当前位置:首页 >> 数学 >>

空间向量解决立体几何的向量方法(三)求距离


空间向量之应用3

利用空间向量求距离

课本P42
如果表示向量 a 的有向线段所在直线 垂直于平面?,则称这个向量垂直于平面 ?,记作 a ⊥?. 如果 a ⊥?,那么向量 a 叫做平面?的 法向量.
l
a

?

一、求点与平面间距离
如图 A? ?

, 空间一点 P 到平面 ? 的距离为 d,已知平面 ? 的

一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?

分析:过 P 作 PO⊥ ? 于 O,连结 OA.

?P
n

则 d=| PO |= | PA | ? cos ?APO.
∵ PO ⊥? , n ? ? , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos ? PA, n? |.
∴d=| PA ||cos ? PA, n? |=

?

A?

?O

| PA |? | n | ? | cos? PA, n? | | n|

=

| PA ? n | |n|

.

例1、已知正方形ABCD的边长为4, CG⊥平面ABCD,CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点,求点B到平面GEF的距离。 z

G

x D F A

C

E

y

B

例 :1 如图,已知正方形

ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,且 GC=2,求点 B 到 z 平面 EFG 的距离. G 解:如图,建立空间直角坐标系 C-xyz. 由题设 C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0), D(4,0,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2).
EF ? (2, ?2,0), EG ? (?2, ?4, 2),

设平面 EFG 的一个法向量为 n ? ( x, y, z )

x
F

D

C

B E ? n ? ( , ,1) ,BE ? (2,0,0) 3 3 y | n ? BE| 2 11 2 11 ?d ? ? .?点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11 11 n

?2 x ? 2 y ? 0 n ? EF, n ? EG ? ? ? ?2 x ? 4 y ? 2 ? 0 A 1 1

练习1: SA ? 平面ABCD,?DAB ? ?ABC ? 90?, SA ? AB ? BC ? a,AD ? 2a , 求A到平面SCD的距离。 z
S A B x C D y

练习2:

练习(用向量法求距离): 如图, ABCD 是矩形, PD ? 平面 ABCD , PD ? DC ? a , AD ? 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P

N D
M A B C

解:如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D-xyz 则 D(0,0,0),A( 2 a ,0,0),B( 2 a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0,a )

2 2 1 1 a , 0, 0) N ( a , a, a ) ∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点, ∴ M ( 2 2 2 2

1 1 2 2 z ∴ MC ? ( ? a , a , 0) , MN ? (0, a , a ) , MA ? ( a , 0, 0) P 2 2 2 2 设 n ? ( x, y, z ) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n ? MN , n ? MC 2 N ∴ n ? MC ? ? ax ? ay ? 0 且 C D y 2 a a M n ? MN ? y ? z ? 0 2 2 2 A 解得 x ? y ? ?z , B 2 x ∴可取 m ? ( 2,1, ?1)
∴ MA 在 n 上的射影长 d ?
MA ? n n ? a a A MNC 即点 到平面 的距离为 . 2 2

二、求直线与平面间距离
例2、已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD, CG=2,E、F分别是AB、AD的中点,求直线BD到平面 z GEF的距离。

G

?d ?

| n ? BE| n

2 11 ? . 11

x D
F A

C

E

y

B

练习3: 正方体AC1棱长为1,求BD与平面GB1D1的 距离 DD ? n 1 Z C1 d ? D1 n B
A1
1

G A X

D
B

C Y

三、求平面与平面间距离
例3、正方体AC1棱长为1,

求平面A1DC1与平面AB1C的距离
D1 A1 Z C1 B1

d?

BD1 ? n n

D
A X B

C Y

练习4、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、 C1D1的中点,求平面AMN与平面EFDB的距离。
z

d?

AB ? n
A1

N

D1

F E

C1

n
x
A

M B1 D B

C

y

四、求异面直线的距离

M

a

A

n

d?

AB ? n n

?

N

B

b

例4

. 已 知 直 三 棱 柱 ABC ─A1 B1C1 的 侧 棱 AA1 ? 4 , 底 面
△ ABC 中 , AC ? BC ? 2 , ?BCA ? 90 , E 是 AB 的中点, 求异面直线 CE 与 AB1 的距离.

