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浅谈用放缩法证明不等式


浅谈用放缩法证明不等式 山东省 许 晔 不等式的证明是中学数学教学的重点,也是学生接受时感到头痛的难点。不等式的证明方法很多。 如:比较法(比差商法)、分析法、综合法、数学归纳法、反证法和放缩法等。限于篇幅,下面仅就用放 缩法证明不等式的问题加以证明。 所谓放缩法,就是针对不等式的结构特征,运用不等式及有关的性质,对所证明的不等式的一边进 行放大或缩小或两边放大缩小同时兼而进行,

似达到证明结果的方法。但无论是放大还是缩小都要遵循不 等式传递性法则,保证放大还是缩小的连续性,不能牵强附会,须做到步步有据。比如:证 a<b,可先证 a<h1,成立,而 h1<b 又是可证的,故命题得证。 利用放缩法证明不等式,既要掌握放缩法的基本方法和技巧,又须熟练不等式的性质和其他证法。 做到放大或缩小恰到好处,才有利于问题的解决。现举例说明用放缩法证明不等式的几种常用方法。 一、运用基本不等式来证明 ①求证:lg8·lg12<1

证明:∵lg8>0,lg12>0,

而 lg96<lg100=2 ∴lg8·lg12<1. 说明:本题应用对数函数的单调性利用不等式平均值,不等式两次放大,使不等式获证。

说明:本题采用了与基本不等式结合进行放缩的有关解题技巧。

解: ∵a b ≥2ab(当且仅当 a=b 时,等号成立) 同理 a +c ≥2ac(当且仅当 a=c 时,等号成立) b +c ≥2bc(当且仅当 b=c 时,等号成立) ∴a +b +c ≥ab+bc+ac(当且仅当 a=b=c 时,等号成立) ∵由已知可得 a +b +c =ab+bc+ac,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

说明:此题完全使用了不等式的基本性质便可解此题。 二、运用放大、缩小分母或分子的办法来达到放缩的目的

证明:

说明:本题观察数列的构成规律,采用通项放缩的技巧把一般数列转化成特殊数列,从而达到简化 证题的目的。

证明:

本题说明采用了分别把各项的分母换成最大的 2m 或最小的 m+1 的技巧。 ③求证:

证明:

本题说明:此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧,放缩拆项时,不一定从第一项开始,须根据 具体题型分别对待,即放不能太宽、缩不能太窄,真正做到恰到好处。 ④求证:

证明:

本题说明,此题采用了通项放缩,使放缩后能拆项相消的技巧。 ⑤若 a、b、c 为不全相等的非实数 求证:

证明:

∵a、c、b 不全为零,上述三式不能全取等号, 相加得

说明:本题考虑到是齐次对称式,应用不舍弃非负项缩小的技巧。 ⑥求证:

证明:

当 a+b=0 时,不等式显然成立。 当 a+b≠0 时,∵0<|a+b|≤|a|+|b|,

即:左边≤右边. 说明:本题是运用了放大分母而缩小一个正分数的技巧。 三、放缩法在数学归纳法和数列中的应用

证明:当 n=k+1 时,则得

本题采用放缩法和数学归纳法相结合的解题方法。

证明:由递推公式有:

∴x100>45. 本题采用了数列的递增和放缩法相结合的解题技巧。 以上例题足以说明,如果掌握了不等式证明的基本方法,并能巧用放缩法,很多难下手的题型,就 能找到解题途径,使不等式证明简化。诚然,要掌握放缩法必须掌握放缩技巧,真正做到弄懂弄通,并且 还要根据不同题目的类型,采用恰到好处的放缩方法,才能把题解活,从而培养和提高自己的思维和逻辑 推理能力,分析问题和解决问题的能力。


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