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江苏省扬州市2007~2008学年度第二次调研测试试题高三数学2008.01


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扬州市 2007—2008 学年度第一学期期末调研测试试题

高三数学参考答案
第 一 部 分
一、填空题
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1. {1, 2, 4} 5. 2 4

2. 1 ? i 6.1

3. x ? 2 x
2

4. ?
?
3 )

24 7

7. 2 s in ( 2 x ?

8.

?
4

9.19 13. ? 4 二、解答题:

10.1 14.①②③⑤

11. 2 x ? y ? 1 ? 0

12.

5 ?1 2

15.解:本题的基本事件共有 27 个(如图) .----------------------------------------------------3 分 (1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A,由图可知,事件A 的基本事件有1× 3=3个, 故 P ( A) ?
3 27 12 27 ? 1 9 4 9 1 9

.------------------------------------------------------------------------------6 分

(2)记“相邻 2 个矩形颜色不同”为事件B,由图可知,事件 B 的基本事件有 3× 2=12 个, 2× 故 P(B) ?
?

.-----------------------------------------------------------------------------12 分 ,相邻 2 个矩形颜色不同的概率为
4 9

答:3 个矩形颜色都相同的概率为

.------------14 分

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16.解: (1) A B ? A C ? B C ,
??? 2 ? ???? 2 ??? 2 ? ???? ??? ? AB ? AC ? BC ? 2 AC ? BC ? 2 ,

??? ?

????

????

AB ?

2 . (或由 c o s ? A C B ?

3 4

及余弦定理求得----------------------------------------7 分

? B C (2)∵ A C ? A B ∴ B ? C? A ,即求 B ? A 的某个三角函数值, --------------------------------------9 分

cos B ?

BA ? BC
2

2

? AC

2

2 ? BA ? BC AB ? AC
2 2

? ? 2
2

1 2

, s in B ?
2 7 4

7 2



cos A ?

? BC

2 ? AB ? AC

? 4

5 2

, s in A ?

, -------------------------------11 分

2

sin ( B ? A ) ? sin B co s A ? co s B sin A ,

? 2

7 2

? 4

5 2

? (? 2
1 8

1 2

)? 4

7 2

?

3 7 8

.------------------------------------------------14 分

(或 c o s ( B ? A ) ?

, tan ( B ? A ) ? 3 7 )
1 2 AB ,

17.证: (1)∵ P Q // A B 且 P Q ?

AB 在平面 PQRS 外, P Q ? 平面 PQRS, ∴ AB//平面 PQRS,-----------------------------------------------------------------------------3 分 又 SR=平面 PQRS ? 平面 ABD, AB 在平面 ABD 内, ∴ AB//SR. ∵ S 是 AD 中点,∴ R 为 BD 中点,-----------------------------------------------------5 分 ∴
A B // S R 且 S R ?

1 2

AB ,

∴PQ//SR 且 PQ=SR, 故四边形 PQRS 是平行四边形. ------------------------------------------------------------7 分 (2) A M ?
3 .--------------------------------------------------------------------------------------9 分

∵ CM⊥AB,DM⊥AB,CM ? DM=M ∴ AB⊥平面 MCD,从而 AB⊥CD. 又∵ AB//PQ,QR//CD, ∴ PQ⊥CM,PQ⊥CD, 由 CM ? CD=C,
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∴ PQ⊥平面 MCD,---------------------------------------------------------------------------12 分 又 PQ ? 平面 PQRS, ∴ 平面 PQRS⊥平面 MCD.-----------------------------------------------------------------15 分

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2 x

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18.解: (1) f '( x ) ? ( x ? 3 x ) e ,--------------------------------------------------------------2 分
f '(1) ? ? 2 e , f (1) ? e ,---------------------------------------------------------------------4 分

因此直线方程为 y ? e ? ? 2 e ( x ? 1) ,即 2 ex ? y ? 3 e ? 0 .---------------------------7 分 (2) f '( x ) ? [ x ? ( a ? 2 ) x ? ( a ? 5)] e ,------------------------------------------------------9 分
2 x

依题意 g ( x ) ? x ? ( a ? 2 ) x ? ( a ? 5) 在区间 [0, ? ? ) 上非负,
2



a?2 2

≥ 0 时, ? ? ( a ? 2 ) ? 4 ( a ? 5) ? 0 ,
2

即?
?

