当前位置:首页 >> 高中教育 >>

北京市2009届高三数学下学期模拟试题分类汇编——立体几何


北京市 2009 年高三 4 月各地模拟试题分类汇编
立体几何
一、选择题: (4)(2009 年 4 月北京海淀区高三一模文)已知 l 是直线,? 、 ? 是两个不同平面,下列命 题中真命题是( C ) (B)若 ? ^ ? , l // ? ,则 l ^ ? (D)若 l // ? , ? // ? ,则 l // ?

(A)若 l

// ? , l // ? ,则 ? // ? (C)若 l ^ ? , l // ? ,则 ? ^ ?

4.(北京市石景山区 2009 年 4 月高三一模理)对于两条直线 a , b 和平面 ? ,若 b ? ? ,则 “ a // b ”是“ a // ? ”的(D) A.充分但不必要条件 C.充要条件 B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(5) (北京市朝阳区 2009 年 4 月高三一模理)用一平面去截体积为 4 3? 的球,所得截面的面 积为 ? ,则球心到截面的距离为( C ) A. 2 B.

3

C.

2

D. 1

5. (北京市西城区 2009 年 4 月高三一模抽样测试文理)已知直线 a 和平面 a ,那么 a // a 的 一个充分条件是( C ) B. 存在一条直线 b, a ^ b, b ^ a D. 存在一个平面 ? , a ? ? ,

A. 存在一条直线 b, a // b, b ? a C. 存在一个平面 ? , a ? ? ,

? // ?

? ??

5. (北京市崇文区 2009 年 3 月高三统一考试理) 已知 m、n 是两条不重合的直线,α 、β 、 γ 是 三 个 不 重 合 的 平 面 , 则 α // β 的 一 个 充 分 条 件 是 ( D ) A.m // α ,m // β B.α ⊥γ ,β ⊥γ C.m?α ,n?β , m∥n D. m、n 是异面直线,m?α ,m∥β ,n?β ,n∥α 5. (北京市崇文区 2009 年 3 月高三统一考试文)下列命题中, 正确的命题是 ( B ) A.过空间任一点 P 均存在着与平面 ? 平行的直线 B.过空间任一点 P 均存在着与平面 ? 垂直的直线 C.过空间任一点 P 均存在着与平面 ? 平行的无数多条直线 D.过空间任一点 P 均存在着与平面 ? 垂直的无数多条直线 5. (北京市东城区 2009 年 3 月高中示范校高三质量检测文理)两个平面 直,直线 m 在平面 ? 内,则在平面 ? 内 ( C )

? 与 ? 相交但不垂

A.一定存在与直线 m 平行的直线 C.一定存在与直线 m 垂直的直线

B.一定不存在与直线 m 平行的直线 D.不一定存在与直线 m 垂直的直线

3. (北京市丰台区 2009 年 3 月高三统一检测理)已知直线 m ? 平面 α ,直线 n ? 平面 α , “直线 c⊥ m ,直线 c⊥ n ”是“直线 c⊥平面 α”的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

二、填空题: (12)(2009 年 4 月北京海淀区高三一模文)已知四面体 P — A B C 中, PA ? PB ? PC ,
? 且 AB ? AC , ?BAC ? 90 ,则异面直线 PA 与 BC 所成的角为

. 90
?

12.(北京市石景山区 2009 年 4 月高三一模理)设地球半径为 R ,在北纬 45 圈上有甲、乙 两地,它们的经度差为 90 ,则甲、乙两地间的最短纬线之长为
?

,甲、乙两

地的球面距离为

.答案:

? 2 ?R , R 3 4

13. (北京市西城区 2009 年 4 月高三一模抽样测试文)已知一个正方体的八个顶点都在同一个 球面上. 设此正方体的表面积为 S1 ,球的表面积 S2 ,则 11. (北京市崇文区 2009 年 3 月高三统一考试理)如图, 等腰梯形 ABCD 中, E,F 分别是 BC 上三等分点, AD=AE=1,BC=3, ,若把三角形 ABE 和 DCF 分别沿 AE 和 DF 折起, 使得 B、 C 两点重合于一点 P, 则二面角 P-AD-E 的大小为 .

S1 2 =_____________. p S2

arctan

3 2

12. (北京市崇文区 2009 年 3 月高三统一考试文)如图,等腰梯形 ABCD 中, E,F 分别是 BC 边上的三等分点, AD=AE=1,BC=3, ,若把三角形 ABE 和 DCF 分别沿 AE 和 DF 折起,使得 B、C 两点重合于一点 P,则 二面角 P-EF-D 的大小为 .

? 2

11. (北京市丰台区 2009 年 3 月高三统一检测理)在长方体

ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 2 5 , AB ? 4, AD ? 6 ,若点 P 到 A1 , A , B , D 这四点的距
离相等,则 PA = 。3 2

12. ( 北京市丰台区 2009 年 3 月高三统一检测文 ) 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

AC ? 5 , AD1 ? 13, AB1 ? 10 ,则长方体的对角线长为

。 14

三、解答题: (16) (2009 年 4 月北京海淀区高三一模文) (本小题共 14 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平 面 A B C D ,底面 ABCD 为直角梯形,且

AB // CD , ?BAD ? 90 ,PA ? AD ? DC ? 2 ,AB ? 4 .
(I)求证: BC ? PC ; (II)求 PB 与平面 PAC 所成的角的正弦值; (III)求点 A 到平面 PBC 的距离. 16 解:方法 1 ( I ) 证 明 : 在 直 角 梯 形 A B C D中 ,

P

A
AB // CD ,

?BAD ? 90 , AD ? DC ? 2

D

B C

? ?ADC ? 90? ,且 AC ? 2 2 .

