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《优化探究》2013届高三数学理科二轮复习专题演练1-2-2第二讲 函数与方程及函数的应用


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函数与方程及函数的应用

1-2-2 第二讲

一、选择题 1.(2012 年高考天津卷)函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,1)内的零点个数是 ( ) A.0 C.2 B.1 D.3

解析:先判断函数的单调性,再确定零点. 因为 f

′(x)=2xln 2+3x2>0,所以函数 f(x)=2x+x3-2 在(0,1)上递增,且 f(0) =1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,所以有 1 个零点. 答案:B 2 2.(2012 年朝阳区模拟)函数 f(x)=2x- x-a 的一个零点在区间(1,2)内,则 实数 a 的取值范围是( A.(1,3) C.(0,3) 解析:由条件可知 f(1)f(2)<0, 即(2-2-a)(4-1-a)<0, 即 a(a-3)<0,解之得 0<a<3. 答案:C 3.(2012 年黄冈中学模拟)已知 a 是函数 f(x)=2x-log1x 的零点,若 0<x0<a, 2 则 f(x0)的值满足( A.f(x0)=0 C.f(x0)>0 ) B.f(x0)<0 D.f(x0)的符号不确定 ) B.(1,2) D.(0,2)

解析:函数 f(x)=2x+log2x 在(0,+∞)上是单调递增的,若这个函数有零点, 则零点是唯一的,根据函数 f(x)在(0,+∞)上是单调递增的及 a 为函数 f(x)的零 点可知,在(0,a)上,这个函数的函数值小于零,即 f(x0)<0.在定义域上单调的函 数如果有零点, 则只能有唯一的零点,并且以这个零点为分界点把定义域分成两
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个区间,在其中一个区间内函数值都大于零,在另一区间内函数值都小于零. 答案:B 4.某人想开一家服装专卖店,经过预算,该门面需要门面装修费为 20 000 元, 每天需要房租、 水电等费用 100 元, 受经营信誉度、 销售季节等因素的影响, 专 卖 店 销 售 总 收 益 R 与 门 面 经 营 天 数 x 的 关 系 式 是 R = R(x) = 1 ? ?400x- x2,0≤x≤400, 2 ? 则总利润最大时,该门面经营的天数是( ?80 000,x>400, ? A.100 C.200 B.150 D.300 )

解析:由题意,知总成本 C=20 000+100x. 所以总利润 P=R-C x ? ?300x- -20 000,0≤x≤400, 2 =? ?60 000-100x,x>400, ? ?300-x,0≤x≤400, 则 P′=? ?-100,x>400. 令 P′=0,得 x=300,易知当 x=300 时,总利润最大. 答案:D 5 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) 满 足 : f(x + 4) = f(x) , f(x) =
2 ?-x +1(-1≤x≤1), ? 若方程 f(x)-ax=0 有 5 个实根,则正实数 a 的取值范 ?-|x-2|+1(1<x≤3), 2

围是(

) 1 1 B.6<a<4 1 D.6<a<8-2 15

1 1 A.4<a<3 1 C.16-6 7<a<6

解析:由题知 f(x)是以 4 为周期的周期函数,作出 y=f(x)与 y=ax 的图象, 为使方程 f(x)=ax 有五个实数解,由图象可知方程 y=-(x-4)2+1=ax,即 x2 +(a-8)x+15=0 在(3,5)上有两个实数解,则 0<a<8-2 15,再由方程 f(x)= 1 1 ax 在(5,6)内无解,得 6a>1,即 a>6,故实数 a 的取值范围是6<a<8-2 15.故选 D.
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答案:D 二、填空题 6.(2012 年怀化模拟)在用二分法求方程 x3-2x-1=0 的一个近似解时,已 知一个根在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为________. 3 解析:计算函数 f(x)=x3-2x-1 在 x=1,x=2,x=2 处的函数值,根据函 3 27 3 数的零点存在性定理进行判断.f(1)<0,f(2)>0,f(2)= 8 -3-1<0,f(2)· f(2)<0, 3 故下一步可断定该根在区间(2,2)内. 3 答案:(2,2)
x ?e -x-2,x≥0 7.函数 f(x)=? 2 的零点个数是________. ?x +2x,x<0

解析:当 x<0 时,令 f(x)=0,即 x2+2x=0, 解得 x=-2 或 x=0(舍去). 所以当 x<0 时,只有一个零点-2; 当 x≥0 时,f(x)=ex-x-2,而 f′(x)=ex-1,显然 f′(x)≥0,所以 f(x)在[0,+ ∞)上单调递增, 又 f(0)=e0-1-2=-2<0,f(2)=e2-4>0, 所以当 x>0 时,函数 f(x)有且只有一个零点. 综上,函数 f(x)只有两个零点,故填 2. 答案:2
x ?e ,x≥0 8.(2012 年长沙模拟)已知函数 f(x)=? ,则关于 x 的方程 f[f(x)]+k ?-2x,x<0