?

a≥ 2 ?4 ? a ? 4

解得 2≤ a ? 4 ;-----------------------------------------------------------12 分



a?2 2

? 0 时, g (0 ) ? ? ( a ? 5) ? 0 ,得 a ? 2 ;

综上可得 a ? 4 .----------------------------------------------------------------------------------15 分 另解: g ( x ) ? x ? ( a ? 2 ) x ? ( a ? 5) 在区间 [0, ? ? ) 上非负,
2

x ? 2 x ? 5 ? a ( x ? 1) 在区间 [0, ? ? ) 上恒成立;
2

x ? 2x ? 5
2

x ?1
( x ? 1) ? 4

? a 在区间 [0, ? ? ) 恒成立;

x ?1

? a 在区间 [0, ? ? ) 恒成立;

综上可得 a ? 4 ;

19.解: (1)圆 C: ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 ,当 b ? 1 时,点 M ( 0 ,1) 在圆上,
2 2

故当且仅当直线 l 过圆心 C 时满足 M P ? M Q , ∵ ∴
? (2)由 ? ?

圆心坐标为 (1,1) ,
k ? 1 .----------------------------------------------------------------------------------------6 分

x ? y ? 2x ? 2y ?1 ? 0
2 2

y ? kx

消去 y 可得 (1 ? k ) x ? 2 (1 ? k ) x ? 1 ? 0 ,
2 2

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设 P ( x1 , y 1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ∵
M P? M Q ,∴

2 (1 ? k ) 1? k
2

, x1 x 2 ?

1 1? k
2

,-------------------8 分

???? ???? ? M P? M Q 0 , ?

即 ( x1 , y 1 ? b ) ? ( x 2 , y 2 ? b ) ? 0 . x1 x 2 ? ( y1 ? b )( y 2 ? b ) ? 0 . 又 y 1 ? k x1 , y 2 ? kx 2 , ∴ ∴
x1 x 2 ? ( k x ? )b( k 2x ? 1
(1 ? k ) ?
2

) b ,即 (1 ? k ) x1 x 2 ? kb ( x1 ? x 2 ) ? b ? 0 ? 0
2 2

1 1? k
2

? kb ?

2 (1 ? k ) 1? k
2

? b ? 0 -------------------------------------------10 分
2

当 b ? 0 时,此式不成立,从而 b ?

1 b

?

2k ? 2k
2

1? k

2

,-----------------------------------12 分

令 g (k ) ?

2k ? 2k
2

1? k
2

2

,则 g '( k ) ?

( 4 k ? 2 )(1 ? k ) ? ( 2 k ? 2 k ) ? 2 k
2 2

(1 ? k )
2

2

?

?2k ? 4k ? 2
2

(1 ? k )
2

2



h ( k ) ? ? 2 k ? 4 k ? 2 在 (3, ? ? ) 上单调递减,即 h ( k ) ? h (3) ? 0 ,
2k ? 2k
2

故 g '( k ) 在 (3, ? ? ) 上为负,所以 g ( k ) ?
12 5

1? k

2

在 (3, ? ? ) 上单调递减,

即 g ( k ) ? g (3) ?
2

(注:也可用基本不等式等得出) ,
2k ? 2 1? k
2

且 g (k ) ?

2k ? 2k 1? k
2

?2 ?

? 0 ----------------------------------------------------14 分

(事实上,当 k ? ? ? 时, g ( k ) ?

2k ? 2k
2

2? ? 1 k
2

2 k ?1

1? k

2

→2)

所以 2 ? b ?

1 b

?

12 5


11 5 6? 5 11 6? 5 11 6? 5 11

解此不等式得:

6?

? b ? 1 或1 ? b ?



所以 b 的取值范围是 (

,1) ? (1,

) .------------------------------------16 分

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*

20. (1)证明:数列 { b n } 是等差数列,设公差为 d ,则 b n ? 1 ? b n ? d 对 n ? N 恒成立, 依题意 b n ? lo g 1 a n , a n ? ( ) ,
bn

1

2

2

所以

a n ?1 an

1 b ?b 1 d ? ( ) n ?1 n ? ( ) 是定值,从而数列 { a n } 是等比数列.------------------4 分 2 2
1 2

(2)解:当 n ? 1 时, a 1 ?

,当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ? 1 ? ( ) , n ? 1 也适合此式,
n

1

2

即数列 { a n } 的通项公式是 a n ? ( ) .由 b n ? lo g 1 a n ,
n

1

2

2

数列 { b n } 的通项公式是 b n ? n ,------------------------------------------------------------6 分 所以 Pn (
1 2
n

, n ) , Pn ? 1 (

1 2
n ?1

, n ? 1) .

过这两点的直线方程是:

y?n ( n ? 1) ? n
n?2 2
n ?1

x? ? 2 1
n ?1

1 2 ?
n

1 2
n



可得与坐标轴的交点是 A n (
cn ? 1 2 ? O An ? O B n ?

