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海淀一模


海 淀 区 九 年 级 第 二 学 期 期 中 练 习数学(一模 2014.5 1 1 1 1. ? 的绝对值是 A. ?3 B. 3 C. ? D. 3 3 3 2. 据教育部通报, 2014 年参加全国硕士研究生入学考试的人数约为 1720000. 数 字 1720000 用科学记数法表示为 A. 17.2 ?105 B. 1.72 ?106 C. 1.72 ?105 D.

0.172 ?107 3.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A 9.分解因式: xy 2 ? 4x =

B
2

C .

D

10.已知关于 x 的方程 x ? 2 x ? a ? 0 有两个不相等的实数根,则 a 的取值范围是 ___ ___. 11.如图,矩形台球桌 ABCD 的尺寸为 A D 2.7m ? 1.6m, 位于 AB 中点处的台球 E 沿直 线向 BC 边上的点 F 运动, 经 BC 边反弹后 恰好落入点 D 处的袋子中,则 BF 的长度 为 m.
B F 2.7m C E 1.6m

A B C D 4.一个不透明的盒子中放有 4 个白色乒乓球和 2 个黄色乒乓球,所有乒乓球除颜 色外完全相同,从中随机摸出 1 个乒乓球,摸出黄色乒乓球的概率为 2 1 1 1 A. B. C. D. 3 2 6 3 O 5.如图,AB 为⊙O 的弦,OC⊥AB 于 C,AB=8,OC=3,则⊙O 的半径长为 A. 7 B.3 C.4 D.5 6.下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均 数 x 与方差 s : 平均数 x (cm)
2
2
A C B

12. 在一次数学游戏中, 老师在 A、 B、C 三个 盘子里分别放了一些糖果,糖果数依次为 a 0 , b0 , c0 ,记为 G0 ? ( a 0 , b0 , c0 ). 游戏规则如下: 若三个盘子中的糖果数不完全相同,则从糖果数最多的一个盘子 中拿 出两个,给另外两个盘子各放一个(若有两个盘子中的糖果数相同,且都多于 第三个盘子中的糖果数,则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果) ,记为一次 操作. 若三个盘子中的糖果数都相同,游戏结束. n 次操作后的糖果数记为 Gn ? ( a n , bn , c n ) . (1)若 G0 ? (4,7 ,10) ,则第_______次操作后游戏结束; (2) 小明发现: 若 G0 ?(4, 8, 18) , 则游戏永远无法结束, 那么 G2014 ? ________.
?1 0 13.计算: (3 ? π) ? 2 tan 60 ? ? ( ) ? 27 .

甲 561

乙 560

丙 561

丁 560

3.5 3.5 15.5 16.5 方差 s (cm2) 根据表中数据,要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员 参加比赛,应该选择 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 7.如图,在 ABCD 中,∠ ABC 的平分线交 AD 于 E, ∠ BED=150°,则∠ A 的大小为 B A.15 B.130° C.120° D.100° 8. 如图, 点 P 是以 O 为圆心, AB 为直径的半圆的中点, AB=2, 等腰直角三角板 45°角的顶点与点 P 重合, 当此三角板绕 点 P 旋转时,它的斜边和直角边所在的直线与直径 AB 分别 相交于 C、 D 两点. 设线段 AD 的长为 x , 线段 BC 的长为 y , A 则下列图象中,能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是
y
y
y

1 3

A

E

D

C
P

?4 x ? x ? 9, ? 14. 解不等式组: ?1 ? 3x ? 2 x. ? ? 2
15. 已知 x2 ? 3x ? 4 ? 0 , 求代数式 ( x ? 3)2 ? ( x ? 3)(2 x ? 3) 的值. 16.如图,在△ABC 中,∠ACB=90? , D 是 AC 上的一点,且 AD=BC,DE ? AC 于 D, ∠EAB=90? .求证:AB=AE.

E

C D A B

C

O

D

B

y

2

2

2

2

1

1

1

1

17.某市计划建造 80 万套保障性住房,用于改善百姓的住房状况. 开工后每年建 造保障性住房的套数比原计划增加 25%,结果提前两年保质保量地完成了任务. 求 原计划每年建造保障性住房多少万套?
1 2 x

O

1

2 x

O

1

2 x

O

1

2 x

O

18. 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 一次函数 y ? ax ? a ( a 为常数)的图象与 y 轴相交于点 A ,与函数 2 y ? ( x ? 0) 的图象相交于点 B (m , 1) . x (1)求点 B 的坐标及一次函数的解析式; (2)若点 P 在 y 轴上,且△PAB 为直角三角形,请直 接写出点 P 的坐标. 19 . 如图,在△ ABC 中,∠ ACB=90? ,∠ ABC=30? , BC= 2 3 错误!未找到引用源。 ,以 AC 为 边在△ABC 的外部作等边△ACD, 连接 BD. D (1)求四边形 ABCD 的面积; (2)求 BD 的长.
A

