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四川省成都市实验外国语学校2015届高三下学期4月月考数学(理)试题


成都实验外国语学校高 2015 届 4 月月考(理科)数学试题
(总分 150 分,时间 120 分钟) 命题人:赵光明 第I卷(选择题,共50分)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.集合 A ? ? x ? Z A.{0} 2.已知复数 z 满足 z ? A

.第一象限

? ?

1 ? ? 2 x ? 2? , B ? ? y y ? cos x, x ? A? ,则 A ? B =( 2 ?
B.{1} C.{0,1}

)

D.{-1,0,1} )

(3 ? i ) 2 ,则复数 z 所对应的点所在象限为 ( (i 为虚数单位) 1? i
B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限

3.左下图是某高三学生进入高三来的 12 次数学考试成绩的茎叶图,第 1 次到第 12 次的考 试成绩依次记为: A 1, A 2, 的结果是( )

, A12 。右下图是一个关联的算法流程图。那么算法流程图输出
开始 输入 A1,A2,…,A12

7 8 9 10 11

9 6 3 5 4 3 7 8 2 3 7 0 B.5 D.10 )

n ? 0, i ? 1

i ? i ?1 n ? n ?1


i ? 12 ?
否 输出 n 结束



Ai ? 90?



A.9 C.12 4.下列说法中,不正确的是( A.点 ?

?? ?? ? ? , 0 ? 为函数 f ? x ? ? tan ? 2 x ? ? 的一个对称中心; 4? ?8 ? ?

B.设回归直线方程为 y ? 2 ? 2.5x ,当变量 x 增加一个单位时, y 大约减少 2.5 个单位; C.命题“在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 ?ABC 为等腰三角形”的逆否命题为真命题;

D.对于命题 P :

x x ? 0 ,则 ?P : ?0。 x ?1 x ?1
) B. 64 ? 32 2 C.

2 D. 88 ? 8 2 2 (主视图)

1 1 2 (左侧视图)

5.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.

160 3

10 3

2 6. 设三位数 n ? 100a ? 10b ? c , 若以 a , b, c ? {1, 2,3, 4} 为三条边的长可以构成一个等腰 2 (俯视图) (含等边)三角形,则这样的三位数 n 有( ) A.12 种 B.24 种 C.28 种 D.36 种

7. 已知正项等比数列 {an } 满足 a7 ? a6 ? 2a5 。若存在两项 am , an 使得 aman ? 4a1 ,则

1 9 ? 的最小值为( m n
A.

)

8 3

B.

11 4

C.

14 5

D.

17 6

x2 y2 ? ? 1 的半实轴长是半焦距长与抛物线 C1 : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 8. 双曲线 C 2 : 4 12
横坐标的等比中项,过抛物线 C1 的焦点 F 与双曲线的一条渐近线平行的直线与抛物线 C1 交 于两点 A , B ,则 | AB |? ( ) A.4 B.

14 3

C.

16 3

D.12

9. 已 知 f ( x) 、 g ( x) 都 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , g ( x) ? 0 , f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ,

f ( x) ? a x g ( x) ,

5 f (1) f (?1) 5 ? ? ,则关于 x 的方程 abx 2 ? 2 x ? ? 0(b ? (0,1)) 有 2 g (1) g (?1) 2
) B.

两个不同实根的概率为( A.

1 5

2 5

C.

3 5

D.

4 5

10.已知 f ( x ) 是定义在 [?1,1] 上的奇函数,当 x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) 。当 x ? [0,1] 时 ,

2f

x ? 5 1 2 ?

则 f (?

150 151 ) ? f (? )? 2015 2015

170 ? f (? ( ) f 2015 ( 7 0

?

+f ?

(

) A.

?

27 5

B.

?5

C. ? 6

D .?

11 2

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上)
11.已知锐角 ? 的终边上一点 P 1 ? cos 40 ,sin 40 ,则锐角 ? ? 12.若 (2 x ? 1) = a2010 ? a2011 x ? a2012 x 2 ?
5

?

?

