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考前1答案


2014-2015 复习班上学期期末考试适应性训练 理科数学参考答案
一、CBCBC CBADB BD 二、13、 -1 14、-10 15、

2 2

16、7

三、17.因为 m ? (cos 所以 f ( x) ? 3 sin

x x x ,?1) n ? ( 3 sin , c

os 2 ) ,函数 f ( x) ? m ? n . 2 2 2

x x x 3 1 ? cos x cos ? cos 2 ? sin x ? 2 2 2 2 2

………………………2 分

?

3 1 1 π 1 sin x ? cos x ? ? sin( x ? ) ? 2 2 2 6 2
π 6

………………………4 分

(Ⅰ )由 f ( x) ?0 ,得 sin( x ? ) ?

1 π π π 5π +2 kπ,k ? Z .∴ x ? = +2kπ ,或 x ? = 2 6 6 6 6

π ∴ x = +2kπ ,或 x =? +2kπ,k ? Z ………………………6 分 3 π 又 x ? ?0, π? ,? x ? 或 π . 3 π 所以 f ( x ) 在区间 ? 0, π ? 上的零点是 和 π . ………………………8 分 3 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? ac ac 1 2 ? ≥ ? . (Ⅱ )在△ ABC 中, b ? ac ,所以 cos B ? 2ac 2ac 2ac 2 1 π π π π 由 cos B ≥ 且 B ? (0, π) ,得 B ? (0, ], 从而 B ? ? (? , ] ……………10 分 2 3 6 6 6 π 1 1 π 1 ∴ sin( B ? ) ? ( ? , ] , ∴ f ( B) ? sin( B ? ) ? ? (?1, 0] . ………………12 分 6 2 2 6 2 18、解: (Ⅰ )由直方图可得: 20 ? x ? 0.025 ? 20 ? 0.0065 ? 20 ? 0.003 ? 2 ? 20 ? 1 . 所以 x = 0.0125 . 3分 (Ⅱ )新生上学所需时间不少于 1 小时的频率为: 0.003 ? 2 ? 20 ? 0.12 , 因为 1200 ? 0.12 ? 144 ,所以 1200 名新生中有 144 名学生可以申请住宿. 6 分 (Ⅲ )X 的可能取值为 0,1, 2,3, 4. 由直方图可知, 每位学生上学所需时间少于 20 分钟的

1 81 ? 3? 概率为 , P( X ? 0) ? ? ? ? , 4 ? 4 ? 256

4

? 1 ?? 3 ? 27 , P( X ? 1) ? C ? ?? ? ? ? 4 ?? 4 ? 64
1 4

3

27 ?1? ? 3? P( X ? 2) ? C ? ? ? ? ? ? 4 ? ? 4 ? 128 4 1 ?1? . P( X ? 4) ? ? ? ? ? 4 ? 256 0 X 81 P 256
2 4

2

2

,

?1? ? 3? 3 P( X ? 3) ? C ? ? ? ? ? ? 4 ? ? 4 ? 64
3 4

3

,

所以 X 的分布列为: 1 2 3 4

27 64

27 128

3 64

1 256
1

EX ? 0 ?

81 27 27 3 1 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ?1 256 64 128 64 256

19、 (本小题满分 12 分) 解: (1)设 AD ? AB ?

1 BC ? 1 ,则 C1 A ? 1, C1 D ? 2 2
∴C1 A ? AD ………2 分

? C1 A 2 ? AD 2 ? C1 D 2
1 3 , C1 E ? 2 2 5 ? AE 2 ? AB 2 ? BE 2 ? 4 9 ∴C1 A 2 ? AE 2 ? ? C1 E 2 4
又? BE ? ∴C1 A ? AE 又 AD ∩ AE ? A ∴C1 A ? 平面 ABED