(2)北京市 2013 年吃类商品零售总额约为 1673 亿元,那么当年的社会消费品零 售总额约为 亿元;请补全条形统计图,并标明相应的数据 ; ....... (3)小红根据条形统计图中的数据,绘制了北京市 2010 至 2013 年社会消费品零 售总额年增长率统计表(如下表),其中 2013 年的年增长率为 (精确 到 1%);请你估算,如果按照 2013 年的年增长率持续增长,当年社会消 费品零 售总额超过 10000 亿元时,最早要到 年(填写年份).
北京市 2010 至 2013 年社会消费品零售总额年增长率统计表

2010 年 年增长率(精确到 1%)
C

2011 年 11%

2012 年 12%

2013 年

17%

21.如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 与边
B

C F E B O A

BC、AC 分别交于 D、E 两点, DF ? AC 于 F. (1)求证:DF 为⊙O 的切线;

D

3 (2)若 cos C ? ,CF=9,求 AE 的长. 5
20. 社 会 消 费 品 通常按类别分为:吃类商品、穿类商品、用类商品、烧类商品, 其零 售 总 额 是反映居民生活水平的一项重要数据.为了了解北京市居民近几年的 生活水平,小红参考北京统计信息网的相关数据绘制了统计图的一部分:
北京市 2009 至 2013 年社会消费品
总额/亿元

22.阅读下面材料:在学习小组活动中,小明探究了下面问题:菱形纸片 ABCD 的 边长为 2,折叠菱形纸片,将 B、D 两点重合在对角线 BD 上的同一点处,折痕分 别为 EF、GH.当重合点在对角线 BD 上移动时,六边形 AEFCHG 的周长的变化情 况是怎样的?小明发现:若∠ABC=60° , ①如图 1, 当重合点在菱形的对称中心 O 处时, 六边形 AEFCHG 的周长为_______; ②如图 2,当重合点在对角线 BD 上移动时,六边形 AEFCHG 的周长____(填“改 变”或“不变” ).请帮助小明解决下面问题:

北京市 2013 年各类社会消费品 零售总额分布统计图
烧类商品 7.2% 吃类商品

零售总额统计图

5310

6229

6900

7703 8.7% 64.1% 用类商品

如果菱形纸片 ABCD 边长仍为 2,改变∠ABC 的大小,折痕 EF 的长为 m. (1)如图 3,若∠ABC=120° ,则六边形 AEFCHG 的周长为_________; 穿类商品 (2)如图 4,若∠ABC 的大小为 2? ,则六边形 AEFCHG 的周长可表示为______.
A
A E G D H C

A E G B H F C D

E G B H F C D
B

A E G D H F C

年份

B F

O

(1)北京市 2013 年吃类商品的零售总额占社会消费品零售总额的百分比为 ;

图1

图2

图 3

图4

23.在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 的图象与 y 轴正半轴交于 A y ? mx ? (m ? n) x ? n( m ? 0 ) 点. (1)求证:该二次函数的图象与 x 轴必有两个交点; (2) 设该二次函数的图象与 x 轴的两个交点中右侧的交点 为点 B,若 ?ABO ? 45 ,将直线 AB 向下平移 2 个单位得 到直线 l,求直线 l 的解析式; (3)在(2)的条件下,设 M ( p, q) 为二次函数图象上的 一个动点,当 ?3 ? p ? 0 时,点 M 关于 x 轴的对称点都在 直线 l 的下方,求 m 的取值范围.
2

y
5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1

25. 对于平面直角坐标系xOy 中的点 P(a,b),若点 P? 的坐标为( a ?

b , k ka ? b )(其中 k 为常数,且 k ? 0 ),则称点 P? 为点 P 的“k 属派生点”.

例如:P(1,4)的“2 属派生点”为 P? (1+
1 2 3 4 5

4 , 2 ? 1 ? 4 ),即 P? (3,6). 2

-1 -2 -3 -4 -5

O

x

(1)①点 P(-1,-2)的“2 属派生点” P? 的坐标为____________; ②若点 P 的“k 属派生点” P? 的坐标为(3,3),请写出一个符合条件 的点 P 的坐标____________; (2)若点 P 在 x 轴的正半轴上,点 P 的“k 属派生点”为 P? 点,且△ OPP ? 为 等腰直角三角形,则 k 的值为____________; 4 3 ( x ? 0 )的 (3)如图, 点 Q 的坐标为(0, 4 3 ),点 A 在函数 y ? ? x 图象上,且点 A 是点 B 的 “ ? 3 属派 生点”,当线段 B Q 最短时,求 B 点 坐标.