?????????1 分

取 AB 的中点 E ,连结 CE , 由题意可知,四边形 AECD 为正方形,所以 AE ? CE ? 2 ,

1 1 AB ? 2 ,所以 CE ? AB , 2 2 则 ?ABC 为等腰直角三角形, 所以 AC ? BC , ?????????2 分 又因为 PA ? 平面 ABCD,且 AC 为 PC 在平面 ABCD内的射影, BC ? 平面 ABCD,由三垂线定理得, BC ? PC ?????????4 分 (II)由(I)可知, BC ? PC , BC ? AC , PC AC ? C , 所以 BC ? 平面 PAC ,??????5 分 PC 是 PB 在平面 PAC 内的射影,所以 ?CPB 是 PB 与平面 PAC 所成的角,??6 分
又 BE ? 又 CB ? 2 2 ,??????7 分

PB2 ? PA2 ? AB2 ? 20 , PB ? 2 5 ,??????8 分

sin CPB ?

10 10 ,即 PB 与平面 PAC 所成角的正弦为 5 5

????9 分

(III)由(II)可知, BC ? 平面 PAC , BC ? 平面 PBC , 所以平面 PBC ? 平面 PAC , ??????10 分 过 A 点在平面 PAC 内作 AF ? PC 于 F ,所以 AF ? 平面 PBC , 则 AF 的长即为点 A 到平面 PBC 的距离, ??????11 分 在直角三角形 PAC 中, PA ? 2 , AC ? 2 2 , ??????12 分 ?????13 分

PC ? 2 3 ,

所以 AF ? 方法 2

2 6 2 6 即点 A 到平面 PBC 的距离为 3 3

????14 分

∵ AP ? 平面 ABCD , ?BAD ? 90 ∴以 A 为原点,AD、AB、AP 分别为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标系????1 分 ∵ PA ? AD ? DC ? 2 , AB ? 4 . ∴ B (0,4,0), D (2,0 ,0) , C (2,2,0) , P ( 0,0,2) ????2 分 (I)∴ BC ? (2, ?2,0), PC ? (2, 2, ?2) ∵ BC PC ? 0 ∴ BC ? PC , 即 ??????3 分

B C? P C

??????4 分

(II) ∵ AP ? (0,0, 2), AC ? (2, 2,0) 设面 APC 法向量 n ? ( x, y, z ) ∴?

? ? n AP ? 0 ? ?n AC ? 0

∴?

?

z ? 0,

?2 x ? 2 y ? 0

??????6 分

设 x ? ?1,? y ? 1 ∴ n ? (?1,1, 0) ∵ PB ? (0, 4, ?2) ∴ cos ? PB, n ??

??????7 分

PB n | PB | ? | n |
10 5
??????9 分

???8 分

=

即 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为

10 5

(III)由∵ PB ? (0, 4, ?2), PC ? (2, 2, ?2) 设面 PBC 法向量 m ? (a, b, c) ∴?

? ? m PB ? 0 ? ?m PC ? 0

∴?

? 4b ? 2c ? 0, ?2a ? 2b ? 2c ? 0

??????11 分

设 a ? 1,? c ? 2, b ? 1 ∴ m ? (1,1, 2) ∴点 A 到平面 PBC 的距离为 d ?

??????12 分

| AB m | |m|
2 6 3

??????13 分

=

∴点 A 到平面 PBC 的距离为

2 6 3

??????14 分

17.(北京市石景山区 2009 年 4 月高三一模理)(本题满分 14 分) 如图, 已知正三棱柱 ABC — A1 B1C1 的底面边长是 2 ,D 是侧棱 CC1 的中点, 直线 AD 与侧面 BB1C1C 所成的角为 45 . (Ⅰ)求此正三棱柱的侧棱长; (Ⅱ)求二面角 A ? BD ? C 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 ABD 的距离.

A

A1

B
C

B1
D

C1

17. (本题满分 14 分) 解法一: (Ⅰ)设正三棱柱 ABC — A1 B1C1 的侧棱长为 x .取 BC 中点 E ,连结 AE . ∵ ?ABC 是正三角形,∴ AE ? BC . 又底面 ABC ? 侧面 BB1C1C , 且两平面交线为 BC , ∴ AE ? 侧面 BB1C1C . 连结 ED ,则 ? ADE 为直线 AD 与侧面 BB1C1C 所成的角. ∴ ?ADE ? 45 . 在 Rt ?AED 中, tan 45 ? ??????2 分

AE ? ED

3 x2 1? 4

,解得 x ? 2 2 .

