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广东省海珠区2013届高三上学期综合测试(二)数学文试题 word版


海珠区 2012 学年高三综合测试(二) 数学(文科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室 号、座 位号填写在答题卡上。 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷 上。 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域 内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂 改液。不按以上要求作答的答案无效。 4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡一并交回。 参考公式:锥体体积公式 如果事件 A、B 互斥,那么 线性回归方程 其中 中系数计算公式 ,其中 s 为锥体的底面积,h 为锥体的高. .

表示样本平均值.

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只 有一项是符合题目要求的 1. i 是虚数单位,复数 对应的点位于

A 第一象限 B 第二象限 c.第二象限 D.第四象限 2. 若集合 集合 5 = {6,9},则“ a = 3,,是“ ”的

A.充分不必要条件 C.充分必要条件
3. 已知函数 A. a < b < c

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
,若 ,则 C. b < c < a D. a < c <b

B. c < a <b

4. 已知实数x,y 满足不约束条 件 A. 7 B. 4 5. 在 A. C. 3 D. 5 中,若 B. D. ,则.

,则目标函数Z=x-y 的最大值 等于

的形状是

为钝角的二角 形

为直角的直角 二角形 为直角的直角 二角形 的一部分图象 如图1

C.锐角二角形 6. 已知函数 所示,则 A. C. D. B.

7. 已知正二棱柱 棱与底面 (侧 垂直, 底面是 正二角形 的高与 ) 底面边长均为1, 观图 和正 其直 (主)视图如 图2,则它的左(侧)视图的面积 是 A. C. B. 1 D. 的一个焦点与抛 物线 ,则该双曲线的标准方 程为 C. 满足: D. ,数列 .是各项均为 正值 的等比数列, 的焦点

8. 已知双曲线 S 合,且双 曲线的离心率等于 A. B.

9. 已知各项不为O 的等差数列 且 A. ,则 B. 等于 C.

D.

10. 给出下列四个命题: ①命题 ②当 x>l 时,有 ,则 ;

③函数. ④设有五个函数 函数的有 2 个. 其中真命题的个数是 A l个

的零点个数有 3 个; ,其中既是偶函数又在 上是增

B.2 个

C. 3 个

Z). 4 个

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11. 公路部门对通过某路段的 300 辆汽车的车速进 行检测,将所得 数据按[40,50), [50,60),[60,70), [70,80]分组,绘制成如图 3 所示 的频率分布直 方图.图示中 a 的值等于_______;这 300 辆汽车中车速低 于的汽车有_______辆. 12. 某程序框图如图 4 所示,该程序运行后输出 M, N 的值依次为 _______.

7

13. 对大于或等于2 的自然 数m 的n 次幂有如下分解方式:

根据上述分解规律, 则 为_______.

的分解中最小的数为 73, 则 m 的值

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题

14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点 J 的坐标为 为 ,则 04 (O 为极点)所在直线被曲线 C 所截弦的长度为______.

,曲线 c 的方程

15. (几何证明选讲选做题)如图 5 所示,过圆 c 外一点 P 做一条 直线与圆 C 交于 A,B 两点,AB - 2AP ,PT 与圆 C 相切于 T 点.已知圆 c 的半径为 2, ,则 PT=_____. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12 分) 已知函数 (1)求f(X)的最小正周期; (2)求函数f(X)在区间 上的最大 值和最小值,并求此时X 的值.

17. (本小题满分12 分) 一个车间为了规定工 时定额,需 要确定加工零件所花 费的时间,为此进行了 5 次试验,收 集数据 如下:

(1) 在5 次试验中任取2 次,记加工 时间分别为a,b 求事件a,b 均小于80 分钟”的概 率; (2) 请根据第二次,第二 次,第四次 试验的数据,求 出y 关于X 的线性回归方程 (3) 根据(2)得到的线性回归方 测加工70 个零件所需要的 程预 时间.

18. (本小题满分14 分) 如图6,在四棱锥P-ABCD 中,PA 丄平面ABCD,底面ABCD 是菱形,点O 是对角线AC 与BD 的交点,M 是

PD 的中点,AB= 2,



(1) 求证:OM//平面 PAB; (2) 平面 PBD 丄平面 PAC; (3) 当四棱锥P-ABCD 的体积等于. 时,求PB 的长.

19. (本小题满分14 分) 设椭圆 的左、右顶点 分别为A、B,点P 在椭圆上且异于A、B 两点,O 为坐标原点. ,求椭圆的离心率; , 求直线

(1) 若直线AP 与BP 的斜率之积为

(2)对于由 (1)得到的椭圆C, 过点p 的直线l交X 轴于点-1,0), 轴于点M, 交y 若 l 的斜率.

