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必修一数学抽象函数习题精选含答案


抽象函数单调性和奇偶性
1. 抽象函数的图像判断单调性 例 1.如果奇函数 f ( x) 在区间 [3,7] 上是增函数且有最小值为 5,那么
f ( x ) 在区间 [?7, ? 3] 上是(

) B. 增函数且最大值为 ?5 D. 减函数且最大值为 ?5
-7 5 -3 O 3 -5 7 x y

A.

增函数且最小值为 ?5 C. 减函数且最小值为 ?5

分析:画出满足题意的示意图,易知选 B。 2、抽象函数的图像求不等式的解集 例 2、已知定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f (2) ? 0 ,并且

f (x) 在 (??,0) 上 为 增 函 数 。 若 (a ? 1) f (a) ? 0 , 则 实 数 a 的 取 值 范



.

二、抽象函数的单调性和奇偶性 1.证明单调性 例 3. 已知函数 f(x)= =2,g(x) 是增函数.
g( x) ? 1 ,且 f(x),g(x)定义域都是 R,且 g(x)>0, g(1) g( x) ? 1

g (m) g (n) ? g (m? n)(m, n ? R) .

求证: f(x)是 R 上的增函数. 解:设 x1>x2 因为,g(x)是 R 上的增函数, 且 g(x)>0。 故 g(x1) > g(x2) >0。 g(x1)+1 > g(x2)+1 >0,
? ?
2 2 > >0 g ( x2 ) ? 1 g ( x1 ) ? 1 2 2 >0。 g ( x2 ) ? 1 g ( x1 ) ? 1

f(x1)- f(x2)= =

g ( x1 ) ? 1 g ( x2 ) ? 1 2 2 =1-(1) g ( x1 ) ? 1 g ( x2 ) ? 1 g ( x1 ) ? 1 g ( x2 ) ? 1

2 2 >0。可以推出:f(x1) >f(x2),所以 f(x)是 R 上的增 g ( x2 ) ? 1 g ( x1 ) ? 1

函数。 例 4.已知 f ( x) 对一切 x,y ,满足 f (0) ? 0,f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且当 (1) x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1; (2) f ( x) 在 R x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,求证: 上为减函数。 证明: 对一切 x,y ? R 有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 。 f (0) ? 0 , x ? y ? 0 , 且 令 ? 得 f (0) ? 1 , 现设 x ? 0 ,则 ?x ? 0 , f (? x) ? 1 ,而 f (0) ? f ( x) ? f (? x) ? 1
? f (? x) ? 1 ? 1 ? 0 ? f ( x) ? 1 ,设 x1 ,x2 ? R 且 x1 ? x2 , f ( x)

则 0 ? f ( x2 ? x1 ) ? 1, f ( x2 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 )
? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即 f ( x ) 为减函数。

2.证明奇偶性 例 5 . 已 知 f ( x) 的 定 义 域 为 R , 且 对 任 意 实 数 x , y 满 足
f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,求证: f ( x ) 是偶函数。

分析:在 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) 中,令 x ? y ? 1 ,得 f (1) ? f (1) ? f (1) ? f (1) ? 0 令 x ? y ? ?1,得 f (1) ? f (?1) ? f (?1) ? f (?1) ? 0 于是 f (? x) ? f (?1? x) ? f (?1) ? f ( x) ? f ( x) ,故 f ( x) 是偶函数。 三、求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中, 关键是利用函数的奇 偶性和它在定义域内的增减性,去掉“ f ”符号,转化为代数不等式组

求解,但要特别注意函数定义域的作用。 例 6.已知 f ( x) 是定义在( ?1,1 )上的偶函数,且在(0,1)上为 增函数,满足 f (a ? 2) ? f (4 ? a 2 ) ? 0 ,试确定 a 的取值范围。 解:? f ( x ) 是偶函数,且在(0,1)上是增函数, ? f ( x ) 在 ( ?1,0) 上 是减函数, 由?
??1 ? a ? 2 ? 1
2 ??1 ? 4 ? a ? 1

得 3?a ? 5。

(1)当 a ? 2 时, f (a ? 2) ? f (4 ? a 2 ) ? f (0) ,不等式不成立。 (2)当 3 ? a ? 2 时,
f (a ? 2) ? f (4 ? a 2 ) ?? 1 ? a ? 2 ? 0 ? ? f (a 2 ? 4) ? ?? 1 ? a 2 ? 4 ? 0 ? 2 ?a ? 2 ? a ? 4 解之得,3 ? a ? 2

(3)当 2 ? a ? 5 时, f (a ? 2) ? f (4 ? a 2 )
?0 ? a ? 2 ? 1 ? ? f (a 2 ? 4) ? ?0 ? a 2 ? 4 ? 1 ?a ? 2 ? a 2 ? 4 ? 解之得, 2 ? a ? 5