∴ 此正三棱柱的侧棱长为 2 2 . (Ⅱ)过 E 作 EF ? BD 于 F ,连结 AF . ∵ AE ? 侧面 BB1C1C ,∴ EF 是 AF 在平面 BCD 内的射影. 由三垂线定理,可知 AF ? BD . ∴ ?AFE 为二面角 A ? BD ? C 的平面角. 在 Rt ?BEF 中, EF ? BE sin ?EBF ,又 BE ? 1 ,

??????4 分

??????6 分

sin ?EBF ?

CD ? BD

2 22 ? ( 2)2

?

3 3 , ∴ EF ? . 3 3

又 AE ? 3 , ∴ 在 Rt ?AEF 中, tan ?AFE ?

AE ?3. EF

??????8 分 ??????9 分

故二面角 A ? BD ? C 的大小为 arctan 3 . (Ⅲ)由(Ⅱ)可知, BD ? 平面 AEF , ∴ 平面 AEF ? 平面 ABD ,且交线为 AF , 过 E 作 EG ? AF 于 G ,则 EG ? 平面 ABD . ∴ EG 的长为点 E 到平面 ABD 的距离.

??????10 分

AE ? EF 在 Rt ?AEF 中, EG ? ? AF

3?

3 3

?

3 ( 3) 2 ? ( ) 2 3

30 . 10

????12 分

∵ E 为 BC 中点,∴ 点 C 到平面 ABD 的距离为 2 EG ?

30 . ????14 分 5

解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)如图,建立空间直角坐标系 O ? xyz . 则 A(0,0, 3), B(0, ?1,0), C(0,1,0), D(? 2,1,0) . 设

n1 ? ( x, y, z) 为平面 ABD 的法向量.
A

? ? ?n1 ? AB ? 0 由 ?? , ? n ? AD ? 0 ? 2
? y ? ? 3z ? 得? . ? ? 2 x ? y ? 3z ? 0
取 n1 ? (? 6 ,? 3,1) .

z

A1

B

B1

x

o
C

D y

C1
????6 分 ????7 分

又平面 BCD 的一个法向量 n2 ? (0,0,1) .

? ? n1 ? n2 (? 6 ) ? 0 ? (? 3 ) ? 0 ? 1 ? 1 ? ? 10 ? ∴ cos ? n1 , n2 ?? ? ? ? . ????8 分 2 2 2 n1 n2 10 1 ? (? 6 ) ? (? 3 ) ? 1

结合图形可知,二面角 A ? BD ? C 的大小为 arccos

10 . 10

????9 分

(Ⅲ)由(Ⅱ) , n1 ? (? 6 ,? 3,1) , CA ? (0,?1, 3) . ∴ 点 C 到平面 ABD 的距离

????10 分

? CA ? n1 | 0 ? (? 6 ) ? (?1) ? (? 3 ) ? 3 ? 1 | 30 ? . ? d? ? 5 n1 (? 6 ) 2 ? (? 3 ) 2 ? 12
∴ 点 C 到平面 ABD 的距离为

30 . 5

????14 分

(17) (北京市朝阳区 2009 年 4 月高三一模) (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A?B?C ? 中, 已知 AA? ? 4 , AC ? BC ? 2 ,?ACB ? 90? , D 是 AB 的中点. C (Ⅰ)求证: CD ? AB? ; C′ A (Ⅱ)求二面角 A? ? AB? ? C 的大小; B (理)(Ⅲ)求直线 B?D 与平面 AB?C 所成角的正弦值. B′ A D A A A′ (17) 解法一: (Ⅰ)证明:因为 AC ? BC , D 是 AB 的中点,所以 CD ? AB . 由已知,三棱柱 ABC ? A?B?C ? 是直三棱柱, 所以平面 ABC ? 平面 ABB?A? . 所以 CD ? 平面 ABB?A? . 又因为 AB ? ? 平面 ABB?A? , 所以 CD ? AB? . ??????5 分 A′ (Ⅱ)解:由(1)知 CD ? 平面 ABB?A? . 过 D 作 DE ? AB ? ,垂足为 E ,连结 CE . 由三垂线定理可知 CE ? AB? , 所以 ?CED 是二面角 B ? AB? ? C 的平面角. 由已知可求得 CD ? 2 , DE ?

C′ F B′ E A

C A B A D A

2 , 3

所以 tan ?CED ?

CD 6 ? . DE 2

所以二面角 B ? AB? ? C 的大小为 arctan

6 . 2

由于二面角 A? ? AB? ? C 与二面角 B ? AB? ? C 的大小互补,

所以二面角 A? ? AB? ? C 的大小为 ? ? arctan

6 . 2

??????10 分

(理)(Ⅲ)过 D 作 DF ? CE ,垂足为 F ,连结 B?F . 由(Ⅱ)可证得 AB? ? 平面 CDE ,所以 AB? ? DF ,可证得 DF ? 平面 AB?C . 所以, ?DB?F 为直线 B?D 与平面 AB?C 所成的角. 在直角三角形 CDE 中,可知 CE ?