=0,给出下列四个命题: ① 存在实数 k,使得方程恰有 1 个实根;
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② 存在实数 k,使得方程恰有 2 个不相等的实根; ③ 存在实数 k,使得方程恰有 3 个不相等的实根; ④ 存在实数 k,使得方程恰有 4 个不相等的实根. 其中正确命题的序号是________(把所有满足要求的命题序号都填上).
x ?ee ,x≥0 解析:依题意知函数 f(x)>0,又 f[f(x)]=? -2x 依据 y=f[f(x)]的大致图象 ?e ,x<0

(如图)知,存在实数 k,使得方程 f[f(x)]+k=0 恰有 1 个实根;存在实数 k,使得 方程 f[f(x)]+k=0 恰有 2 个不相等的实根;不存在实数 k,使得方程恰有 3 个不 相等的实根;不存在实数 k,使得方程恰有 4 个不相等的实根.综上所述,其中 正确命题的序号是① . ②

答案:① ② 三、解答题 9. 已知函数 f(x)=ex+ln x, g(x)=e-x+ln x, h(x)=e-x-ln x 的零点分别是 a, b,c.试比较 a,b,c 的大小. 解析:由 f(x)=ex+ln x=0,得 ex=-ln x,但 x>0,ex>1,故-ln x>1,即 ln 1 x<-1,所以 0<a< e; 由 g(x)=e-x+ln x=0,得 e-x=-ln x,但 x>0, 0<e-x<1, 1 故 0<-ln x<1,即-1<ln x<0,所以 e<b<1; 由 h(x)=e-x-ln x=0,得 e-x=ln x,但 x>0, 0<e-x<1,故 0<ln x<1,所以 1<c<e. 综上可知 a<b<c. ?a,a-b≤1, 10.对实数 a 和 b,定义运算“ ”:a b=? 设函数 f(x)=(x2- ?b,a-b>1.
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2) (x-1)(x∈ R). (1)求函数 f(x)的单调区间;

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(2)若方程 f(x)=c 恰有两个实根,求实数 c 的取值范围. 解析:根据“ ”的定义知: 当 x2-2-(x-1)≤1,即:x2-x-2≤0, 得:-1≤x≤2, 所以当-1≤x≤2 时,f(x)=x2-2, 同理当 x<-1 或 x>2 时,f(x)=x-1,
2 ?x -2(-1≤x≤2) 综上可知:f(x)=? . ?x-1(x<-1或x>2)

(1)作出函数 f(x)的图象如图所示,

由图象知函数 f(x)在(-∞,-1),(0,2],(2,+∞)上为增函数;在[-1,0] 上为减函数. (2)在(1)中图象所在坐标系中作出函数 y=c 的图象, 结合图象知: c∈ 当 (-2, -1]∪ (1,2]时方程有两个实根. 11.建造一条防洪堤,其断面为等腰梯形,腰与底边成角为 60° ,如图所示, 考虑到防洪堤的坚固性及石块用料等因素, 设计其断面面积为 6 3 平方米, 为 了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省,则断面的外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)要最小.

(1)求断面外周长的最小值,此时防洪堤高 h 为多少米? (2)如防洪堤的高限制在[3,2 3]的范围内,则断面外周长最小为多少米?
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解析:(1)由等腰梯形的面积, 1 得 6 3=2(AD+BC)h, h 2 3 因为 AD=BC+2· 60° =BC+ 3 h, tan 1 2 3 所以 6 3=2(2BC+ 3 h)h, 6 3 3 即 BC= h - 3 h. 2h 6 3 3 6 3 设外周长为 l,则 l=2AB+BC=sin 60° h - 3 h= 3h+ h ≥6 2, + 6 3 当且仅当 3h= h ,即 h= 6 时等号成立. 故断面外周长的最小值为 6 2 米,此时,堤高 h 是 6 米. 6 3 6 (2)由(1),知外周长 l= 3h+ h = 3(h+h),h∈ [3,2 3]. 6 6 6 设 3≤h1<h2≤2 3,则 h2+h -h1-h =(h2-h1)· h h )>0, (1-
2 1 1 2

这说明 l 是 h 的增函数, 6 3 所以当 h=3 时,l 取得最小值,即 lmin= 3× 3+ 3 =5 3(米).

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