综上所述,所求 a 的取值范围是 ( 3,2) ?(2, 5) 四、不等式 这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值,再通 过函数的单调性去掉函数符号“ f ” 转化为代数不等式求解。 , 例 7.已知函数 f ( x) 对任意 x,y ? R 有 f ( x) ? f ( y) ? 2 ? f ( x ? y) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 , f (3) ? 5 ,求不等式 f (a 2 ? 2a ? 2) ? 3 的解集。

解:设 x1 、x2 ? R 且 x1 ? x2 , 则 x2 ? x1 ? 0 , ? f ( x2 ? x1 ) ? 2 ,则
f ( x2 ? x1 ) ? 2 ? 0 ,? f ( x2 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 2 ? f ( x1 )
? f ( x2 ) ? f ( x1 ) , 故 f ( x ) 为增函数,

又 f (3) ? f (2 ? 1) ? f (2) ? f (1) ? 2 ? 3 f (1) ? 4 ? 5
即 ? f (1) ? 3? f (a 2 ? 2a ? 2) ? 3 ? f (1), a 2 ? 2a ? 2 ? 1 ??1 ? a ? 3

因此不等式 f (a 2 ? 2a ? 2) ? 3 的解集为 ?a|?1 ? a ? 3? 。 五、综合问题求解 解题时需把握好如下三点:一是注意函数定义域的应用,二是利 用函数的奇偶性去掉函数符号“ f ”前的“负号” 三是利用函数单调性去 , 掉函数符号“ f 。 ” 例 8.设函数 y ? f ( x) 定义在 R 上, x ? 0 时,f ( x) ? 1, 当 且对任意 m,n , 有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,当 m ? n 时 f (m) ? f (n) 。 (1)证明 f (0) ? 1 ; (2) 证明:f ( x) 在 R 上是增函数; 3) A ? ?( x,y )| f ( x 2 ) ? f ( y 2 ) ? f (1)? , ( 设
B ? {( x,y)| f (ax ? by ? c) ? 1,a,b,c ? R,a ? 0} , A ? B ? ? , a,b,c 若 求

满足的条件。 解: (1)令 m ? n ? 0 得 f (0) ? f (0) ? f (0) , ? f (0) ? 0 或 f (0) ? 1 。 若 f (0) ? 0 ,当 m ? 0 时,有 f (m ? 0) ? f (m) ? f (0) ,这与当 m ? n 时,
f (m) ? f (n) 矛盾, ? f (0) ? 1。

(2)设 x1 ? x2 ,则 x2 ? x1 ? 0 ,由已知得 f ( x2 ? x1 ) ? 1 ,因为 x1 ? 0 ,
f ( x1 ) ? 1 ,若 x1 ? 0 时, ? x1 ? 0,f ( ? x1 ) ? 1,由 f (0) ? f ( x1 ) ? f ( ? x1 )
? f ( x1 ) ? 1 ? 0 , f ( x2 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x)在R上为增函数。 f (? x1 )

(3)由 f ( x 2 ) ? f ( y 2 ) ? f (1) 得 x 2 ? y 2 ? 1 (1)
f (ax ? by ? c) ? 1 得 ax ? by ? c ? 0 (2)

从(1)(2)中消去 y 得 (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2acx ? c 2 ? b 2 ? 0 ,因为 A ? B ? ? 、
? ? ? (2ac) 2 ? 4(a 2 ? b 2 )(c 2 ? b 2 ) ? 0 即 a 2 ? b 2 ? c 2 。

例 9. 已知 f (x) 是定义在 [?1,1] 上的奇函数,且 f (1) ? 1 ,若 a, b ?[?1,1] 时,
f (a) ? f (b) ? 0 .(1)判断函数 f (x) 在 [?1,1] 上是增函数,还是减函数,并 a?b 1 1 证明你的结论;(2)解不等式:f(x+ )<f( ). 2 x ?1



解:(1)设任意 x1,x2∈[-1,1],且 x1<x2.由于 f(x)是定义在 [?1,1] 上 的奇函数, ∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1). 因为 x1<x2,所以 x2+(-x1)≠0, 由已知有
f ( x2 ) ? f ( ? x1 ) x2 ? ( ? x1 )

>0,∵x2+(-x1)=x2-x1>0

∴f(x2)+f(-x1)>0,即 f(x2)>f(x1),所以函数 f(x)在[-1,1]上是增 函数.
?? 1 ? 1 1 (2)由不等式 f(x+ )<f( )得 ? ? 2 x ?1 ?? 1 ? ? x ? 1 ?1 2

1 ?1 x ?1 ? 1 1 ? ?x ? 2 ? x ? 1 ?

,解得-1<x<0,

即为所求. 例 10、已知设函数 y ? f ( x) 定义在 x ? 0 的一切实数,对定义域的
x) 任 意 x1 , x2 都 有 f ( x ? x2 ) ? f ( x )? f ( 2 , 且 当 x ? 1 时 f (x) ? 0 , 1 1

f (2) ? 1 ,
(1)求证: f (? x) ? f (x) ; (2) f (x) 在 (0, ??) 上是增函数。

2 2 (3)解不等式 f (x ? (3a ? 4) x ? 2a ? 8a ? 4) ? 2 。


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