30 CD ? DE 2 5 ,所以 DF ? . ? 3 CE 5

在直角三角形 BB?D 中,可知 B?D = 3 2 . 在直角三角形 DB?F 中, sin ?DB?F =

DF 10 . ? DB? 15 10 . 15
??????14 分

所以直线 B?D 与平面 AB?C 所成角的正弦值为

解法二: 以 A?B ? 的中点 O 为原点,先证明 C ?O ? 平面 A?B?BA ,建立空间直角坐标系(如图). 由已知可得

O(0,0,0) 、 A( 2, 4,0) 、 C(0, 4, 2) 、 D(0, 4,0) 、

B?(? 2,0,0) 、 C?(0,0, 2) .
(Ⅰ) 证明:CD ? (0,0, ? 2) ,AB? ? (?2 2, ?4,0,) . 因为 CD ? AB? ? (0,0, ? 2) ? (?2 2, ?4,0) ? 0 , 所以 CD ? AB? . (Ⅱ)解: AC ? (? 2,0, 2) . 设平面 AB?C 的一个法向量为 n ? ( x, y, 1) , ??????5 分
A′ x A

z y Cx ′ A B′

C A B A D A y x A

O A

由?

? ?n ? AB? ? 0, ? ? n ? AC ? 0,

得?

? ??2 2 x ? 4 y ? 0, ? ? ? 2 x ? 2 ? 0.

? x ? 1, 2 ? 解得 ? 2 所以 n ? (1, ? 2 , 1) . . ?y ? ? ? 2
又知, OC ? ? 平面 ABB?A? ,所以 OC? 为平面 ABB?A? 的法向量.

因为 OC? ? (0,0,

2) ,所以 cos? n, OC ?? ?

n ? OC ? ? | n | ? | OC ? |

2 5 ? 2 2

?

10 . 5

由图可知,二面角 A? ? AB? ? C 大于 90?, 所以二面角 A? ? AB? ? C 的大小为 ? ? arccos

10 . 5 2 , 1) , 2

??????10 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知平面 AB?C 的一个法向量 n ? (1, ? 又 B?D ? ( 2, 4,0 ) . 所以 cos? n, B?D? ?

n ? B?D ? 2 10 . ? ?? 15 | n | ? | B?D | 3 5
? , 2
??????14

因为直线 B?D 与平面 AB?C 所成角为 ? n, B?D? ? 所以直线 B?D 与平面 AB?C 所成角的正弦值为 分

10 . 15

17. (北京市西城区 2009 年 4 月高三一模抽样测试理)(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, ? BCD

90o , AB // CD, 又
P

AB = BC = PC = 1, PB =

2, CD = 2, AB ^ PC .

(Ⅰ)求证: PC ^ 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 B-PD-C 的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 PAD 的距离. A 17.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:在 VPBC 中, BC = PC = 1, PB = B D C

2,

\ BC 2 + PC 2 = PB2 , \ ? PCB 90o ,即 PC ^ BC ,
-----------------------1 分

Q AB ^ PC, AB I BC = B ,
\ PC ^ 平面 ABCD .

------------------------4 分

(Ⅱ)方法一:

解:由(Ⅰ)知 PC ^ BC , 又 BC ^ CD, PC I CD = C ,
\ BC ^ 平面 PCD ,

-------------------------5 分

如图,过 C 作 CM ^ PD 于 M,连接 BM,
\ CM 是 BM 在平面 PCD 内的射影, \ BM ^ PD ,

又 CM ^ PD
\ CMB 为二面角 B-PD-C 的平面角.

-------------------------7 分

在 VPCD 中, ? PCD

90o , PC=1, CD = 2 ,
P M

\ PD =

PC2 + CD2 = 5 ,

又 CM ^ PD , \ PD ?CM

PC CD ,
---------------8 分

\ CM =

PC × CD 2 5 . = PD 5

D

C

在 VCMB 中, ? BCM

90o , BC=1, CM = 2 5 , 5

A

B

\ tan ? CMB

BC 5 , = CM 2

\ 二面角 B-PD-C 的大小为 arctan
方法二:

5 . 2

-----------------------9 分

解:如图,在平面 ABCD 内,以 C 为原点, CD、CB、CP 分别为 x、y、z 轴,建立 空间直角坐标系 C-xyz, 则 C(0,0,0), B(0,1,0), D(2,0,0), P(0,0,1), A(1,1,0) , 过 C 作 CM ^ DP 于 M,连接 BM,设 M ( x, y, z ) , --------------------5 分 z P M

uuu r uuu u r uuu r 则 MC = (- x, - y, - z ), DM = ( x - 2, y, z ), DP = (- 2,0,1) ,
uuu r uuu r Q MC ^ DP ,

uuu r uuu r \ MC ?DP

2x - z = 0 ;

1 ○

x

D A y B

C

uuu u r uuu r Q DM , DP 共线,

\ y = 0,

x- 2 = z, - 2

2 ○

由○ 1 ○ 2 ,解得 x =

2 4 , y = 0, z = , 5 5 uuu r uuu r 2 4 2 4 2 4 \ M 点的坐标为 ( , 0, ) , MB = (- , 1, - ) , MC = (- , 0, - ) , 5 5 5 5 5 5 uuu r uuu r 4 4 Q MB ?DP + 0- = 0 , 5 5
\ MB ^ DP ,

又 CM ^ DP ,
\ CMB 为二面角 B-PD-C 的平面角.