▲ ▲

a2015 x 5 ,则 a2011 ? a2013 ? a2015 的值为

?x ? y ? 3 ? 0 ? 13. 若直线 y ? 2 x 上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m 的取值范围 ?x ? m ?
▲ .
2

14.已知正四面体 ABCD 的棱长为 1,M 为 AC 的中点,P 在线段 DM 上,则 ( AP ? BP) 的 最小值为 _____▲ ________; 15.已知函数 f ( x) ? ?

? x ? 1, x ? 0 则函数 y ? f [ f ( x) ? 1] 的零点个数 ?ln x, x ? 0.



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
16. (本题满分 12 分) 已知 x0 , x0 ?

π π? ? 是函数 f ? x ? ? cos 2 ? ? x ? ? ? sin 2 ? x ?? ? 0 ? 的两个相邻的零点. 2 6? ?

(1)求 f ?

? π? ? 的值; ? 12 ?

(2)若对 ?x ? ? ?

? 7π ? , 0 ,都有 f ? x ? ? m ? 1 ,求实数 m 的取值范围. ? 12 ? ?


17. (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 2 ,点 ? Sn?1, Sn ? 在直线 (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

x y ? ? 1 上,其中 n ? N * 。 n ?1 n

(2)设 Tn ?

4 Sn Sn?1 ? ? 2 ,证明: ? T1 ? T2 ? T3 3 Sn ?1 Sn


? Tn ? 3 。

18. (本题满分 12 分) 随着人们对雾霾环境关注度的提高, 绿色低碳出行越来越受到市民重视, 为此成都市建 立了公共自行车服务系统, 市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡借 车,初次办卡时卡内预先赠送 20 分,当积分为 0 时,借车卡将自动锁定,限制借车,用户 应持卡到公共自行车服务中心以 1 元购 1 个积分的形式再次激活该卡, 为了鼓励市民租用公 共自行车出行,同时督促市民尽快还车,方便更多的市民使用,公共自行车按每车每次的租 用时间进行扣分收费,具体扣分标准如下: ①租用时间不超过 1 小时,免费; ⑦租用时间为 1 小时以上且不超过 2 小时,扣 1 分; ③租用时间为 2 小时以上且不超过 3 小时,扣 2 分; ④租用时间超过 3 小时,按每小时扣 2 分收费(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) . 甲、 乙两人独立出行, 各租用公共自行车一次, 两人租车时间都不会超过 3 小时, 设甲、 乙租用时间不超过一小时的概率分别是 0.5 和 0.6;租用时间为 1 小时以上且不超过 2 小时的概率分别是 0.4 和 0.2. (1)求甲、乙两人所扣积分相同的概率; (2)设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列和数学期望 E ? . ▲ 19.(本小题满分 12 分) 如图四棱锥 P ? ABCD中,底面 ABCD是平行四边形, PG ? 平面 ABCD,垂足为 G , 1 G 在 AD 上且 AG ? GD , BG ? GC ,GB ? GC ? 2 ,E 是 BC 的中点,四面体 P ? BCG 3 的体积为 . (1)求过点 P,C,B,G 四点的球的表面积; (2)求直线 PD 与平面 PBG所成角的正弦值; (3)在棱 PC 上是否存在一点 F ,使异面直线 DF 与 GC 所成的角为 60 ,若存在,确定 点 F 的位置,若不存在,说明理由.
P
0

8 3


B

A

G

D

E

C

20.(本小题满分 13 分) 椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 ? ?1,0? , F2 ?1,0? ,过 F1 作与 x 轴不重合 a 2 b2

的直线 l 交椭圆于 A, B 两点. (1)若 ?ABF2 为正三角形,求椭圆的离心率; (2)若椭圆的离心率满足 0 ? e ?

5 ?1 2 2 2 , O 为坐标原点,求证: OA ? OB ? AB . 2


21.(本小题满分 14 分)

?? x3 ? ax 2 ? bx ? x ? 1? 2 ? 已知函数 f ? x ? ? ? 在 x ? 0 和 x ? 处存在极值. 3 ? ?c ln x ? x ? 1, c ? 0 ?
(1)求实数 a , b 的值. (2)求函数 f ? x ? 在 ? ?1, e? 上的最值; (3)对于任意给定的正实数 c ,曲线 y ? f ? x ? 上是否存在两点 P . Q ,使 ?OPQ (O 为原 点)是以 O 为直角顶点的直角三角形,且斜边的中点在 y 轴上?如果存在,求正实数 c 的 取值范围;如果不存在,说明理由.

