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福建省厦门市2013届高三上学期期末质量检查数学文试题


厦门市 2013 届高三上学期质量检查

数学(文)试题
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={3,4},B={1,2,3},则( ? A)∩B 等于 U A.{3} B.{l,2} C.{1,3} D.{l,2,3} 2.下列命题中,真命题是 A. ?x ? R,sinx<l B. ? x∈R,2x <0 C.若 a>b,则 ac>bc D.若 x>l 且 y>2,则 x+y>3 3.已知平面向量 a=(2-k,3) ,b=(2,4) ,a∥b,则实数 k 等于 A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 5

?x ? 2 ? 0 ? 4.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则 z=x-y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 4 ?
A.0 B.2 C.3 D.4 5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. 15 ? B. 24 ? C. 39 ? D. 48 ? 6.已知 F 是抛物线 y2 =4x 的焦点,P 是圆 x2 +y2-8x-8y +31 =0 上 的动点,则|FP|的最小值是 A.3 B.4 C.5 7.函数 y= y ?

D.6

sin x , x ? ( ?? ,0) ? (0 ?) 的图象是 x

8.用反证法证明命题“若关于 x 的方程 ax2+ bx +c =0(a≠O,a,b, c∈Z)有有理根,那么 a,b,c 中 至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是 A.假设 a,b,c 都是偶数; B.假设 a,b,c 都不是偶数 C.假设 a,b,c 至多有一个偶数; D.假设 a,b,c 至多有两个偶数

9.已知函数 f(x)= 2sin(2x-

? ) ,则下列判断正确的是 3 ? A.函数 f(x)的最小正周期为 2 11 B.函数 f(x)的图象关于( ? ,0)对称 12 11 ? 对称 C.函数 f(x)的图象关于直线 x= 12 ? D.将函数 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 y= 2sin2x 的图象 3

10.函数 f(x)满足: (i) ? x∈R,f(x+2)=f(x)( ii)x∈[-1,1],f(x)= -x2+1. , 给出如下四个结论: ①函数 f(x)在区间[1,2]单调递减; ②函数 f(x)在点(

1 3 , )处的切线方程为 4x +4y -5 =0; 2 4

③若数列{an}满足 an=f(2n) ,则其前 n 项和 Sn=n; 2 ④若[f(x)] -2f(x)+a =0 有实根,则 a 的取值范围是 0≤a≤1. 其中正确结论的个数是 A.l B.2 C.3

D.4

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.sin75o cos75o 的值是 。 12.已知中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的离心率为 。 13.已知函数 f(x)= ?

3 ,实轴长为 4,则双曲线的方程是 2

? x 2 , x ? 0, ? 若 f(-1)+f(a2)=1,则 a= x ?2 ? 1, x ? 0. ?



14.若不等式 5+m+

4 ? k 对任意 m∈(0,+ ? )都成立,则 K 的最大值为 m



15.平面直角坐标系下直线的方程为 Ax +By+C=0(A2 +B2 ≠0) ,用类比的方法推测空间直角坐标系 下平面的方程为 。 16.如图,AB 是圆 O 的直径,P 是圆弧 AB 上的点,M,N 是直径 AB 上关于 O 对称的两点,且 AB

PN =6,MN =4,则 PM · 等于

? ???? ??? ?



三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,在答题卡上 相应题目的答题区域内作答. 17. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1 C1 中,侧棱 AA1⊥平面 ABC,AB=BC=AA1=2,AC=2 2 ,E,F 分 别是 A1B,BC 的中点. (I)证明:EF∥平面 A AlClC; (II)证明:AE⊥平面 BEC。

18. (本小题满分 12 分) 已知 x=-2 是函数 f(x)=(ax +1)ex 的一个极值点. (I)求实数 a 的值; (Ⅱ)若 x∈[ -4,0],求函数 f(x)的单调区间及最大值.

19. (本小题满分 12 分) 已知数列{ an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn +3 =3an(n ? N*) n}是等差数列,且 b2 =a2,b4=a1 +4. ,{b (I)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列{anbn}的前 n 项和 Tn。

20. (本小题满分 13 分) 已知锐角三角形 ABC 的三个内角为 A, C, B, 其对应边分别为 a, c, b, b=2 3 , 向量 m= cosB, ( cosC) ,n=(c-a,b) ,且 m· n=acosB。 (I)求角 B 的大小; (Ⅱ)求 a+c 的取值范围.

21. (本小题满分 13 分) 某厂家研发甲、乙两种产品准备试产,经调研,生产甲产品需固定成本 100 万元,每生产一件产 品,成本增加 1 万元,每件销售价格 p(万元/件)与产量 x(件)满足关系 p= 25 ? 品的利润 L(万元)与成本 t(万元)的关系为 L= ?

1 x ;乙产 8

?0,0 ? t ? 4, 现有资金 200 万元,所生 ?80ln t,4 ? t ?100.

产的产品都能销售出去,并且甲产品必须生产. (I)要使甲产品的利润最大,应生产甲产品多少件; (Ⅱ)若资金全部投入生产,如何分配对甲、乙的投资,能使厂家获得的利润最大?

22. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 已知 A,B 分别是椭圆 C1: 2 ? 2 =1 的左、右顶点,P 是椭圆上异与 A,B 的任意一点,Q 是双曲 a b
线 C2:

x2 y 2 ? =1 上异与 A,B 的任意一点,a>b >0. a 2 b2
5 5 , 3) ,Q( ,1) ,求椭圆 Cl 的方程; 2 2

(I)若 P(

(Ⅱ)记直线 AP,BP,AQ,BQ 的斜率分别是 k1,k2,k3,k4,求证:k1·2+k3·4 为定值; k k (Ⅲ)过 Q 作垂直于 x 轴的直线 l,直线 AP,BP 分别交 l 于 M,N,判断△PMN 是否可能为正 三角形,并说明理由.



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