---------------------------7 分

uuu r uuu r 2 4 2 4 Q MC = (- , 0, - ) , MB = (- , 1, - ) , 5 5 5 5 uuu r uuu r MB ×MC 2 \ cos ? CMB uuu r uuu r = , | MB | ×| MC | 3 2 \ 二面角 B-PD-C 的大小为 arccos . 3
(Ⅲ)解:设点 B 到平面 PAD 的距离为 h,
Q AB ^ BC , \ AC =

-----------------------9 分

AB2 + BC2 =

2,

Q PC ^ 平面 ABCD, \ PC ^ AC ,

\ PA =

AC2 + PC2 = 3 ,

在直角梯形 ABCD 中, AB = 1, BC = 1, CD = 2 ,
\ AD = BC 2 + (CD - AB) 2 = 2.

在 V PAD 中, Q AD =

2 , PA =

3, PD = 5 ,

\ AD2 + PA2 = PD2 ,
\ ? PAD 90o ,

\ VPAD 的面积 SV PAD =

1 AD ?PA 2

6, 2

------------------------10 分

Q 三棱锥 B-PAD 的体积 VB- PAD = VP- ABD ,
\


1 1 鬃 SV PAD h = 鬃 SV ABD PC , 3 3

------------------------12 分

1 6 , ( 创 1 1) 1 ,解得 h = 2 6 6 . \ 点 B 到平面 PAD 的距离为 6

6 ?h 2

---------------------------14 分

17. (北京市西城区 2009 年 4 月高三一模抽样测试文)(本小题满分 14 分)

如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, ? BCD

90o , AB // CD, 又

AB = BC = PC = 1, PB =

2, CD = 2, AB ^ PC .
P

(Ⅰ) 求证: PC ^ 平面 ABCD ; (Ⅱ) 求 PA 与平面 ABCD 所成角的大小; (Ⅲ) 求二面角 B-PD-C 的大小. D 17.(本小题满分 14 分) 方法一: (Ⅰ)证明:在 VPBC 中, BC = PC = 1, PB = A B

C

2,

\ BC 2 + PC 2 = PB2 , \ ? PCB 90o ,即 PC ^ BC ,
-------------------------1 分

Q AB ^ PC, AB I BC = B ,
\ PC ^ 平面 ABCD .

---------------------4 分

(Ⅱ)如图,连接 AC,由(Ⅰ)知 PC ^ 平面 ABCD ,

\ AC 为 PA 在平面 ABCD 内的射影,
\ PAC 为 PA 与平面 ABCD 所成的角.
--------------6 分

P M

在 V ABC 中, ? ABC

90o , AB = BC = 1 ,
D C

\ AC =

AB2 + BC2 =

2, 2,
A B

在 VPAC 中, ? PCA

90o , PC = 1, AC =

\ tan ? PAC

PC 2 , = AC 2

\ PA 与平面 ABCD 所成角的大小为 arctan
(Ⅲ)由(Ⅰ)知 PC ^ BC , 又 BC ^ CD, PC I CD = C ,
\ BC ^ 平面 PCD .

2 . 2

------------------------8 分

----------------------9 分

如图,过 C 作 CM ^ PD 于 M,连接 BM,
\ CM 是 BM 在平面 PCD 内的射影,

\ BM ^ PD , \ CMB 为二面角 B-PD-C 的平面角.

-----------------------11 分

在 VPCD 中, ? PCD

90o , PC=1, CD = 2 ,

\ PD =

PC2 + CD2 = 5 ,

又 CM ^ PD , \ PD ?CM

PC CD ,

\ CM =

PC × CD 2 5 , = PD 5
90o , BC=1, CM =

在 VCMB 中, ? BCM

2 5 , 5

\ tan ? CMB

BC 5, = CM 2
------------------------14 分 ------------------------4 分

5 . \ 二面角 B-PD-C 的大小为 arctan 2
方法二: (Ⅰ)同方法一. (Ⅱ)解:连接 AC,由(Ⅰ)知 PC ^ 平面 ABCD ,

\ AC 为 PA 在平面 ABCD 内的射影,
\ PAC 为 PA 与平面 ABCD 所成的角.
---------------------------6 分

如图,在平面 ABCD 内,以 C 为原点, CD、CB、CP 分别为 x、y、z 轴,建立空间 直角坐标系 C-xyz, 则

C(0,0,0), B(0,1,0), D(2,0,0), P(0,0,1), A(1,1,0)
--------------------------7 分

,

uuu r uu u r AC = (- 1, - 1,0), AP = (- 1, - 1,1) ,
\ cos ? PAC uuu r uu u r AC ×AP 6, uuu r uu u r = 3 | AC | ×| AP |

\ PA 与平面 ABCD 所成角的大小为 arccos

6 . 3

-------------------------9 分 z P M

(Ⅲ)过 C 作 CM ^ DP 于 M,连接 BM,设 M ( x, y, z ) ,

uuu r uuu u r uuu r 则 MC = (- x, - y, - z ), DM = ( x - 2, y, z ), DP = (- 2,0,1) ,
uuu r uuu r Q MC ^ DP ,
uuu r uuu r \ MC ?DP 2x - z = 0 ;
1 ○ x D A

C B y

uuu u r uuu r Q DM , DP 共线,

\ y = 0,

x- 2 = z, - 2

2 ○

由○ 1 ○ 2 ,解得 x =

2 4 , y = 0, z = , 5 5 uuu r uuu r 2 4 2 4 2 4 \ M 点的坐标为 ( , 0, ) , MB = (- , 1, - ) , MC = (- , 0, - ) , 5 5 5 5 5 5 uuu r uuu r 4 4 Q MB ?DP + 0- = 0 , 5 5
\ MB ^ DP ,

又 CM ^ DP ,
\ CMB









B-PD-C









.

