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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 6.1曲线与方程 苏教版选修2-1


2.6.1

曲线与方程

课时目标 结合学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,会求两条曲 线的交点的坐标,表示经过两曲线的交点的曲线.

1.一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数 解建立如下关系: (1)__________________________

都是方程 f(x,y)=0 的解; (2)以方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上. 那么,方程 f(x,y)=0 叫做________________,曲线 C 叫做__________________. 2.如果曲线 C 的方程是 f(x,y)=0,点 P 的坐标是(x0,y0),则①点 P 在曲线 C 上? ______________;②点 P 不在曲线 C 上?________________.

一、填空题 1.已知直线 l 的方程是 f(x,y)=0,点 M(x0,y0)不在 l 上,则方程 f(x,y)-f(x0,y0) =0 表示的曲线是__________________. 2.已知圆 C 的方程 f(x,y)=0,点 A(x0,y0)在圆外,点 B(x′,y′)在圆上,则 f(x, y)-f(x0,y0)+f(x′,y′)=0 表示的曲线是________________. 3.下列各组方程中表示相同曲线的是________. y ①y=x, =1; x ②y=x,y= x ; ③|y|=|x|, y= x; 2 2 ④|y|=|x|,y =x . 4. “以方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都是曲线 C 上的点”是“曲线 C 的方程是 f(x, y)=0”的____________条件. 5.求方程|x|+|y|=1 所表示的曲线 C 围成的平面区域的面积为________. 6.到直线 4x+3y-5=0 的距离为 1 的点的轨迹方程为_____________________. ?1 ? 则 a=________,b=________. 2 7. 若方程 ax +by=4 的曲线经过点 A(0,2)和 B? , 3?, ?2 ? 8.如果曲线 C 上的点的坐标满足方程 F(x,y)=0,则下列说法正确的是________.(写 出所有正确的序号) ①曲线 C 的方程是 F(x,y)=0; ②方程 F(x,y)=0 的曲线是 C; ③坐标不满足方程 F(x,y)=0 的点都不在曲线 C 上; ④坐标满足方程 F(x,y)=0 的点都在曲线 C 上. 二、解答题 9.(1)过 P(0,-1)且平行于 x 轴的直线 l 的方程是|y|=1 吗?为什么? (2)设 A(2,0),B(0,2),能否说线段 AB 的方程是 x+y-2=0?为什么?
2

-1-

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10.画出方程 y=||x|-1|的曲线.

能力提升 11.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足 PA=2PB,则点 P 的轨迹所包围的 图形的面积为________. 12.证明与两条坐标轴的距离的积是常数 k(k>0)的点的轨迹方程是 xy=±k.

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1.判断方程是否是曲线的方程要验证两个方面. 2.判断方程表示的曲线,可以对方程适当变形,但要注意与原方程的等价性. 3.方程与曲线是从两个不同的方面反映曲线上点的坐标(x,y)的关系. §2.6 曲线与方程 2.6.1 曲线与方程 知识梳理 1.(1)曲线 C 上点的坐标(x,y) (2)曲线 C 的方程 方程 f(x,y)=0 的曲线 2.①f(x0,y0)=0 ②f(x0,y0)≠0 作业设计 1.与 l 平行的一条直线 解析 方程 f(x,y)-f(x0,y0)=0 表示过点 M(x0,y0)且和直线 l 平行的一条直线. 2.过 A 点与圆 C 同心的圆 解析 由点 B(x′,y′)在圆上知 f(x′,y′)=0. 由 A(x0,y0)在圆外知 f(x0,y0)为不为 0 的常数, 点 A(x0,y0)代入方程 f(x,y)-f(x0,y0)=0 成立. 所以 f(x,y)-f(x0,y0)=0 表示的曲线过 A 点. 3.④ 解析 ①中 y=x 表示一条直线,而 =1 表示直线 y=x 除去(0,0)点;②中 y=x 表示一 条直线, 而 y= x 表示一条折线; ③中|y|=|x|表示两条直线, 而 y= x表示一条射线; 2 2 ④中|y|=|x|和 y =x 均表示两条相交直线. 4.必要不充分 解析 f(x,y)=0 是曲线 C 的方程必须同时满足以下两个条件:①以 f(x,y)=0 的解为 坐标的点都在曲线 C 上;②曲线 C 上的点的坐标都符合方程 f(x,y)=0. 5.2
2

y x

解析 方程|x|+|y|=1 所表示的图形是正方形 ABCD(如图),其边长为 2. ∴方程|x|+|y|=1 所表示的曲线 C 围成的平面区域的面积为 2. 6.4x+3y-10=0 和 4x+3y=0 |4x+3y-5| 解析 可设动点坐标为(x,y),则 =1,即|4x+3y-5|=5. 5 ∴所求轨迹为 4x+3y-10=0 和 4x+3y=0. 7.16-8 3 2 8.③ 解析 直接法:

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原说法写成命题形式即“若点 M(x,y)是曲线 C 上的点,则 M 点的坐标适合方程 F(x,y) =0” ,其逆否命题是“若 M 点的坐标不适合方程 F(x,y)=0,则 M 点不在曲线 C 上” ,此 即说法③. 2 特值方法:作如图所示的曲线 C,考查 C 与方程 F(x,y)=x -1=0 的关系,显然①、②、 ④中的说法都不正确. 9.解 (1)如图所示,

过点 P 且平行于 x 轴的直线 l 的方程为 y=-1,因而在直线 l 上的点的坐标都满足|y| =1,但是以|y|=1 这个方程的解为坐标的点不会都在直线 l 上. 所以|y|=1 不是直线 l 的方程,直线 l 只是方程|y|=1 所表示曲线的一部分. (2)由方程 x+y-2=0 知,当 x=4 时,y=-2. 故点(4,-2)的坐标是方程 x+y-2=0 的一个解,但点(4,-2)不在线段 AB 上. ∴x+y-2=0 不是线段 AB 的方程. 10.解 ①x∈R,y≥0,

②令 x=0,得 y=1,令 y=0,得 x=±1, ∴曲线与坐标轴的交点为(0,1),(1,0),(-1,0). ③用-x 代入 x,得||-x|-1|=||x|-1|=y. ∴曲线关于 y 轴对称. ④当 x≥0 时,有 y=|x-1|, 此时,若 x≥1,则 y=x-1, 若 0≤x<1,则 y=1-x. 先画出图象在 y 轴右侧的部分,再根据图象关于 y 轴对称,便可得到方程的曲线,如图 所示. 11.4π 12.证明 (1)

如图所示,设 M(x0,y0)是轨迹上的任意一点.因为点 M 与 x 轴的距离为|y0|,与 y 轴的 距离为|x0|, 所以|x0|·|y0|=k, 即(x0,y0)是方程 xy=±k 的解. (2)设点 M1 的坐标(x1,y1)是方程 xy=±k 的解,则 x1y1=±k,即|x1|·|y1|=k.
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而|x1|,|y1|正是点 M1 到纵轴、横轴的距离,因此点 M1 到这两条直线的距离的积是常数 k, 点 M1 是曲线上的点. 由(1)(2)可知,xy=±k 是与两条坐标轴的距离的积为常数 k(k>0)的点的轨迹方程.

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