24.在△ABC 中,AB=AC,将线段 AC 绕着点 C 逆时针旋转得到线段 CD,旋转角 为 ? ,且 0 ? ? ? 180 ,连接 AD、BD. (1)如图 1,当∠BAC=100°, ? ? 60 时,∠CBD 的大小为_________; (2)如图 2,当∠BAC=100°, ? ? 20 时,求∠CBD 的大小; (3)已知∠BAC 的大小为 m( 60 ? m ? 120 ) ,若∠CBD 的大小与(2)中的 结果相同,请直接写出 ? 的大小.
A

A

D
B C

B
D

C

图1

图2

海淀区九年级第二学期期中测评数学试卷答案及评分参考 2014.5 一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 1 D 2 B 3 A 4 C 5 D 6 A 7 C 8 C

∵∠ACB=90? ,∴∠B+∠CAB =90? . ∴∠B=∠EAD. ∴∠EDA=∠ACB. ∵ED ? AC,∴∠EDA=90? . 在△ACB 和△EDA 中,

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9 10 11 0.9 12

??B ? ?EAD, ? ∴△ACB≌△EDA . ? BC ? AD, ??ACB ? ?EDA, ?

∴AB=AE.

x( y ? 2)( y ? 2)

3; a ?1

(11,9,10)

17. 解:设原计划每年建造保障性住房 x 万套.

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分)
?1 13. 解: (3 ? π)0 ? 2 tan 60 ? ? ( ) ? 27

1 3

80 80 ? ?2 . x (1 ? 25%) x 解方程,得 x ? 8 . 经检验: x ? 8 是原方程的解,且符合题意.
根据题意可得: 答:原计划每年建造保障性住房 8 万套. 2 1) 在 y ? ( x ? 0) 的图象上,∴ m ? 2 . 18.解: (1)∵B (m, x ∴B (2 , 1) . ∵B (2 , 1) 在直线 y ? ax ? a (a 为常数)上,∴ 1 ? 2a ? a, ∴ a ? 1. ∴一次函数的解析式为 y ? x ? 1.

=1 ? 2 3 ? 3 ? 3 3 =4 ? 3 .

?4 x ? x ? 9, ① ? 14. 解: ?1 ? 3x 由①,得 x ? ?3 , 由②,得 x ? 1 , ? 2 x . ② ? ? 2
∴原不等式组的解集为. ?3 ? x ? 1 15. 解: ( x ? 3)2 ? ( x ? 3)(2 x ? 3)
=x2 ? 6 x ? 9 ? 2 x2 ? 3x ? 9 =3x ? 9 x.
2

(2)P 点的坐标为(0,1)或(0,3) . 四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19. 解: (1)∵在△ABC 中,∠ACB=90? ,∠ABC=30? , BD ? 2 3 , ∴

x2 ? 3x ? 4 ? 0,

cos ?ABC ?

? x 2 ? 3x ? 4. ∴原式 ? 3 x2 ? 3x =3 ? 4=12.

?

?

BC 1 , AC ? AB , ?BAC ? 90 ? ?ABC ? 90 ? 30 ? 60 . AB 2
D C


E

16. 证明: ∵∠EAB=90? , ∴∠EAD+∠CAB =90? .

AB ?
C D

BC 2 3 1 ? ? 4, AC ? ? 4 ? 2 cos ?ABC cos 30 2
∵△ACD 为等边三角形,
F
A

E
B

A

B

∴ AD ? CD ? AC ? 2 , ?DAC ? 60 . 过点 D 作 DE ? AC 于 E , 则

21. 解: (1)连接 OD, AD .∵ AB 是⊙ O 的直径, ∴ ?ADB ? 90 .又∵ AB ? AC ,∴ D 为 BC 的中点.

DE ? AD sin ?DAC ? 2 ? sin 60 ? 3 .
∴ S四边形ABCD ? S△ABC ? S△ACD ?

1 1 AC ? BC ? AC ? DE 2 2

又∵ O 为 AB 的中点,∴ OD // AC .∵ DF ? AC ,∴ DF ? OD . 又∵ OD 为⊙ O 的半径,∴ DF 为⊙O 的切线. (2)∵ DF ? AC , CF ? 9 ,∴ cos C ? ∴ CD ?

1 1 ? ? 2? 2 3 ? ? 2? 3 ? 3 3 . 2 2 (2)过点 D 作 DF ? AB 于 F .
∵ ?DAF ? 180 ? ?BAC ? ?DAC ? 180 ? 60 ? 60 ? 60 , ∴ DF ? AD ? sin ?DAF ? 2sin 60 ? 3 .