---------------------------12 分
uuu r uuu r 2 4 2 4 Q MC = (- , 0, - ) , MB = (- , 1, - ) , 5 5 5 5 uuu r uuu r MB ×MC 2 \ cos ? CMB uuu r uuu r = , | MB | ×| MC | 3

\







B-PD-C









arccos

2 3

.

--------------------------14 分 16.(北京市崇文区 2009 年 3 月高三统一考试理)(本小题满分 14 分) 在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AB//CD,AB=AD=1,D1D=CD=2,AB⊥AD. (I)求证:BC⊥面 D1DB; (II)求 D1B 与平面 D1DCC1 所成角的大小; (III)在 BB1 上是否存在一点 F, 使 F 到平面 D1BC 的距离为 若存在,则指出该点的位置;若不存在,请说明理由. 16. (本小题满分 14 分) 解法一: (I)证明:∵ABCD-A1B1C1D1 为直四棱柱, ∴ D1D⊥平面 ABCD, ∴BC⊥D1D. ∵AB//CD, AB⊥AD. ∴四边形 ABCD 为直角梯形, 又∵AB=AD=1,CD=2, 可知 BC⊥DB. ∵D1D∩ DB=D,

3 , 3

∴BC⊥平面 D1DB. (II)取 DC 中点 E,连结 BE,D1E. ∵DB=BC, ∴BE⊥CD. ∵ABCD-A1B1C1D1 为直四棱柱, ∴ABCD⊥D1DCC1. ∴BE⊥D1DCC1. ∴D1E 为 D1B 在平面 D1DCC1 上的射影, ∴∠BD1E 为所求角. 在 Rt?D1 BE 中, BE ? 1, D1 E ? 5


-----------------------4 分

tan?BD1 E ?

BE 5 . ? D1 E 5
5 . 5
---------------------------------9 分

∴所求角为 arctan

(Ⅲ)假设 B1B 存在点 F,设 BF= x, ∵ VF ?D1BC ? VC ?D1BF ,BC⊥平面 D1BF, ∴

1 3 1 S ?D1BC ? ? S ?D1BF ? BC . 3 3 3

∵ 在?D1 BC中,BC ? D1 B, D1 B ? 6, BC ? ∴ S ?D1BC ? 又 S ?D1BF ?

2,

1 1 D1 B ? BC ? ? 6 ? 2 ? 3 . 2 2

1 1 2 BF ? D1 B1 ? ? x ? 2 ? x, 2 2 2



1 3 1 2 3? ? ? x ? 2 ? x ? 1. 3 3 3 2
---------------14 分

即存在点 F 为 B1B 的中点. 解法二: (I)证明:如图建立坐标系 D-xyz,

D(0,0,0), B(1,1,0), C(0, 2,0), D1 (0,0, 2) .
∴ BC ? (?1,1,0), DD1 ? (0,0,2), DB ? (1,1,0) . ∵ BC ? DD1 ? 0 , BC ? DB ? 0 , ∴BC⊥DD1, BC⊥DB.

∵D1D∩ DB=D, ∴BC⊥平面 D1DB. (II) D1B ? (1,1, ?2), A(1,0,0), DA ? (1,0,0) . ∵AD⊥平面 D1DCC1, ∴平面 D1DCC1 的法向量 m ? (1,0,0) ,

------------------4 分

∵ cos ? D1 B, m ? ?

D1 B ? m D1 B m

?

1 6 ? . 6 ?1 6

∴D1B 与平面 D1DCC1 所成角的大小为 arcsin

6 . 6

--------------------9 分

(III) 假设 B1B 存在点 F,设 BF = a,则 F(1,1,a), 设平面 D1BC 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 由?

? ? D1 B ? n ? 0

?x ? y ? 2z ? 0 ?? .令 x=1,则 y = z =1. ? x ? y ? 0 BC ? n ? 0 ? ? ?

∴ n ? (1,1,1) ,又 BF ? (0,0, a) ,

∴ cos ? BF , n ? ?

BF ? n BF n

?

3 . 3

∵F 到平面 D1BC 的距离为

3 , 3

BF ? cos ? BF , n ? ?

3 3 3 ? a? ? ? a ?1. 3 3 3
-------------------------------------------14 分

即存在点 F 为 B1B 的中点.

16.(北京市崇文区 2009 年 3 月高三统一考试文)(本 小题满分 14 分) 已 知 直 四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1 中 , AB//CD,AB=AD=1, DD1=CD=2,AB⊥AD. (I)求证:BC⊥面 D1DB; (II)求 D1B 与平面 D1DCC1 所成角的大小. 16. (本小题满分 14 分)

解法一: (I)证明:∵ABCD-A1B1C1D1 为直四棱柱, ∴ D1D⊥平面 ABCD, ∴BC⊥D1D. ∵AB//CD, AB⊥AD. ∴四边形 ABCD 为直角梯形, 又∵AB=AD=1,CD=2, 可知 BC⊥DB. ∵D1D∩ DB=D, ∴BC⊥平面 D1DB. (II)取 DC 中点 E,连结 BE,D1E. ∵DB=BC, ∴BE⊥CD. ∵ABCD-A1B1C1D1 为直四棱柱, ∴ABCD⊥D1DCC1. ∴BE⊥D1DCC1. ∴D1E 为 D1B 在平面 D1DCC1 上的射影, ∴∠BD1E 为所求角. 在 Rt?D1 BE 中, BE ? 1, D1 E ? 5 .

