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2016-2017学年高一数学人教A版必修4课件:1.2.1 任意角的三角函数(一)


第一章——

1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一)
[学习目标]
1. 通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,了解三角

函数是以实数为自变量的函数.
2. 借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数

在各象限内的符号.
3. 通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同的角的同

一三角函数值相等.

栏目索引
CONTENTS PAGE

1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测

挑战自我,点点落实
重点难点,个个击破 当堂训练,体验成功

预习导学

挑战自我,点点落实

[知识链接] 在初中,我们已经学过锐角三角函数.

如图,在Rt△ABC中,设A对边为a,B对

边为b,C对边为c,锐角A的正弦,余弦,正切分别是什么? a b 答 锐角 A 的正弦,余弦,正切依次为:sin A= c,cos A= c, a tan A=b.
1.2.1 任意角的三角函数(一)
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[预习导引]

1.任意角的三角函数的定义
(1)在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,

它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:
①y叫做α的 正弦 ,记作 sin α ,即sin α=y ; ②x叫做α的 余弦 ,记作 cos α ,即 cos α=x ;
1.2.1 任意角的三角函数(一)
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y ③ 叫做α的 正切 ,记作tan α,即tan α= y (x≠0). x x 对于确定的角α,上述三个值都是唯一确定的 .故正弦、余弦、

正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值

为函数值的函数,统称为三角函数.
(2)设角α终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离为 y x y r,则sin α= r ,cos α= r ,tan α= x .
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2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号

记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
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3.诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值 相等 ,即:

sin(α+k· 2π)= sin α ,cos(α+k· 2π)= cos α ,
tan(α+k· 2π)= tan α ,其中k∈Z.

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课堂讲义

重点难点,个个击破

要点一 三角函数定义的应用
3 例1 已知角α的终边在直线y=-3x上,求10sin α+ 的值. cos α 解 由题意知,cos α≠0.

设角α的终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0),则
x=k,y=-3k,r= k2+?-3k?2= 10|k|.

(1)当 k>0 时,r= 10k,α 是第四象限角,
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y -3k 3 10 1 r 10k sin α=r = =- 10 ,cos α=x= k = 10, 10k
? 3 10? 3 ? ∴10sin α+ =10×? - ? ?+3 10 cos α 10 ? ?

=-3 10+3 10=0.

(2)当 k<0 时,r=- 10k,α 为第二象限角,

1.2.1 任意角的三角函数(一)

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-3k y 3 10 sin α=r = = 10 , - 10k 1 r 10k = =- =- 10 , cos α x k
3 3 10 ∴10sin α+cos α=10× 10 +3×(- 10)
=3 10-3 10=0.
3 综上所述,10sin α+ =0. cos α
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规律方法

在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注

意到角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上

异于原点的任意一点坐标 (a , b) ,则对应角的正弦值为
sin α=
b a2+b2

,cos α=

a a2+b2

b ,tan α= . a

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跟踪演练1

已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,

若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-2 5 ,则y= -8 . 5
解析 因为 sin θ= 2 5 =- 5 , 2 2 4 +y y

所以y<0,且y2=64,所以y=-8.
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要点二 三角函数值符号的判断

例2 判断下列三角函数值的符号:
(1)sin 3,cos 4,tan 5;
解 π 3π ∵2<3<π<4< 2 <5<2π,

∴3,4,5分别在第二、三、四象限,

∴sin 3>0,cos 4<0,tan 5<0.
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(2)sin(cos θ)(θ为第二象限角). 解 ∵θ是第二象限角,
π ∴- <-1<cos θ<0, 2

∴sin(cos θ)<0.
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规律方法
x

tan α=y (r>0),可知角的三角函数值的符号是由角终

y 由三角函数的定义知sin α= ,cos α= x , r r

边上任一点P(x,y)的坐标确定的,则准确确定角的终

边位置是判断该角的三角函数值符号的关键.

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跟踪演练2 已知cos θ· tan θ<0,则角θ是( A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角

)

B.第二或第三象限角 D.第一或第四象限角

解析 ∵cos θ· tan θ<0,
? ? ?cos θ<0, ?cos θ>0, ∴? 或? ? ? ?tan θ>0 ?tan θ<0.
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? ?cos θ<0, 由? 得角 θ 为第三象限角. ? ?tan θ>0,
? ?cos θ>0, 由? 得角 θ 为第四象限角. ? ?tan θ<0,

∴角θ为第三或第四象限角.
答案 C
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要点三 诱导公式一的应用 例3 计算下列各式的值: (1)sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)sin 750°;



原 式 = sin( - 4×360° + 45°)cos(3×360° + 30°) +

cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)

=sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30° 2 3 1 1 6 1 1+ 6 = 2 × 2 +2×2= 4 +4= 4 .
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? 11π? 12π ? ? (2)sin?- 6 ?+cos 5 · tan ? ?

4π.



? ? π? 2π? ? ? ? 原式=sin?-2π+6?+cos?2π+ 5 ? tan(4π+0) ?· ? ? ? ?

π 2π 1 =sin6+cos 5 ×0=2.

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规律方法

利用诱导公式一可把负角的三角函数化为 0

到2π间的三角函数,亦可把大于2π的角的三角函数化为 0到2π间的三角函数,即实现了“负化正,大化小”.

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跟踪演练3 求下列各式的值:
? 15π? 25π ? - (1)cos 3 +tan? ? ?; 4 ? ?



? ? π? π? ? ? ? 原式=cos?8π+3?+tan?-4π+4? ? ? ? ? ?

π π 1 3 =cos3+tan4=2+1=2;
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(2)sin 810°+tan 765°-cos 360°.



原 式 = sin(90° + 2×360°) + tan(45° + 2×360°)

-cos 360°=sin 90°+tan 45°-1 =1+1-1=1.

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当堂检测

当堂训练,体验成功

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1.已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cos α 等于( D ) 4 3 3 4 A.5 B.5 C.-5 D.-5 解析 因为角α的终边经过点(-4,3),

所以x=-4,y=3,r=5, x 4 所以 cos α= =- . r 5
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2.如果角 α 的终边过点 P(2sin 30° ,-2cos 30° ),则 cos α 的 值等于( A ) 1 A. 2 1 B.- 2 3 C.- 2 3 D. 2

解析 2sin 30° =1,-2cos 30° =- 3,

1 ∴r=2,∴cos α=2.
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3 3.若点P(3,y)是角α终边上的一点,且满足y<0,cos α=,则 5 tan α等于( ) 3 3 4 4 A.- B. C. D.- 4 4 3 3 3 3 解析 ∵cos α= 2 2=5 3 +y

∴ 32+y2=5,
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∴y2=16, ∵y<0,

∴y=-4,
4 ∴tan α=- . 3 答案 D

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3 4.tan 405°-sin 450°+cos 750°= 2 .

解析 tan 405°-sin 450°+cos 750°

=tan(360°+45°)-sin(360°+90°)+cos(720°+30°)
=tan 45°-sin 90°+cos 30°
3 3 =1-1+ 2 = 2 .
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课堂小结
y) 在终边上的位置无关,只由角 α 的终边位置确定. 即三角函 数值的大小只与角有关. 2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题, 并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正 确选取. 3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.
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1.三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点P(x,


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