成都实验外国语学校高 2015 届 4 月月考理科数学试题
理科数学答案 一 :选择题 1-5:B A A D C 二:填空题 11:70? ; 14:1 ? 12:122 ; 13 : 6-10:C B C B D

(??,1];

6 3

15: 4



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
16. (本题满分 12 分)

π? ? 1 ? cos ? 2? x ? ? π? 3 ? 1 ? cos 2? x ? ? ? (1) f ? x ? ? cos 2 ? ? x ? ? ? sin 2 ? x = 2 2 6? ?
= 分 由题意可知,f ? x ? 的最小正周期为 T ? π , 所以 ? ? 1 , 即 f ? x? ? 分 所以 f ? 分 (2)因为, f ? x ? ? m ? 1 等价于 f ? x ? ?1 ? m ? f ? x ? ?1 所 以 , 对 ?x ? ? ?

3 π? 1? ? π? ? ? sin ? 2? x ? ? cos ? 2? x ? ? ? cos 2? x ? = ? 3? 2? ? 3? ? ? 2

----------4

3 ? π? n i s 2 ? x ? ? -----5 2 3? ?

3 π π? 3 ?π? ? sin ? 2 ? ? ? ? ?? ? 12 ? 2 ? 12 3 ? 2

-----6

? 7π ? ,0 , 都 有 ? 12 ? ?

f

? ?x?

? m 1 恒 成 立 , 等 价 于

f ? x ?max ?1 ? m ? f ? x ?min ?1 ----------8 分

又 x ? ?? 分 所以, ?

5π π π 3 3 ? π? 3 ? 7π ? ? 2x ? ? , 可得 ? 即? ----------10 , 0? , ? sin ? 2 x ? ? ? , 6 3 3 2 2 3? 4 ? 12 ? ?

1 3 . ? m ? 1? 4 2
实 数





m













? 1 3? ? ? ,1 ? ? 2 ? ? 4

----------12 分 17.(本题满分 12 分) 解: (1)因为点 ? Sn?1, Sn ? 在直线

S S x y ?S ? ? ? 1 上,所以, n ?1 ? n ? 1 ,即 ? n ? 构成以 n ?1 n n ?1 n ?n?

S1 ? a1 ? 2 为首项,公差为 1 的等差数列。 1 S 所以, n ? 2 ? ? n ? 1? ? 1 , Sn ? n2 ? n , n
当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ,验证当 n ? 1 吻合; 所以, an ? 2n 。 (2)因为 Tn ? -----6 分

Sn Sn?1 ? ? 2, Sn ?1 Sn

所以, Tn ?

n2 ? n

? n ? 1? ? ? n ? 1?
2

?

? n ? 1? ? ? n ? 1? ? 2 ?
2 2

n ?n

n n?2 2 2 ? ?2 ? ? n?2 n n n?2 ? Tn ? T1 ? 4 ; 3


* 当 n ? N 时, Tn ?

2 2 ? ? 0 ,所以 T1 ? T2 ? T3 n n?2



T1 ? T2 ? T3

?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? Tn ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? 1 3 ? ? 2 4 ?

1 ?? ?1 ?? ? ?? ? n n ? 2 ??

3?

2 2 ? ? 3, n ?1 n ? 2 4 所以, ? T1 ? T2 ? T3 3

? Tn ? 3 。

-----12 分

18(本题满分 12 分) 解: (1)根据题意,得下表,其中 t 表示租用时间(单位:小时) :

0 ? t ?1
扣0分 甲 0.5

1? t ? 2
扣1分 0.4

2?t ?3
扣2分 0.1

乙 分 别 记 “ 甲 扣 分 别 记 “ 乙 扣

0.6 0 、 1 、 2 0 、 1 、 2

0.2 分 ” 为 事 件 分 ” 为 事 件

0.2

P( A1 ) ? 0.5, P( A2 ) ? 0.4, P( A3 ) ? 0.1

A1 , A2 , A3 , 它 们 彼 此 互 斥 , 且 B1 , B2 , B3 , 它 们 彼 此 互 斥 , 且

P( B1 ) ? 0.6, P( B2 ) ? 0.2, P( B3 ) ? 0.2 由题知, A1 , A2 , A3 与 B1 , B2 , B3 相互独立, ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3


