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【金版学案】2016高考数学理科二轮复习习题:专题6第二讲 椭圆、双曲线、抛物线


专题六 解析几何 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线

1.椭圆的定义. 平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件. (1)到两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数 2a. (2)2a>|F1F2|.

1

1.双曲线的定义. 平面内动点的轨迹是双曲线必须满足的两个条件: (1)到两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对

值等于常数 2a. (2)2a<|F1F2|.

2

3.等轴双曲线. 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其标准方程为 x2-y2=λ(λ≠0),离心率 e= 2,渐近线方程为 y=± x.
3

1.抛物线的定义. 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线, 点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线.

4

若二元方程 f(x,y)=0 是曲线 C 的方程,或曲线 C 是方程 f(x,y)=0 的曲线,则必须 满足以下两个条件: 1.曲线上点的坐标都是二元方程 f(x,y)=0 的解(纯粹性). 2.以这个方程的解为坐标的点都是曲线 C 上的点(完备性).

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(×) (2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1,F2 构成△PF1F2 的周长为 2a+2c(其中 a 为椭圆的长半 轴长,c 为椭圆的半焦距).(√) (3)椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越圆.(√) x2 y2 y2 x2 (4) 2+ 2=1(a>b>0)与 2+ 2=1(a>b>0)的焦距相同.(√) a b a b x2 y2 (5)方程 - =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.(×) m n

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1.平面内到点 A(0,1)、B(1,0)距离之和为 2 的点的轨迹为(A) A.椭圆 C.两条射线 B.一条射线 D.一条线段

解析:因为点到两定点 AB 距离之和为 2>|AB|= 2,所以该点的轨迹为椭圆.故选 A. x2 y2 2.以知 F 是双曲线 - =1 的左焦点,A(1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF| 4 12 +|PA|的最小值为 9. 解析:注意到 A 点在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为 F′(4,0), 于是由双曲线性质|PF|-|PF′|=2a=4, 而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5, 两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当 A、P、F′三点共线时等号成立. x2 y2 3.(2015· 新课标Ⅰ卷)一个圆经过椭圆 + =1 的三个顶点,且圆心在 x 轴的正半轴 16 4 3 25 上,则该圆的标准方程为(x- )2+y2= . 2 4 解析:由题意知 a=4,b=2,上、下顶点的坐标分别为(0,2),(0,-2),右顶点的坐 标为(4,0).由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过点(0,2),(0,-2),(4,0)三点.设圆的标准
2 2 ? ?m +4=r , 2 2 2 方程为(x-m) +y =r (0<m<4,r>0),则? 解得 2 2 ?(4-m) =r , ?

?m=2, ? 25 所以圆的标准 ?r = 4 .
2

3

3 25 方程为(x- )2+y2= . 2 4 x2 4 . (2015· 北京卷 ) 已知双曲线 2 - y2 = 1(a > 0) 的一条渐近线为 3 x + y = 0 ,则 a = a ________. x2 x 解析:双曲线 2-y2=1 的渐近线为 y=± ,已知一条渐近线为 3x+y=0,即 y=- 3 a a 1 3 x,因为 a>0,所以 = 3,所以 a= . a 3 答案: 3 3

6

一、选择题 x2 y2 1 1.若椭圆 + =1 的离心率为 ,则实数 m 等于(A) 2 m 2 3 8 A. 或 2 3 8 C. 3 3 B. 2 3 2 D. 或 8 3 m-2 1 8 = ,解得 m= . m 4 3

解析:若 m>2,则 若 0<m<2,则

2- m 1 3 = ,解得 m= . 2 4 2

2. (2015· 新课标Ⅱ卷)过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交 y 轴于 M,N 两点, 则|MN|=(C) A.2 6 B.8 C.4 6 D.10

解析:设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, D+3E+F+10=0, D=-2, ? ? ? ? 则?4D+2E+F+20=0,解得?E=4, ? ? ?D-7E+F+50=0. ?F=-20. ∴ 圆的方程为 x2+y2-2x+4y-20=0. 令 x=0,得 y=-2+2 6或 y=-2-2 6, ∴ M(0,-2+2 6),N(0,-2-2 6)或 M(0,-2-2 6),N(0,-2+2 6),∴ |MN| =4 6,故选 C. x2 y2 3.(2015· 福建卷)若双曲线 E: - =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线 9 16 E 上,且|PF1|=3,则|PF2|等于(B) A.11 B.9 C.5 D.3 4.已知点 P 在抛物线 y2=4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点 距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为(A) 1 ? A.? ?4,-1? C.(1,2) 解析:如图, 1 ? B.? ?4,1? D.(1,-2)

