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2-2-2 椭圆的简单几何性质


基础巩固强化 一、选择题 x2 y 2 1. (2012· 汕头金山中学高二期末)若焦点在 y 轴上的椭圆m + 2 = 1 1 的离心率为2,则 m 的值为( A.1 C. 3 [答案] B 2-m c 1 [解析] 由题意得 a2=2, b2=m, ∴c2=2-m, 又a=2, ∴ 2 1 3 =2,∴m=2. 2. 将椭圆 C1∶2x2+y2=4 上的每一点的纵坐标变为原来的一半, 而横坐标不变,得一新椭圆 C2,则 C2 与 C1 有( A.相等的短轴长 C.相等的离心率 [答案] C [解析] 把 C1 的方程化为标准方程,即 x2 y2 x2 2 C1: 2 + 4 =1,从而得 C2: 2 +y =1. 因此 C1 的长轴在 y 轴上,C2 的长轴在 x 轴上. 2 e1= 2 =e2,故离心率相等,选 C. ) ) 3 B.2 8 D.3 B.相等的焦距 D.相等的长轴长 x2 y2 x2 y2 3.椭圆 C1:25+ 9 =1 和椭圆 C2: + =1 (0<k<9)有 9-k 25-k ( ) A.等长的长轴 C.相等的离心率 [答案] B [解析] 依题意知椭圆 C2 的焦点在 y 轴上,对于椭圆 C1:焦距 =2 25-9=8,对于椭圆 C2:焦距=2 ?25-k?-?9-k?=8,故选 B. 1 4.已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为3,长轴长为 12,则 椭圆方程为( x2 y 2 A. 4 + 6 =1 x2 y 2 B. 6 + 4 =1 x2 y 2 x2 y2 C.36+32=1 或32+36=1 x2 y2 D.36+32=1 [答案] C 1 [解析] ∵长轴长 2a=12,∴a=6,又 e=3∴c=2, ∴b2=a2-c2=32,∵焦点不定, x2 y2 x2 y2 ∴椭圆方程为36+32=1 或32+36=1. x2 y2 5.(2012· 江西,8)椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A, B,左、右焦点分别是 F1、F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此 椭圆的离心率为( ) ) B.相等的焦距 D.等长的短轴 1 A.4 1 C.2 [答案] B 5 B. 5 D. 5-2 [解析] ∵A、 B 分别为左右顶点, F1、 F2 分别为左右焦点, ∴|AF1| =a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c,又由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数 5 列得(a-c)(a+c)=4c2,即 a2=5c2,所以离心率 e= 5 . x2 y2 6.已知 A={1,2,4,5},a,b∈A,则方程a2+b2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆的概率为( 3 A.4 3 C.16 [答案] B x2 y2 [解析] ∵a,b∈A,∴不同的方程a2+b2=1 共有 16 个. 由题意 a2<b2,∴a=1 时,b=2,4,5;a=2 时,b=4,5; 6 3 a=4 时,b=5,共 6 个,∴所求概率 P=16=8. 二、填空题 3 7.已知椭圆的短半轴长为 1,离心率 0<e≤ 2 .则长轴长的取值 范围为________. [答案] (2,4] [解析] ∵b=1,∴c2=a2-1, 2 c 2 a -1 1 3 又a2= a2 =1-a2≤4, ) 3 B.8 1 D.2 1 1 ∴a2≥4,∴a2≤4, 又∵a2-1>0,∴a2>1, ∴1<a≤2,故长轴长 2<2a≤4. x2 y2 8.椭圆 9 + 2 =1 的焦点为 F1,F2,

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