? A1 B1 ? A2 B2 ? A3 B3 所以 P ( M ) ? P ( A1 ) P ( B1 ) ? P ( A2 ) P ( B2 ) ? P ( A3 ) P ( B3 ) ? 0.5 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.1? 0.2 ? 0.3 ? 0.08 ? 0.02 ? 0.4┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 6
记甲、乙两人所扣积分相同为事件 M ,则 M 分 (2) ? 的可能取值为: 0,1, 2,3, 4

P(? ? 0) ? P( A1 ) P( B1 ) ? 0.3 P(? ? 1) ? P( A1 ) P( B2 ) ? P( A2 ) P( B1 ) ? 0.5 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.34 P(? ? 2) ? P( A1 ) P( B3 ) ? P( A2 ) P( B2 ) ? P( A3 ) P( B1 ) ? 0.5 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.1? 0.6 ? 0.24 P(? ? 3) ? P( A2 ) P( B3 ) ? P( A3 ) P( B2 ) ? 0.4 ? 0.2 ? 0.1? 0.2 ? 0.1 P(? ? 4) ? P( A3 ) P( B3 ) ? 0.1? 0.2 ? 0.02 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄

┄10 分 所以 ? 的分布列为:

?

0 0.3

1 0.34

2 0.24

3 0.1

4 0.02 ┄┄┄┄

? 的数学期望 E? ? 0 ? 0.3 ? 1? 0.34 ? 2 ? 0.24 ? 3 ? 0.1 ? 4 ? 0.02 ? 1.2
┄12 分

P

19. (本小题满分 12 分) 解: (1)由四面体 P ? BCG 的体积为 .∴ PG ? 4 以 GP , GB, GC 构造长方体,外接球的直径为长方体的体对角线。 ∴ (2 R)2 ? 16 ? 4 ? 4 ∴ R ? 6 ∴

8 3

S球 ? 4? ? 6 ? 24?

…………………………………………

4分 (2)由 GB ? GC ? 2 ∴ ? BGC 为等腰三角形,GE 为 ?BGC 的角平分线,作 DK ? BG 交 BG 的延长线于 K, ∴ DK ? 面BPG 。由平面几何知识可知: DK ? GK ? 面 PBG所成角为 ? ∴

3 PD ? 2,

41 2

设直线 DP 与平

sin ? ?

DK 3 82 ? DP 82

………………………………………………………

8分 (法二:建系) (3)

GB, GC , GP 两两垂直,分别以 GB, GC , GP 为 x , y , z 轴建立坐标系

假设 F 存在且设 F (0, y,4 ? 2 y )(0 ? y ? 2)

3 3 D( ? , , 0), G(0, 0, 0), C (0, 2, 0) 2 2

∴ DF ? ( , y ?

3 2

3 , 4 ? 2 y ), GC ? (0, 2, 0), 又直线 DF 与 GC 所成的角为 60 0 2

∴ cos 600 ?

| DF ? GC | | DF || GC |

?

| 2y ? 3| | DF || GC |

?

23 1 2 ?0 化简得: y ? 7 y ? 2 2

y?

7? 3 不满足 0 ? y ? 2 2

∴这样的点不存在………………………………………………………………12 分 20.(本小题满分 13 分) 解: (1) 由椭圆的定义可知: AF 又 AF2 ? BF2 , 所以 AF 1 ? AF 2 ? BF 1 ? BF 2, 1 ? BF 1 , 即 F1F2 为边 AB 的垂直平分线;在 Rt ?AF 1F2 中, cos30 ?

c 3 2c ,则 ? ,所以,椭圆 4a a 3 3

的离心率为

3 . 3

…………………………………………………………………5 分 (2) 设 A ? x1 , y1 ? ,B ? x2 , y2 ? , 因为 0 ? e ? 6分 ①当直线 AB 垂直于 x 轴时,