, 0 ) 和 B n (0 , n ? 2 ) . ---------------------------------8 分

(n ? 2) 2
2 n?2

2



由于 c n ? c n ? 1 ?

(n ? 2) 2
n?2

?

( n ? 3) 2
n?3

2

?

2 ( n ? 2 ) ? ( n ? 3)
2

2

2

n?3

?

n ? 2n ? 1
2

2

n?3

? 0

即数列 { c n } 的各项依次单调递减,所以 t ? c1 ?

9 8

.------------------------------------10 分

(3)数列 { d n } 中, b k (含 b k 项)前的所有项的和是
k ?1

(1 ? 2 ? ? ? k ) ? (3 ? 3 ? ? ? 3
1 2

) ?

k ? k ? 1? 2

?

3 ?3
k

2

估算知,当 k ? 7 时,其和是 2 8 ?

3 ?3
7

? 1120 ? 2008 ,

2

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8

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当 k ? 8 时,其和是 3 6 ?

3 ?3 2

? 3315 ? 2008 ,

又因为 2 0 0 8 ? 1 1 2 0 ? 8 8 8 ? 2 9 6 ? 3 ,是 3 的倍数, 故存在这样的 m ,使得 S m ? 2 0 0 8 , 此时 m ? 7 ? (1 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ) ? 2 9 6 ? 6 6 7 .----------------------------------------16 分
2 5

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第二部分(加试部分)
Cn
2

1.解:由题意得:

Cn

1

? 4 ,解得 n ? 9 ,---------------------------------------------------4 分

则展开式 ( x ?
2

1 x

) 共有 10 项,

9

展开式系数最大的项为第 5、6 项,
T 5 ? C 9 x ? 1 2 6 x ;-------------------------------------------------------------------------8 分
4 6 6

T 6 ? C 9 x ? 1 2 6 x -----------------------------------------------------------------------------10 分
5 3 3

2.解:分别以 DA,DC, D D 1 为 x , y , z 轴正方向建立空间直角坐标系, 则 B1 ( 2 , 2 , 2 ) , N (0 , 2 ,1) , N B 1 ? ( 2 , 0 ,1) ---------------------------------------------3 分 又 M (0 ,1, 2 ) , D (0, 0, 0 ) , B ( 2, 2, 0 ) ,则 D B ? ( 2 , 2 , 0 ) , D M ? (0,1, 2 ) , 可得平面 BDM 的一个法向量是 n ? ( 2 , ? 2 ,1) ,------------------------- --------------6 分
???? ? 因为 c o s ? n , N B 1 ? ? 5 ???? ? ? , ------------------ --------- --------------------8 分 3 | n | ? | N B1 |
5 3

???? ?

????

?????

n ? N B1

???? ?

故直线 B 1 N 与平面 BDM 所成的角的正弦值是

.----------------------------------10 分

3.解: (1)杨华直到第 4 次测试完毕才通过 3 项的概率是:
2 1 2 2 1 2 P ? C3 ( ) ? ? ? .-----------------------------------------------------------------5 分 3 3 3 27

(2)由已知 X 的取值为 4,5, 且 P ( X ? 4) ? C5 ( ) ?
4 4

1

2 3

?

10 243 10 243

3

, P ( X ? 5) ? C 5 ( ) ?
5 5

1

1 243

3

所以 X 的数学期望 E X ? 4 ?

? 5?

1 243

?

5 27

.---------------------------- ------10 分
2 27

答:此同学直到第 4 次测试完备后才被确定为 B 级的概率是

;入围的期望是

5 27



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4.解: (1)由 ( S 1 ? 1) ? S 1 得: S 1 ? 由 ( S 2 ? 1) ? ( S 2 ? S 1 ) S 2 得: S 2 ?
2

1 2

;.------------------------ -------------- ---------2 分
2 3 3 4

; ;.------------------------ -------------- ---------4 分

由 ( S 3 ? 1) ? ( S 3 ? S 2 ) S 3 得: S 3 ?
2

(2)猜想: S n ?

n n ?1

,.------------------------ ------------------------------------------------6 分

证明:①当 n ? 1 时,显然成立; ②假设当 n ? k ( k ? 1) 时, S k ?
k k ?1

成立,
1 2 ? Sk ? 2? 1 k k ?1 ? k ?1 k ?2

2 则当 n ? k ? 1 时,由 ( S k ? 1 ? 1) ? a k ? 1 S k ? 1 得: S k ? 1 ?



从而 n ? k ? 1 时,猜想也成立. 综合①②得结论成立.-------------------- -------------------------------------------------10 分

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