解:如图建立坐标系C ? xyz, 则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4). z ?CE ? (1,1,0), AB1 ? (2, 2, 4), C
1

设CE, AB1的公垂线的方向向量为n ? ( x, y, z).则

? 取x=1,z则y=-1,z=1,所以 n ? (1,?1,1)

n ? CE ? 0 即 x ? y ? 0 ?2 x ? 2 y ? 4 z ? 0 n ? AB1 ? 0

A1

B1

C
A B

在两直线上各取点C , A, CA ? (1,0,0).

x

E

y

| n ? CA | 2 3 ? CE与 AB1的距离d ? ? . |n| 3

练习5
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求异面 直线DA1与AC的距离。 z
D1 C1 A1

B1 C y

D A B

x

练习6:如图,
ABCD是正方形,SB ? 面ABCD,且SA与 面ABCD所成的角为 45?,点S到面ABCD的 距离为1,求AC与SD的距离。
S

z
B y

A D

x

C

评述:
此题用找公垂线的方法比较难下手,用向量代数 的方法则简捷,高效,显示了向量代数方法在解 决立体几何问题的优越性 平行平面间的距离可转化为直线到平面的距离或 再转化为点到平面的距离

小结:
1、怎样利用向量求距离? ① 点到平面的距离:连结该点与平面上任意一点的向量在平面定 向法向量上的射影(如果不知道判断方向,可取其射影的绝对 值)。 ② 点到直线的距离:求出垂线段的向量的模。

③ 直线到平面的距离:转化为点到平面的距离。

④ 平行平面间的距离:转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。 ⑤ 异面直线间的距离:转化为直线到平面的距离、点到平面的 距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向量定理 和公垂线段定义求出公垂线段向量的模。


相关文章:
高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法(三)——空间向量求距离
高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法(三)——空间向量求距离 隐藏>> 幻灯片 6 如何用向量法求点到平面的距离: 如图 A? ? , 空间一点 P 到平面 ...
第3章 空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法 (三)—— 利用向量方法求距离
第3章 空间向量立体几何 §3.2 立体几何的向量方法 (三)—— 利用向量方法求距离_数学_高中教育_教育专区。高中数学§ 3.2 立体几何的向量方法(三) ...
用空间向量解立体几何问题方法归纳
(3)向量法求二面角:求出二面角 α-l-β 的两个半平面 α与β 的法向量 ...空间向量解决立体几何的... 51页 免费 立体几何中的向量方法—... 8页 ...
空间向量法解决立体几何问题
空间向量立体几何知识点归纳 垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类...; (3)平面与平面的位置关系; 2、求解空间中的角度; 3、求解空间中的距离。...
立体几何中的向量方法(三)----利用向量方法求距离
§3.2 立体几何中的向量方法(三) 教学目标:1.会求空间中的两点间距离以及点到平面间的距离 2.能够运用向量解决立体几何中的一些问题. 教学重难点:求空间点到...
立体几何中的向量方法-—求空间距离
立体几何的向量方法 ---距离问题 距离问题 一、求点到平面的距离 1. (一般...这个垂线段的长度; 2.还可以用等积法求距离; 3.向量法求点到平面的距离. ...
利用空间向量解立体几何(完整版)
利用空间向量立体几何(完整版)_数学_高中教育_教育专区。向量法解立体几何引言...3.点面距离 求点 P ? x0 , y0 ? 到平面 ? 的距离: 方法:在平面 ? ...
立体几何中的向量方法(Ⅱ)求空间角、距离]
立体几何的向量方法()求空间角、距离]_数学_高中教育_教育专区。立体几何...(4,1,1),直线 l 的一个方向向量为 a=(-2,-3,3),则 l 与α 所成...
3.2.3立体几何中的向量方法-利用空间向量求空间角
教学重点求解二面角的向量方法 教学难点二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系 教学过程 一、复习引入 1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” (1)建立...
空间立体几何(空间向量法)
利用空间向量解决立体几何问题一、引入两个重要空间...; 2、求解空间中的角度; 3、求解空间中的距离。 ...两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量....
更多相关标签:
空间向量解决立体几何 | 向量法解决立体几何 | 空间向量与立体几何 | 立体几何中的向量方法 | 向量法解立体几何 | 立体几何向量法 | 用空间向量解立体几何 | 立体几何的向量方法 |