-----------------------6 分

tan?BD1 E ?

BE 5 . ? D1 E 5
5 . 5
---------------------------------14 分

∴所求角为 arctan 解法二:

(I)证明:如图建立坐标系 D-xyz,

D(0,0,0), B(1,1,0), C(0, 2,0), D1 (0,0, 2) .
∴ BC ? (?1,1,0), DD1 ? (0,0,2), DB ? (1,1,0) . ∵ BC ? DD1 ? 0 , BC ? DB ? 0 , ∴BC⊥DD1, BC⊥DB. ∵D1D∩ DB=D, ∴BC⊥平面 D1DB. (II) D1B ? (1,1, ?2), A(1,0,0), DA ? (1,0,0) . ∵AD⊥平面 D1DCC1, ∴平面 D1DCC1 的法向量 m ? (1,0,0) ,

------------------6 分

∵ cos ? D1 B, m ? ?

D1 B ? m D1 B m

?

1 6 ? . 6 ?1 6

∴D1B 与平面 D1DCC1 所成角的大小为 arcsin

6 . 6

--------------------14 分

17.(北京市东城区 2009 年 3 月高中示范校高三质量检测文理)(本小题 14 分) 如图, 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB ? AC ? 的中点. (I)证明: A1D ? 平面ADC ; (II)求异面直线 A1C 与 C1D 所成角的大小; (III)求平面 A1CD与平面ABC 所成二面角的大小(仅考虑 锐角情况) . 17. (本小题 14 分) (I)证:? ?A1B1D和?ABD都为等腰直角三角形

1 AA1 ? a ,?BAC ? 90? , D 为棱 B1B 2
A1 C1 B1

D A C B

? ?A1DB1 ? ?ADB ? 45? ? ?A1DA ? 90? ,即 A1D ? AD ……………………………………………
又? (2 分)

CA ? AB ? CA ? 平面A1 ABB1 ? ?? ? ? CA ? A1D CA ? A1 A? A1D ? 平面A1 ABB1 ?
(4 分)

? A1D ? 平面ADC …………………………………………………………
(II)解:连 AC1 交 A1C 于 E 点,取 AD 中点 F,连 EF、CF,则 EF // C1D

? ?CEF 是异面直线 A1C 与 C1D 所成的角(或补角)…………………

(5 分)

1 3 6 1 5 EF ? C1D ? a , CE ? A1C ? a a , CF ? CA2 ? AF 2 ? 2 2 2 2 2
在 ?CEF 中, cos?CEF ?

CE 2 ? EF 2 ? CF 2 15 ? ………………… 2CE ? EF 15

(8 分)

? ?CEF ? arccos

15 15

则异面直线 A1C 与 C1D 所成角的大小为 arccos (III)解:延长 A1D 与 AB 延长线交于 G 点,连接 CG 过 A 作 AH ? CG于H点 ,连 A1H ,

15 …………………… 15

(9 分)

? A1 A ? 平面ABC ,? A1H ? CG (三垂线定理)
则 ?A1HA是二面角 A1 ? CG ? A 的平面角,即所求二面角的平面角…(10 分) 在直角三角形 ACG 中,? AC ? a, AG ? 2a

? CG ? 5a,? AH ?

AC ? AG 2 5 ? a ………………………………(11 分) CG 5
A1 A ? 5 …………………… AH
(13 分)

在直角三角形 A1 AH 中, tan ?A1 HA ?

??A1HA ? arctan 5 ,
即所求的二面角的大小为 arctan 5 ……………………………………… 得 分 评卷人 (14 分)

17. (北京市丰台区 2009 年 3 月高三统一检测理)(本小题共 14 分)

如图, 在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AA1 ? 4, AB ? 2 , M 是 AC 的中点, 点 N 在 AA1 上,

AN ?

1 。 4
A1

C1

(Ⅰ)求 BC1与侧面ACC1 A1 所成角的正弦值; (Ⅱ)证明 MN ? BC1 ; (Ⅲ) 求二面角 C ? C1 B ? M 的大小.

B1

C N

解: (Ⅰ)在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,

CC1 ? 平面ABC

A

M

B

? CC1 ? BM ,又 M 是正△ABC 边 AC 的中点, ? BM ? AC ,? CC1 ? AC ? C ? BM ? 平面ACC1 A1 ?∠ BC1 M 为 BC1与侧面ACC1 A1 所成角



BM ? 3, BC1 ? 2 5
15 10
MN ?
????5 分

?

sin



BC1 M =

(Ⅱ)证明: 依题意得

17 17 , C1 M ? 17 , C1 N ? 4 4

因 为 MN 2 ? C1 M 2 ? C1 N 2

? MN ? C1 M

由 ( Ⅰ ) 知 BM ? MN , 而

C1 M ? BM ? M ,
所 以

MN ? 平面BC1 M
????9 分





MN ? BC1

(Ⅲ) 过 C 作 CP ? C1 M 于 P ,作 CQ ? C1 B 于 Q ,连接 PQ

?