7

抛物线的焦点 F(1,0),准线方程 l:x=-1,点 P 到准线的距离为|PD|. 由抛物线的定义知|PF|=|PD|,显然 D,P,Q 共线时,|PD|+|PQ|最小,即|PF|+|PQ| 1 最小.此时 yP=-1,代入抛物线方程知 xp= , 4 1 ? ∴P? ?4,-1?. x2 y 2 5. (2014· 江西卷)过双曲线 C: 2- 2=1 的右顶点作 x 轴的垂线与 C 的一条渐近线相交 a b 于 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线 C 的方程为(A) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 4 12 7 9 x2 y2 x2 y2 C. - =1 D. - =1 8 8 12 4 x2 y2 b 解析:因为 C: 2- 2=1 的渐近线为 y=± x,所以 A(a,b)或 A(a,-b).因此 OA a b a b =c=4,从而三角形 OAC 为正三角形,即 tan 60°= ,a=2,b=2 3,双曲线 C 的方程 a x2 y2 为 - =1. 4 12 x2 y2 6.(2014· 全国大纲卷)双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,焦点到渐近线 a b 的距离为 3,则 C 的焦距等于(C) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 b 3 c b2 3 b2 解析:由已知可知渐近线的斜率 k= = 2 且 =2,即 2 = 2 且 1+ 2 =4 解得 a a c -3 a c -3 a c2-3=1,所以 c=2,2c=4.故选 C. 二、填空题

8

y2 7.(2015· 北京卷)已知(2,0)是双曲线 x2- 2=1(b>0)的一个焦点,则 b= 3. b 解析:由题意得,双曲线焦点在 x 轴上,且 c=2.根据双曲线的标准方程,可知 a2=1. 又 c2=a2+b2,所以 b2=3.又 b>0,所以 b= 3. 8.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与该抛物线相交于 A, B 两点,其中点 A 在 x 轴上方,若直线 l 的倾斜角为 60°,则△OAF 的面积为 3. 解析:由 y2=4x,可求得焦点坐标为 F(1,0),因为倾斜角为 60°,所以直线的斜率为 k=tan 60°= 3,利用点斜式,直线的方程为 y= 3x- 3,将直线和曲线方程联立,

?y= 3x- 3, 2 3? ?1 ? 2 ?A(3,2 3),B ,- , 3 ? ?3 ?y =4x
1 1 因此 S△OAF= ×OF×yA= ×1×2 3= 3. 2 2 三、解答题 9.已知圆 O′过定点 A(0,p)(p>0),圆心 O′在抛物线 C:x2=2py 上运动,MN 为圆 O′在 x 轴上所截得的弦.

(1)当点 O′运动时,|MN|是否有变化?并证明你的结论; (2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项且 M, N 在原点 O 的右侧时, 试判断抛物线 C 的准 线与圆 O′是相交、相切还是相离,并说明理由.
2 2 解析:(1)设 O′(x0,y0),则 x2 0=2py0(y0>0),则⊙O′的半径|O′A|= x0+(y0-p) , 2 ⊙O′的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=x0 +(y0-p)2. 2 2 2 令 y=0,并把 x2 0=2py0 代入得 x -2x0x+x0-p =0.

解得 x1=x0-p,x2=x0+p, ∴|MN|=|x1-x2|=2p, ∴|MN|不变化,为定值 2p. (2)设 MN 的中点为 B,则|OM|+|ON|=2|OB|且 O′B⊥MN. 又∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项, p? ∴|OM|+|ON|=2|OA|,可得 B(p,0),O′? ?p,2 ?.
9