20. (本小题满分1 4 分) 已知函数丨 (1)若a= 1,求曲线_ 在点 处的切线方程;

(2) 若f(X)在的最小值为 ,求a 的值; (3) 若 在 上恒成立, a 的取值范围 求 .

21. (本小题满分14 分) 已知点」 (1) 若数列 (2) 若数列 的实数t 使 (3) 若数列 是等差数列, 求证数列 的前 《项和是 恒成立; 为山(2)中 得到的数列, 与 在 的前m 项的和 之间插入 个3, 得一新数列 , 都在函数 是等比数列; , 过点 的直线与两坐标轴所围二 形面积为 , 角 求最小 的图象上.

问是杏存在这样的正 整数w,使 数列

,如果存在,求 m 的值,如果 出 不存在,请说明理由

海珠区 2012 学年高三综合测试(二)

文科数学参考答案与评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几

种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查共10小题,每小题5分,满分50分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 答案 B A C C B D D A A C

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只 能选做一题. 11. 0.025 , 180 12. 34, 55 13. 9 ; 14. 2 2 15. 3

(第 11 题第一空 2 分,第二空 3 分) 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) (本小题主要考查三角两角和的正余弦公式,三角特殊值的运算,函数

f ?x? ? A sin??x ? ? ??或f ?x? ? A cos??x ? ? ?? 的周期,最值等知识,考查化归、转化、换元
的数学思想方法,以及运算求解能力) 解: (1) f ? x ? ? cos ? 2 x ?

? ?

??
?
6

?? ? ? ? cos ? 2 x ? ? ? 2sin x cos x 6? 6? ?
? cos 2 x cos

? cos 2 x cos

?
6

? sin 2 x sin

?
6

? sin 2 x sin

?
6

? 2 sin x cos x ????2 分

? 2?

3 cos 2 x ? sin 2 x 2
????3 分 ????4 分

? 3 cos2 x ? sin 2 x
? 3 ? 1 ? 2? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 2 ? 2 ? ?

? ? ? ? ? 2? sin cos 2 x ? cos sin 2 x ? 3 3 ? ?

????5 分

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ????6 分 3? ?
? f ? x ? 的最小正周期为 T ?
? ?
2? ?? 2
????7 分

(2)由(1)知 f ?x ? ? 2 sin ? 2 x ? 由?

??
?
3

?, 3?
?? ,
????8 分 ????10 分

?
3

?x?

?
3 ?

,得 ?

?
3

? 2x ?

?当 2 x ?
当 2x ?

?
3

?
2

,即 x ?

?
12

时, f ? x ? 取得最大值 2 ;

?
3

??

?

3

,即 x ? ?

?
3

时, f ? x ? 取得最小值 ? 3 .????12 分

17.( 本小题满分 12 分) (本小题主要考查考查互斥事件、古典概型、线性回归,样本估计总体等知识,考查或然与 必然,样本估计总体的统计思想方法,以及数据观察能力、抽象思维能力和应用意识) 解:(1) a, b 构成的基本事件 ?a, b ? 有: ?62.67?, ?62,75?, ?62,80?, ?62,89?, ?67,75?, ?67,80?, ?67,89? , ?75,80?, ?75,89?, ?80,89? 共 有 10 个. ????2 分 其中“ a, b 均小于 80 分钟”的有 ?62.67?, ?62,75?, ?67,75? 共 3 个. ????3 分

? 事件 “ a, b 均小于 80 分钟”的概率为
(2) x ?

3 . 10

????4 分 ????5 分 ????6 分

1 ?20 ? 30 ? 40 ? ? 30 , 3

y?

1 ? 67 ? 75 ? 80 ? ? 74 3

b?
?

?

?20 ? 30? ? ?67 ? 74? ? ?30 ? 30? ? ?75 ? 74? ? ?40 ? 30? ? ?80 ? 74? ?20 ? 30?2 ? ?30 ? 30?2 ? ?40 ? 30?2
????8 分 ????9 分

13 . 20
?

? y 关于 x 的线性回归方程 y ?

13 x ? 54.5 20
?

????10 分

(3)由(2)知 y 关于 x 的线性回归方程为 y ?

13 x ? 54.5 , 20

13 ? 70 ? 54.5 ? 100 . 20 ? 预测加工 70 个零件需要 100 分钟的时间.
当 x ? 70 时, y ?

