , ? 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 ,? 1 , 2 , 4 , 7 , 11 , 16 , ?

解析:(1)、该数列的第2项与第一项的差是1,其余的后一 项与

前一项的差都是2。不符合等差数的定义 要求从第2项
起后项与前项的差是同一个常数。 所以, 它不是等差数列。 (2)、不是。理由同(1) (3)、是。 它符合等差数列的定义。 (4)、不是。因为他从第2项起后项与前项的差是 : 1,2 , 3 ,4 ,5 ,‥‥是常数,但不是同一常数。 所以不是。

1、等差数列要求从第2项起,后一项与 前一项作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。

可以是整数,也可以是0和负数。

二、等差数列的通项公式:

等差数列{ an }的首项是 a1 , 公差是d ,如:
那麽,则由定义得:

a1 , a 2 , a 3
a2-a1=d a3-a2=d (1) (2)

a4-a3=d (3) a5-a4=d (4) 、、、、、 an-a n-1=d

?

, a 4 , a5

, ? , an , ?

分析:如果把左边由(1)式
n-1 到最后一个式子,共_____个式 子相加,则有: 等号左边为:an-a1 , 等号右边为:(n-1)d 所以: an-a1=(n-1)d ,即

an=a1+(n-1)d



等差数列的通项公式是: an = a1+(n-1)d

当n =1时,上式两边都等于 a1 。 ∴

n∈N*,公式成立。

三、通项公式的应用: 例 2:(1)、已知等差数列的首项 a1是3,公差 d 是2,求它 的通项公式。

(2)、求等差数列 10 ,8 , 6 ,4 ,‥‥的第20项。
(3)、 -401是不是等差数列 –5 , -9 ,-13 ,‥‥

的项 ?如果是,是第几项?

等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 中 ,an , a1 , n , d 这四个变量 , 知道其中三个量就可以求余下的一 个量 。

(1)、已知等差数列的首项 a1是3,公差 d 是2, 求它 的通项公式。
分析:知道a1 , d ,求an 。代入通项公式。

解: ∵ a1=3 , d=2 ∴ an=a1+(n-1)d =3+(n-1) ×2 =2n-1 (2)、求等差数列 10 ,8 , 6 ,4 ,‥‥的第20项。 分析: 根据a1=10,d= -2,先求出通项公式an ,再求出a20
解: ∵ a1=10, d=8-10= -2 , n=20 由an=a1+(n-1)d 得 ∴ a20 =a1+(n-1)d =10+(20-1)×(-2) = -28

(3)、 -401是不是等差数列 –5 , -9 ,-13 ,‥‥ 的项 ?如果是,是第几项?
分析:根据a1= -5,d= -4,先求出通项公式an ,

再把 –401代入,然后看是否存在正整数n 。
解: ∵ a1= -5, = -4n-1 ∵ -401= -4n-1 d= -9-(-5)= -4

∴ an= -5+(n-1) ×(-4)

∴n=100
∴ -401是该数列的第100项。

例3: 在等差数列{an}中 , 已知a6=12 ,a18=36 ,求首项a1 , 公差 d 及通项an 。 分析: 此题已知a6=12 ,n=6 ;a18=36 , n=18分别代入通项, 公式an = a1+(n-1)d 中 ,可得两个方程,都含a1与d两个未知 数组成方程组,可解出a1与d 。 *********** 解: 由题意可得 ∴ an = 2+(n-1) ×2 = 2n ∴ d=2 a1 =2

a1+5d=12 ﹛ a1+17d=36

(1)
(2)

此题解法是利用数学的函数与方程思想,函数
与方程思想是数学几个重要思想方法之一,也是高

考必考的思想方法,应熟悉并掌握。

四、小结: 这节课主要讲了以下两个问题: 1、 等差数列的概念。必须从第2项起后项减去前

项,并且差是 同 一常数。
身不是。

像例1中(1)、(2)小

题只能说它们从第2项起、 从第3项起是等差数列,而它们本

2、等差数列的通项公式

an = a1+(n-1)d

知道其中三

个(或两个)字母变量,可用列方程(或方程组)的方法,求 余下的一个(或两个)变量。

1、(1)、求等差数列 3 ,7 , 11 ,‥‥的第4项和第10项。 (2)、100是不是等差数列 2 ,9 ,16 ,‥‥的项? 如果是, 是第几项?如果不是,说明理由。 (3)、 -20是不是等差数列 0 ,-3.5 ,-7 ,‥‥的项?

如果是, 是第几项?如果不是,说明理由。
2、在等差数列{an}中, (1)已知 a4=10 , a7=19 ,求 a1与 d 。 (2)、已知 a3=9 , a9=3 ,求 a12 。

解: (1)、∵ a1=3 ,
d=7-3= 4 ∴ an=3+4(n-1) = 4n-1 ∴ a4=4×4-1=15 , a10=4×10 –1=39 (2)、∵ a1=2 , d=9-2=7 ∴ an=2+7(n-1)

(3)、∵ a1=0 ,
d= -3.5 -0 = -3.5

∴ an=0-3.5(n-1)
= -3.5n+3.5 ∵ -20= -3.5n+3.5无正整数解 ∴ -20不是该数列的项。

= 7n-5 ∵ 100=7n-5 ∴ n =15 ∴ 100是该数列的第15项。

解: (1)由题意得
{

a1+3d= 10
a1+6d=19




解得:
d=3 , a1=1 。 (2)由题意得 a1+2d= 9 { a1+8d=3 解得: d= -1 , a1=11 。 ② ①

∴ an=11-1(n-1)=12-n
∴ a12= 12-12 =0

1、已知等差数列第m项是am ,公差是 d ,求an 。 2、已知等差数列 a1,a2 , a3 , a4 , a5…… , 那麽 (1)、 a1 , a3 , a5 , a7 ,………是什麽数列? (2)、 a1 , a4 , a7 , a10 ,………是什麽数列? d是公差


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