∴|O′A|=

2 p 5 -p? = p. p2+? ?2 ? 2 5 p. 2

即圆 O′的半径为

p p 5 - ?=p< p. 又∵点 O′到抛物线 C 的准线的距离为 -? 2 ? 2? 2 ∴圆 O′与抛物线 C 的准线相交. x2 y2 10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F1(-1, a b 0),且点 P(0,1)在 C1 上. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2:y2=4x 相切,求直线 l 的方程. 解析:(1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1(-1,0),所以 c=1. x2 y2 1 将点 P(0,1)代入椭圆方程 2+ 2=1,得 2=1,即 b=1,所以 a2=b2+c2=2. a b b x2 所以椭圆 C1 的方程为 +y2=1. 2 (2)直线 l 的斜率显然存在且不为 0,设直线 l 的方程为 y=kx+m, x ? ? 2 +y2=1, 由? 消去 y 并整理得: ? ?y=kx+m, (1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0, 因为直线 l 与椭圆 C1 相切,所以Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0, 整理得 2k2-m2+1=0.①
2 ? ?y =4x, ? 由 消去 y 并整理得: ?y=kx+m, ? 2

k2x2+(2km-4)x+m2=0. 因为直线 l 与抛物线 C2 相切, 所以Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0, 整理得 km=1.② 2 2 ? ?k= , ? ?k=- , 2 2 综合①②,解得? 或? ? ?m= 2. ? ?m=- 2. 所以直线 l 的方程为 y= 2 2 x+ 2或 y=- x- 2. 2 2

11.如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3,且其三个顶点均在抛物线 E:x2=2py(p
10

>0)上.

(1)求抛物线 E 的方程; (2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y=-1 相交于点 Q.证明:以 PQ 为直径 的圆恒过 y 轴上某定点. 解析:(1)依题意,|OB|=8 3,∠BOy=30°. 设 B(x,y),则 x=|OB|sin 30°=4 3, y=|OB|cos 30°=12. 因为点 B(4 3,12)在 x2=2py 上, 所以(4 3)2=2p×12,解得 p=2. 故抛物线 E 的方程为 x2=4y. (2)证法一 1 1 由(1)知 y= x2,y′= x. 4 2

1 设 P(x0,y0),则 x0≠0,y0= x2 ,且 l 的方程为 4 0 1 1 1 y-y0= x0(x-x0),即 y= x0x- x2 . 2 2 4 0 x -4 1 1 ? ? ?x= 0 , ?y=2x0x-4x2 0, 2x0 由? 得? ?y=-1, ? ? ?y=-1. x0-4 ? 所以 Q 为? ? 2x0 ,-1?. 1 → → 设 M(0,y1),令MP·MQ=0 对满足 y0= x2 (x ≠0)的 x0,y0 恒成立. 4 0 0 x2 → → 0-4 ? 由于MP=(x0,y0-y1),MQ=? ? 2x0 ,-1-y1?, → → 由MP·MQ=0, 得
2 x0 -4 -y0-y0y1+y1+y2 1=0, 2 2 2

即(y2 1+y1-2)+(1-y1)y0=0.①

11

1 由于①式对满足 y0= x2 (x ≠0)的 y0 恒成立, 4 0 0
? ?1-y1=0, 所以? 2 解得 y1=1. ? ?y1+y1-2=0,

故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1). 证法二 1 1 1 由(1)知 y= x2,y′= x,设 P(x0,y0),则 x0≠0,y0= x2 ,且 l 的方程为 y 4 2 4 0

1 1 1 -y0= x0(x-x0),即 y= x0x- x2 . 2 2 4 0 x -4 1 1 ? ? ?x= 0 , ?y=2x0x-4x2 0, 2x0 由? 得? ?y=-1, ? ? ?y=-1. x2 0- 4 ? 所以 Q 为? ? 2x0 ,-1?. 取 x0=2,此时 P(2,1),Q(0,-1),以 PQ 为直径的圆为(x-1)2+y2=2,交 y 轴于点 1? ? 3 ? ? 1? M1(0,1),M2(0,-1);取 x0=1,此时 P? ?1,4?,Q?-2,-1?,以 PQ 为直径的圆为?x+4? 2 3 2 125 7 y+ ? = ,交 y 轴于点 M3(0,1),M4?0,- ?. +? 4? ? 8? ? 64 故若满足条件的点 M 存在,只能是 M(0,1). 以下证明点 M(0,1)就是所要求的点.
2 x2 → → 0-4 → → x0-4 因为MP=(x0,y0-1),MQ=? ,-2?,所以MP·MQ= 2 -2y0+2=2y0-2 ? 2x0 ? 2

-2y0+2=0. 故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1).

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