????11 分 ????12 分

18.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数 学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 解:(1)? 在 ?PBD 中, O 、 M 分别是 BD 、 PD 的中点, ? OM 是 ?PBD 的中位线, ? OM // PB , ????1 分 P OM ? 平面 PBD , PB ? 平面 PBD ,??3 分 ? OM // 平面 PAB . ????4 分 (2) ? 底面 ABCD 是菱形, M ? BD ? AC , ???5 分 ? PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ????6 分 ? BD ? PA . D AC ? 平面 PAC , PA ? 平面 PAC , AC ? PA ? A ,

? BD ? 平面 PAC , ? BD ? 平面 PBD ,

????7 分 ????8 分 ????9 分 ????10 分

A

O

C

? 平面 PBD ? 平面 PAC .

(3)? 底面 ABCD 是菱形, AB ? 2, ?BAD ? 600 ,

B

? 菱形 ABCD
的面积为 S 菱形ABCD ? 2 ?

1 3 ? AB ? AD ? sin 600 ? 2 ? 2 ? ? 2 3 ,????11 分 2 2

3 1 ? 四棱锥 P ? ABCD 的高为 PA ,? ? 2 3 ? PA ? 3 ,得 PA ? ????12 分 2 3 ? PA ? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD ,
? PA ? AB .
在 Rt?PAB 中, PB ? 19.(本小题 14 分) (本小题主要考查直线斜率、椭圆的方程、离心率、向量的运算等知识,考查数形结合、 化归与转化、方程的思想方法,考查综合运用能力以及运算求解能力) 解:(1) 由已知 A?? a,0?, B?a,0? ,设 P?x0 , y0 ??x0 ? ?a ? . ????1 分 ????13 分

5 ?3? PA2 ? AB 2 ? ? ? ? 2 2 ? . 2 ?2?

2

????14 分

则直线 AP 的斜率 k AP ?

y0 , x0 ? a

直线 BP 的斜率 k AP ?
2 2

y0 . x0 ? a



x0 y 2 a 2 ? x0 2 . ? 0 ? 1 ,得 y 0 ? 2 a2 a2
2

?

?

????2 分

2 a 2 ? x0 2 y0 y0 y 2 a2 ? k AP ? k AP ? ? ? 20 2 ? ?? 2 2 2 x 0 ? a x0 ? a x0 ? a a ? a ? x0
2

?

?

?

?

????3 分

2 1 ? ? ,得 a 2 ? 4 , 2 2 a 4?2 1 ? . ? e2 ? 4 2 ??

????4 分 ????5 分

? 椭圆的离心率 e ?

2 . 2

????6 分 ????7 分 ????8 分

(2) 由题意知直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的斜率为 k , 直线 l 的方程为 y ? k ?x ? 1? 则有 M ?0, k ? , 设 P?x0 , y0 ??x0 ? ?a ? ,由于 P, M , Q 三点共线,且 MP ? 2 PQ 根据题意,得 ?x0 , y0 ? k ? ? ?2?x0 ? 1, y0 ?

????9 分

2 ? x ?? x0 ? ?2 ? 0 ? ? 3 解得 ? 或? ? y 0 ? ?k ? y ? k ? 0 3 ?
又点 P 在椭圆上,又由(1)知椭圆 C 的方程为

????11 分

x2 y2 ? ?1 4 2

所以

?? 2?2 ? ?? k ?2
4 2

? 1 ????①

? 2? ?k? ?? ? ? ? ? 3 ? ? ? 3 ? ? 1 ????② 或 4 2
2 由①解得 k ? 0 ,即 k ? 0 ,

2

2

? 此时点 P 与椭圆左端点 A 重合, ? k ? 0 舍去;
2 由②解得 k ? 16 ,即 k ? ?4

????12 分 ????13 分 ????14 分

? 直线直线 l 的斜率 k ? ?4 .
20. (本小题满分 14 分)

(本小题主要考查导数、不等式、函数的单调性、最值等知识,考查化归与转化、分类与 讨论的数学思想方法,以及数学探究能力、综合运用能力和运算求解能力) 解:(1)当 a ? 1 时, f ? x ? ? ln x ?

1 , x
?????? 1 分

f ' ?x ? ?

1 1 ? . x x2 1 f ?1? ? ln 1 ? . ? ?1 1 1 1 f ' ?1? ? ? 2 ? 2 1 1

? 曲线 y ? f ?x ?在点 ?1,?1? 处的切线方程为 y ? 1 ? 2?x ? 1? ,即 y ? 2 x ? 3 . ???3 分
(2) f
'

?x ? ?