z C1

M
A

………4 分

D

y

………5 分

B x

E

(2)由(1)知:C1 A ? 平面 ABED 且 AB ? AD ,分别以

AB、AD、AC1 为 x 轴 、 y
图 则 B (1,0,0),

轴、 z 轴的正半轴建立空间直角坐标系,如

………6 分

1 C1 (0,0,1), E (1, ,0), D(0,1,0) 2 1 1 1 1 1 1 ∴BM ? (? , , ) ………8 分 ? M 是 C1 E 的中点 ∴M ( , , ) 2 4 2 2 4 2 1 设平面 C1 DE 的法向量为 n ? ( x, y, z ) DE ? (1,? ,0), C1 D ? (0,1,?1) 2 1 ? ? ?x ? y ? 0 ? n ? DE ? 0 由? 即? 令 y ? 2 得 n ? (1,2,2) ………10 分 2 ? ? ?n ? C1 D ? 0 y ? z ? 0 ?
设直线 BM 与平面 C1 DE 所成角为 ? ,则 sin ? ? ∴ 直线 BM 与平面 C1 DE 所成角的正弦值为

| BM ? n | | BM || n |

?

4 9

4 . 9

20 、 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 解 :( 1 ) 由 已 知 F1 (?c,0) , 设 B (0, b) , 即

OF1 ? (?c,0), OB ? (0, b)
2 2 ∴OE ? (?c, b ) 即 E ( ? c, b) 2 2
2 c2 1 c 2 2b ∴ 2 ? 2 ? 1 得: ? ① ………2 分 a 2 a b

又 ?PF1 F2 的周长为 2( 2 ? 1) ∴ 2a ? 2c ? 2 ? 2 2 ②

………4 分

2

又① ② 得: c ? 1, a ?

2

∴b ? 1

∴ 所求椭圆 C 的方程为:

x2 ? y 2 ? 1 …5 分 2

(2)设点 M (m,0)(o ? m ? 1) ,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 由?

? y ? k ( x ? 1) 消去 y ,得: (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 2 2 ?x ? 2 y ? 2

设 P ( x1 , y1 ), Q ( x 2 , y 2 ) , PQ 中点为 N ( x 0 , y 0 ) 则 x1 ? x 2 ?

4k 2 1 ? 2k 2

∴ y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ? 2) ?

? 2k 1 ? 2k 2

∴x 0 ?

x1 ? x 2 2k 2 ? 2 1 ? 2k 2 2k 2 ?k , ) 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

y0 ?

y1 ? y 2 ?k ? 2 1 ? 2k 2
………8 分

即 N(

∵?MPQ 是以 M 为顶点的等腰三角形

∴MN ? PQ



k2 ? ?1 m(1 ? 2k 2 ) ? 2k 2
………10 分

∴m ?

k2 ? 1 ? 2k 2

1 ? (0, ) 1 2 2? 2 k

1

设点 M 到直线 l : kx ? y ? k ? 0 距离为 d , 则d2 ?
2 2 2 k 2 (m ? 1) 2 k 2 (k 2 ? 1) 1 1 1 4 ( k ? k ? 1) ∴d ? (0, ) ? ? ? 2 2 2 2 2 2 4 k ?1 (1 ? 2k ) (1 ? 2k )

即点 M 到直线距离的取值范围是 (0, ) 。 法 2:∵?MPQ 是以 M 为顶点的等腰三角形 ∴( MP ? MQ) ? PQ ? 0 ∵ MP ? ( x1 ? m, y1 ), MQ ? ( x 2 ? m, y 2 ), PQ ? ( x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ) ∴( x1 ? x 2 ? 2m)( x 2 ? x1 ) ? ( y1 ? y 2 )( y 2 ? y1 ) ? 0 又 y 2 ? y1 ? k ( x 2 ? x1 ? 2), y 2 ? y1 ? k ( x 2 ? x1 ) ∴( x 2 ? x1 ? 2m) ? k ( x1 ? x 2 ? 2) ? 0
2

1 2

………12 分

………8 分

3

∴(

4k 2 4k 2 2 ? 2 m ) ? k ( ? 2) ? 0 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

∴m ?

k2 1 ? 2k 2

……10 分

以下同解法一。另解: k 2 ? 21 解(Ⅰ ) h ? x? ? x ?

k 2 (m ? 1) 2 1 m 2 ∴d ? ? m(1 ? m) ? 2 4 1 ? 2m k ?1

1? a ? a ln x , x

h?( x) ? 1 ?