CF . CD

CF 3 ? 9 ? ? 15 ∵ ?ADB ? 90 ,∴ ?ADC ? 90 . cos C 5 CD CD 3 ? 15 ? ? 25 ∴ cos C ? ∴. . AC ? AC cos C 5 BE 连接 .
∵ AB 是⊙ O 的直径,∴ ?AEB ? 90 .
C

AF ? AD ? cos ?DAF ? 2cos 60 ? 1 .
∴ BF ? AB ? AF ? 4 ? 1 ? 5 .∵ DF ? AB , ∴在 Rt△BDF 中,BD2 ? DF 2 ? BF 2 ? ( 3)2 ? 52 ? 28 .∴ BD ? 2 7 . 20. 解: (1)20.0%; (2)8365;
北京市 2009 至 2013 年社会消费品
总额/亿元

又∵ DF ? AC ,∴ DF // BE .

CF CD ? ? 1 .∴ EF ? CF ? 9 . ∴ EF BD ∴ AE ? AC ? EF ? CF ? 25 ? 9 ? 9 ? 7 .
22. 解:①6; ②不变.

D

F

E B A

O

零售总额统计图
8365

(1) 4+2 3 ; (2) 4+4sin ? . 五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23. 解: (1)令 mx2 ? (m ? n)x ? n =0 ,则
?=(m ? n)2 ? 4mn=(m ? n)2 ∵二次函数图象与 y 轴正半轴交于 A 点,

5310

6229

6900

7703

∴ A(0, n) ,且 n ? 0 .
年份

又 m ? 0 ,∴ m ? n ? 0 . ∴ ?=(m ? n)2 ? 0 . ∴该二次函数的图象与 x 轴必有两个交点.

(3)9%,2016.

(2)令 mx2 ? (m ? n)x ? n =0 ,解得: x1 ? 1, x2 ? 由(1)得

n . m

n ? 0 ,故 B 的坐标为(1,0). 又因为 ?ABO ? 45 ,所以 A(0,1) , m

∴DB=BF, ∠DBC=∠FBC.∵∠BAC=100° , ∠FAC=60° , .∵∠ACD=20°,AC=CD,∴∠CAD=80° . ∴∠BAF=40° .∴∠BAD=∠FAD=20° . ④ ∴∠DAF=20° ∵AB=AC, AC=AF,∴AB= AF. ⑤ ∵AD= AD,⑥∴由④⑤⑥,得 △DAB≌△DAF. .∴∠CBD=30° . ∴FD= BD.∴FD= BD=FB.∴∠DBF=60° (3) ? ? 120? ? m ,

即 n =1 . 则可求得直线 AB 的解析式为 y ? ? x ? 1 . 再向下平移 2 个单位可得到直线 l : y ? ? x ? 1. (3)由(2)得二次函数的解析式为 y ? mx2 ? (m ? 1) x ? 1 ∵M ( p, q) 为二次函数图象上的一个动点, ∴ q ? mp2 ? (m ? 1) p ? 1 . ∴点 M 关于 x 轴的对称点 M ? 的坐标为 ( p, ?q) . ∴点 M ? 在二次函数 y ? ?mx2 ? (m ? 1) x ? 1 上. ∵当 ?3 ? p ? 0 时,点 M 关于 x 轴的对称点都在直线 l 的下方, 当 p ? 0 时, q ? 1 ;当 p ? ?3 时, q ? 12m ? 4 ; 结合图象可知: ?(12m ? 4) ? 2 ,
2

? =60° 或

? ? 240? ? m .

25. 解:(1)①(-2,-4); 1; ②答案不唯一,只需横、纵坐标之和为 3 即可,如(1,2)(2)± (3)设 B(a,b). ∵B 的“ - 3 属派生点”是 A, b ∴ A( a ? , ? 3a ? b )∵点 A 还在反 3 比例函数 y ? ? ∴(a ?
b 3

4 3 的图象上, x

)(- 3a ? b)=-4 3 .

1 1 解得: m ? ? ,∴ m 的取值范围为 ? ? m ? 0 . 2 2
24.解:(1)30°; (2)如图作等边△AFC,连结 DF、BF. . ∴AF=FC=AC, ∠FAC=∠AFC=60° ∵∠BAC=100° ,AB=AC, . ∴∠ABC=∠BCA =40° ∵∠ACD=20°, . ∴∠DCB=20° ∴∠DCB=∠FCB=20° . ① ∵AC=CD,AC=FC, ∴DC=FC. ② ∵BC=BC,③ ∴由①②③,得 △DCB≌△FCB,
D
B C

∴(b- 3a)2 =12 . ∵ b- 3a ? 0 ∴ b- 3a ? 2 3 . ∴ b ? 3a ? 2 3 .
A

∴B 在直线 y ? 3x ? 2 3 上. 过 Q 作 y ? 3x ? 2 3 的垂线 Q B1,垂足为 B1, ∵ Q 0, 4 3 ,且线段 BQ 最短, ∴ B 即为所求的 点, B 1

?

?

F

3 7 3) ∴易求得 B( , 2 2
注:其他解法请参照给分.


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