5 ?1 1? 5 ,c ? 1 , 所以 a ? . 2 2

…………

1 y2 b4 2 y ? ? ? 1 , , a2 a 2 b2
2

3? 5 ? ? ? a2 ? ? ? 4 4 2 b ?a ? 3a ? 1 2? 4 OA OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ? 2 ? ? ? 2 a a a2

因为 a 2 ? 9分

3? 5 ?AOB 恒为钝角, OA OB ? 0 , , 所以, 所以, 即 OA2 ? OB 2 ? AB 2 . …… 2

②当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设 AB 的直线方程为 y ? k ? x ? 1? ,代入

x2 y 2 ? ? 1, a 2 b2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 得 b ? a k x ? 2k a x ? a k ? a b ? 0 , 则 x1 ? x2 ?

?

?

?2a 2 k 2 a 2 k 2 ? a 2b 2 x x ? , 1 2 b2 ? a 2 k 2 b2 ? a 2 k 2

OA OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? k

2

? x1 ? 1?? x2 ? 1? =

k 2 ? ?a 4 ? 3a 2 ? 1? ? a 2b2 b2 ? a 2 k 2

4 2 令, ? ? a ? = ?a ? 3a ? 1 由①可知 ? ? a ? ? 0

2 2 2 即 OA OB ? 0 ,所以, ?AOB 恒为钝角,即 OA ? OB ? AB .

…………13 分

21.(本小题满分 14 分) 解: (1)当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? ?3x ? 2ax ? b
2

? 2 2a 0? ? ? 2 ? 3 3 因为 f ? x ? 在 x ? 0 和 x ? 处存在极值,即 ? ,所以,a ? 1, b ? 0 ; ………… 3 ?0 2 ? ? b ? 3 ? 3
4分 (2)当 ?1 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? ? x ? 3x ? 2? 令 ?x ?3x ? 2? ? 0 ,解得 0 ? x ? 所以, f ? x ? 在 ? ?1,0? 和 ? 又 f ? ?1? ? 2 , f ?

2 2 ,令 ?x ?3x ? 2? ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 0 或 ? x ? 1 , 3 3

?2 ? ? 2? ,1? 上单调递减,在 ? 0, ? 上单调递增. ?3 ? ? 3?

?2? 4 , f (1) ? 0 , f (0) ? 0 , ?? ? 3 ? 27

当 1 ? x ? e 时,若 c ? 0 , f ? x ? 在 [1, e] 上单调递减;若 c ? 0 , f ? x ? 在 [1, e] 上单调递增, 所以当 c ? 0 时, f max ? f (?1) ? 2 , f min ? f (e) ? c ; 当 0 ? c ? 2 时, f max ? f (?1) ? 2 , f min ? f (0) ? f (1) ? 0 ; 当 c ? 2 时, f max ? f (e) ? c , f min ? f (0) ? f (1) ? 0 .…………9 分

(3)假设曲线 y ? f ? x ? 上存在两点 P.Q 满足题意,则 P.Q 两点只能在 y 轴的两侧,不妨设

P ?t, f ?t ??

?t ? 0? ,则 Q ? ?t , t 3 ? t 2 ? ,且 t ? 1 .
2 3 因为 ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形, 所以 OP OQ ? 0 , 即 ?t ? f t ?t ? t? 2 3 2 若 0 ? t ? 1 ,则 ?t ? ?t ? t

?

2

??

0

?

?? t ?

3

? t 2 ? ? 0 ,化简的 t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 ,此方程无实数解.

1 ? ? t ? 1? ln t , c 1 构造函数 ? ?t ? ? ?t ?1? ln t , ? ? ? t ? ? ln t ? ? 1 ? 0 , ? ? t ? ? ? ?1? ? 0 t 1 所以,当 c ? 0 时,方程 ? ? t ? 1? ln t 恒有解. c
2 3 2 若 t ? 1 ,则 ?t ? c ln t t ? t ? 0 ,即

?

所以,对于任意给定的正实数 c ,曲线 y ? f ? x? 上是一定存在两点 P . Q ,使 ?OPQ (O 为原点)是以 O 为直角顶点的直角三角形,且斜边的中点在 y 轴 上. ………… ……14 分


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