BM ? 平面ACC1 A1
????11 分

? 平面BMC1 ? 平面ACC1 A1 ? CP ? 平面BMC1 ,
又? CQ ? C1 B

? PQ ? C1 B

? ?PQC 是所求二面角 C ? C1 B ? M 的平面角 ? sin ?PQC ?


? CP ?

1? 4 17


?

4 17 2? 4 4 5 , CQ ? ? 17 5 2 5
面 角

85 17
大 小 为

?
arcsin 85 17

C ? C1 B ? M

????14 分

17. (北京市丰台区 2009 年 3 月高三统一检测文)(本小题共 14 分) 如图, 在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AA1 ? 4, AB ? 2 , M 是 AC 的中点, 点 N 在 AA1 上,

AN ?

1 。 4
A1

C1

(Ⅰ)求 BC1与侧面ACC1 A1 所成角的大小; (Ⅱ)求二面角 C1 ? BM ? C 的正切值; (Ⅲ) 证明 MN ? BC1 . 解: (Ⅰ)在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,

B1

C

CC1 ? 平面ABC

N A

M

B

? CC1 ? BM



M 是正△ABC AC 边的中点,? BM ? AC
????3 分

? CC1 ? AC ? C ? BM ? 平面ACC1 A1 ?∠ BC1 M 为 BC1与侧面ACC1 A1 所成角


BM ? 3, BC1 ? 2 5

15 10 15 51 所以 BC1与侧面ACC1 A1 所成角为 arcsin ( arctan ) 10 17

?sin∠ BC1 M =

????5 分

(Ⅱ) 由已知得

CC1 ? 底面ABC , 又CM ? BM , 所以C1 M ? BM
所以

∠ C1 MC 为二面角 C1 ? BM ? C 的平面角, (Ⅲ)证明: 依题意 得 因为

tan ?C1 MC ? 4

????9 分

MN ?

17 17 , C1 M ? 17 , C1 N ? 4 4

MN 2 ? C1 M 2 ? C1 N 2
又由(Ⅰ)中 BM ? 平面ACC1 A1

? MN ? C1 M

????11 分

知 BM ? MN ,且 C1 M ? BM ? M , ????14 分

? MN ? 平面BC1 M

MN ? BC1


相关文章:
北京市2009届高三数学4模拟试题分类汇编——立体几何
北京市 2009 年高三 4 月各地模拟试题分类汇编立体几何一、选择题: (4)(2009 年 4 月北京海淀区高三一模文)已知 l 是直线, ? 、 ? 是两个不同平面,下列...
北京市2009届高三数学下学期模拟试题分类汇编——立体几何
北京市2009届高三数学下学期模拟试题分类汇编——立体几何_高中教育_教育专区。北京市2009届高三数学下学期模拟试题分类汇编——立体几何北京...
北京市2009届高三数学下学期模拟试题分类汇编——数列
北京市2009届高三数学下学期模拟试题分类汇编——数列_高中教育_教育专区。北京市2009届高三数学下学期模拟试题分类汇编——数列北京市 2009 年高三 4 月各地模拟试题...
北京市2009届高三数学下学期模拟试题分类汇编——平面向量
北京市2009届高三数学下学期模拟试题分类汇编——平面向量_高中教育_教育专区。北京市2009届高三数学下学期模拟试题分类汇编——平面向量北京...
北京市2009届高三数学下学期模拟试题分类汇编——立体几何
北京市2009届高三数学下学期模拟试题分类汇编——立体几何 经典试题,高分,高考经典试题,高分,高考隐藏>> 北京市 2009 年高三 4 月各地模拟试题分类汇编立体几何一,...
浙江省2009届高三数学下学期模拟试题分类汇编——立体几何
浙江省 2009 届高三数学下学期模拟试题分类汇编——立体几何一、选择题 1、(2009 杭州二中第六次月考)如图,已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A B1C1...
北京市2009届高三数学下学期模拟试题分类汇编——三角函数
北京市2009届高三数学下学期模拟试题分类汇编——三角函数_高中教育_教育专区。北京市2009届高三数学下学期模拟试题分类汇编——三角函数北京...
北京市2009届高三数学下学期模拟试题分类汇编——排列组合二项式定理
北京市2009届高三数学下学期模拟试题分类汇编——排列组合二项式定理_高中教育_教育专区。北京市2009届高三数学下学期模拟试题分类汇编——排列组合二项式定理北京...
天津市2009届高三数学下学期模拟试题分类汇编——立体几何
主视图 左视图 天津市 2009 届高三数学下学期模拟试题分类汇编——立体几何 ③若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? ; C.2 个 D.3 个 4 2 3 4 3 3...
更多相关标签:
立体几何高考题汇编 | 高考立体几何汇编 | 2016高考立体几何汇编 | 立体几何解答题汇编 | 立体几何证明题汇编 | 2015高考立体几何汇编 | 高考文科立体几何汇编 | 北京市法律法规汇编 |