x?a . x2

?????? 4 分

' ①若 a ? ?1 ,则 x ? a ? 0 ,即 f ?x? ? 0 在 ?1, e? 上恒成立,此时 f ?x ? 在 ?1, e? 上为增函数,

?????? 5 分

? f ? x ?min

3 ? f ?1? ? ?a ? , 2
?????? 6 分

3 ? a ? ? (舍去); 2

' ②若 a ? ? e ,则 x ? a ? 0 ,即 f ?x? ? 0 在 ?1, e? 上恒成立,此时 f ?x ? 在 ?1, e? 上为减函数,

?????? 7 分

? f ?x ?min ? f ?e ? ? 1 ? e ? a ? ? (舍去); 2

a 3 ? , e 2
?????? 8 分

③若 ? e ? a ? ?1 ,令 f ' ?x? ? 0 得 x ? ?a , 当 ? a ? x ? e 时, f ' ?x? ? 0 ,? f ?x ? 在 ?? a, e ? 上为增函数, 当 1 ? x ? ? a 时, f ' ?x? ? 0 ,? f ?x ? 在 ?1,?a ? 上为减函数, ?????? 9 分

? f ?x ?min ? f ?? a ? ? ln?? a ? ? 1 ?

3 , 2

?a ? ? e .
综上所述, a ? ? e . (3)? f ? x ? ? x ,? ln x ?
2

?????? 10 分

a ? x 2 , 又 x ? 0,? a ? x ln x ? x 3 . ?????? 11 分 x
' 2

令 g ?x ? ? x ln x ? x , 则 h?x? ? g ?x? ? 1 ? ln x ? 3x ,
3

h ' ?x ? ?

1 1 ? ?6 x 2 ? 6x ? . x x

??? 12 分

? 当 x ? ?1,??? 时, h ' ?x ? ? 0 ,? h?x ? 在 ?1,??? 上是减函数.
? h?x? ? h?1? ? ?2 ? 0 ,即 g ' ?x? ? 0 ,? g ?x ? 在 ?1,??? 上也是减函数.

? g ?x? ? g ?1? ? ?1 ,

?????? 13 分 ?????? 14 分

? 当 a ? ?1 时, f ?x? ? x 2 在 ?1,??? 上恒成立.

21.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和、对数的运算、直线方程与不等式 等知识,考查化归、转化、方程的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力、创 新能力和综合应用能力) 解 : ( 1 ) 证 明 : 数 列 {bn } 是 等 差 数 列 , 设 公 差 为 d , 则 bn?1 ? bn ? d 对 n ? N 恒 成
*

立, 依题意 bn ? log 1 an , an ? ( ) n ,
b

?????? 1 分

2

1 2

?????? 2 分

所以

an?1 1 1 ? ( )bn?1 ?bn ? ( )d 是定值, an 2 2

?????? 3 分

从而数列 {an } 是等比数列. (2)解:当 n ? 1 时, a1 ?

?????? 4 分

1 1 n ,当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? ( ) , n ? 1 也适合此式, 2 2 1 n 即数列 {an } 的通项公式是 an ? ( ) . ?????? 5 分 2 由 bn ? log 1 an ,
2

数列 {bn } 的通项公式是 bn ? n , 所以 Pn (

?????? 6 分

1 1 , n) , Pn ?1 ( n ?1 , n ? 1) . n 2 2

1 x? n y?n 2 , 过这两点的直线方程是: ? 1 1 (n ? 1) ? n ? n n ?1 2 2 n?2 可得与坐标轴的交点是 An ( n ?1 , 0) 和 Bn (0, n ? 2) . 2
1 (n ? 2)2 cn ? ? OAn ? OBn ? ,?????? 8 分 2 2n ? 2
由于 cn ? cn ?1 ?

?????? 7 分

(n ? 2)2 (n ? 3) 2 2(n ? 2) 2 ? (n ? 3) 2 n2 ? 2n ? 1 ? n ?3 ? ? ? 0 ?????9 分 2n ? 2 2 2n ?3 2n ? 3
9 . 8
?????? 10 分

即数列 {cn } 的各项依次单调递减,所以 t ? c1 ?

(3)数列 {dn } 中, bk (含 bk 项)前的所有项的和是

(1 ? 2 ? ? ? k ) ? (31 ? 32 ? ? ? 3k ?1 ) ?

k ? k ? 1? 3k ? 3 ? 2 2

??? 11 分

估算知,当 k ? 7 时,其和是 28 ?

37 ? 3 ? 1120 ? 2008 , 2

?????? 12 分

当 k ? 8 时,其和是 36 ?

38 ? 3 ? 3315 ? 2008 , 2
8 8 8 ?2, 是 3 的 倍 数 , 故 存 在 这 样 的 m , 使 得 ? 96
?????? 13 分

8 又 因 为 2 0 0?

1 1? 0 2

Sm ? 2008 ,

此时 m ? 7 ? (1 ? 3 ? 32 ? ? ? 35 ) ? 296 ? 667 .

?????? 14 分


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