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文科解三角形练习题及解答


开封高中 2016 届高一数学综合卷三
一、选择题
1.设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a, b,c,若 b+c=2a,3sin A=5sin B,则 角 C=( B ) π A. 3 2π B. 3 3π C. 4 5π D. 6 )

1 2.在△ABC 中,a=3,b=5,sin A= ,则 sin B=( B 3

1 A. 5 π A. 3 5 B. 9 π B. 4 C. 5 D.1 3

3. 在锐角△ABC 中, 角 A, B 所对的边长分别为 a, b.若 2asin B= 3b, 则角 A 等于( A π C. 6 π D. 12

)

1 4.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 asin Bco s C+csin Bcos A= b, 2 且 a>b,则∠B=( A ) π A. 6 π B. 3 2π C. 3 5π D. 6

π π 5.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B= ,C= ,则△ABC 6 4 的面积为( B )A.2 3+2 B. 3+1 C.2 3-2 D. 3-1 6. △ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c.若 B=2A, a=1, b= 3, 则 c=( B ) A.2 3 B.2 C. 2 D.1 7. 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 bcos C+ccos B=asin A, 则△ABC 的形状为( A ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定

二.解答题
8.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac. (1)求 B;(2)若 sin Asin C= 3-1 ,求 C. 4

解: (1) 因为 (a + b + c)(a - b + c) = ac ,所以 a2 + c2 - b2 =- ac. 由余弦定理得 cos B = a2+c2-b2 1 =- ,因此 B=120°. 2ac 2
[来源:学科网 ZXXK][来源:学科网 ZXXK]

(2)由(1)知 A+C=60°, 所以 cos (A-C)=cos Acos C+sin Asin C=cos Acos C-sin Asin 3-1 1 3 C+2sin Asin C=cos(A+C)+2sinAsin C= +2× = ,故 A-C=30°或 A-C=- 2 4 2 30°, 因此 C=15°或 C=45°. 9.如图 1-6,在等腰直角△OPQ 中,∠POQ=90°,OP=2 若 OM= 5,求 PM 的长; 2,点 M 在线段 PQ 上.

图 1-6 解:在△OMP 中,∠OPM=45°,OM= 5,OP=2 2, 由余弦定理得,OM2=OP2+MP2-2OP· MP· cos 45°,得 MP2-4MP+3=0, 解得 MP=1 或 MP=3. 10.在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c.已知 cos 2A-3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小;
[来源:Z。 xx。 k.Com]

(2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sinB sin C 的值. 解:(1)由 cos 2A-3cos(B+C)=1,得 2cos2A+3cos A-2=0, 1 即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得 cos A= 或 cos A=-2(舍去). 2 π 因为 0<A<π ,所以 A= . 3 1 1 3 3 (2)由 S= bc sin A= bc· = bc=5 2 2 2 4 3,得 bc=20,又 b=5,知 c=4.

由余弦定理得 a2=b2+c2-2bc· cos A=25+16-20=21,故 a= 21. b c bc 20 3 5 又由正弦定理得 sin Bsin C= sin A· sin A= 2 sin2A= × = . a a a 21 4 7 11.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin Asin B+sin Bsin C+cos 2π a 2B=1.若 C= ,求 的值. 3 b 解:由题意得 sin Asin B+sin Bsin C=2sin2 B, 因为 sin B≠0,所以 sin A+sin C=2sin B, 2π 由正弦定理,有 a+c=2b,所以 c=2b-a,由 C= ,及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2 3 +ab, a 3 即有 5ab-3b2=0,所以 = . b 5 12. 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 bsin A=3csin B,a= 2 3,cos B= . 3 (1)求 b 的值; π (2)求 sin(2B- )的值. 3 a b 解:(1)在△ABC 中,由 = ,可得 bsin A=asin B,又由 bsin A=3csin B,可得 sin A sin B 2 a=3c,又 a=3,故 c=1.由 b2=a2+c2-2accos B,cos B= ,可得 b= 6. 3 2 5 1 (2)由 cos B= ,得 sin B= ,进而得 cos 2B=2cos2 B-1=- ,sin 2B=2sin Bcos B 3 3 9 4 = 5 9 . 5+ 3 . 18

π π π 4 所以 sin2B- =sin 2Bcos -cos 2Bsin = 3 3 3

13. 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A

3 +C)=- . 5 (1)求 sin A 的值; (2)若 a=4 → → 2,b=5,求向 量BA在BC方向上的投影.

3 解:(1)由 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=- , 5 3 得 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=- . 5 3 3 则 cos(A-B+B)=- ,即 cos A=- . 5 5 4 又 0<A<π ,则 sin A= . 5 (2)由正弦定理,有 a b = , sin A sin B

bsin A 2 所以,sin B= = . a 2 π 由题知 a>b,则 A>B,故 B= . 4 根据余弦定理,有 (4 3? 2)2=52+c2-2×5c×? ?-5?,

解得 c=1 或 c=-7(负值舍去). 2 → → → 故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B= . 2 14.在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asin B= (1)求角 A 的大小; (2)若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积. 解:(1)由 2asin B= sin A= 3 2 a b 3b 及正弦定理 = ,得 sin A sin B 3b.

π .因为 A 是锐角,所以 A= . 3 28 . 3

(2)由余弦定理 a2=b2 +c2-2bc cos A 得 b2+c2-bc=36.又 b+c=8,所以 bc= 1 7 3 由三角形面积公式 S= bcsin A,得△ABC 的面积为 . 2 3 15.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a2=b2+c2+ 3bc. (1)求 A;

(2)设 a= 3,S 为△ABC 的面积,求 S+3cos Bcos C 的最大值,并指出此时 B 的值. 解:(1)由余弦定理得 cos A= b2+c2-a2 - 3bc 3 = =- . 2bc 2bc 2
[来源:Z|xx|k.Com]

5π 又因为 0<A<π ,所以 A= . 6

1 (2)由(1)得 sin A= ,又由正弦定理及 a= 3得 2 1 1 asin B S= bcsin A= · ·asin C=3sin Bsin C, 2 2 sin A 因此,S+3cos Bcos C=3(sin Bsin C+cos Bcos C)=3cos(B-C). π -A π 所以,当 B=C,即 B= = 时,S+3cos Bcos C 取最大值 3. 2 12


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