① 当 a ? 1 ? 0 时,即 a ? ?1 时,在 ? 0,1 ? a ? 上 h ? x ? ? 0 ,在 ?1 ? a, ?? ? 上 h ? x ? ? 0 ,
' '

1 ? a a x 2 ? ax ? (1 ? a ) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a )] ? ? ? x2 x x2 x2

所以 h ? x ? 在 ? 0,1 ? a ? 上单调递减,在 ?1 ? a, ?? ? 上单调递增;

+? ? 上 h ? x ? ? 0 ,所以函数 h ? x ? 在 ? 0, +? ? 上单调递 ② 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时,在 ? 0,
'

增.………………………………… 得 h ? x0 ? ? 0 ,即函数 h ? x ? ? x ?

(Ⅱ )在 ?1,e ? 上存在一点 x0 ,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,即在 ?1,e ? 上存在一点 x0 ,使

4分

1? a )可知: ? a ln x 在 ?1,e? 上的最小值小于零.由(Ⅱ x ① 当 a ? 1 ? e ,即 a ? e ? 1 时, h ? x ? 在 ?1,e ? 上单调递减,

e2 ? 1 1? a 所以 h ? x ? 的最小值为 h ? e ? ,由 h ? e ? ? e ? , ? a ? 0 可得 a ? e ?1 e e2 ? 1 e2 ? 1 因为 ;② 当 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 0 时, h ? x ? 在 ?1,e ? 上单调递 ? e ? 1 ,所以 a ? e ?1 e ?1
增, 所以 h ? x ? 最小值为 h ?1? ,由 h ?1? ? 1 ? 1 ? a ? 0 可得 a ? ?2 ; ③ 当 1 ? a ? 1 ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时,可得 h ? x ? 最小值为 h ?1 ? a ? ? 2 ? a ? a ln ?1 ? a ? , 因为 0 ? ln ?1 ? a ? ? 1 ,所以, 0 ? a ln ?1 ? a ? ? a 故 h ?1 ? a ? ? 2 ? a ? a ln ?1 ? a ? ? 2 此时不存在 x0 使 h ? x0 ? ? 0 成立. 综上可得所求 a 的范围是: a ?

e2 ? 1 或 a ? ?2 .………………12 分 e ?1 22 解:(1)证明:如图,连接 DE,交 BC 于点 G.

由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE. 而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE. 又因为 DB⊥BE,所以 DE 为直径,则∠DCE=90°,由勾股定理可得 DB=DC. (2)由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC, 故 DG 是 BC 的中垂线,所以 BG= 3 . 2

设 DE 的中点为 O,连接 BO,则∠BOG=60°.

4

从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,
所 以 CF ⊥ BF , 故 Rt △ BCF 外 接 圆 的 半 径 等 于 3 2 .

24、(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 解: (1) f ( x)

? -2

当 x ? ?2 时, x ? 4 ? ?2 , 即 x ? 2 ,∴x ? ? ;

2 2 ,∴? ? x ? 1 3 3 当 x ? 1 时, ? x ? 4 ? ?2 , 即 x ? 6 , ∴ 1? x ?6 2 综上,{ x | ? ? x ? 6} ……5 分 3
当 ? 2 ? x ? 1 时, 3 x ? ?2 ,即 x ? ?

y 3 4 x

? x ? 4, x ? ?2 ? (2) f ( x) ? ?3 x,?2 ? x ? 1 ? ? x ? 4, x ? 1 ?
函数 f ( x) 的图像如图所示: ∵g ( x) ? x ? a , ? a 表示直线的纵截距,当直线过(1,3)点时, ? a ? 2 ; ∴ 当- a

? 2,即 a ? -2 时成立;

……8 分

a 当 ? a ? 2 ,即 a ? ?2 时,令 ? x ? 4 ? x ? a , 得 x ? 2 ? , 2 a ∴a ? 2+ ,即 a ? 4 时成立,综上 a ? -2 或 a ? 4。 2

……10 分

5


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