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【复习方略】2014高考数学(人教A版,理)课件(山东专供)第四章 第二节平面向量的基本定理及向量坐标运算


第二节 平面向量的基本定理及向量坐 标运算

1.平面向量基本定理

不共线 的向量e1,e2叫做表示这一平面内的所 (1)基底:平面内_______
有向量的一组基底. (2)平面向量基本定理: 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这个平面 λ 1e1+λ 2e2 内的任意向量a,有且只有一对实数λ 1,λ

2,使a=___________.

2.平面向量的坐标表示 (1)向量的夹角: 非零向量 ①定义:如图,已知两个_________ a和b,作 OA=a,OB ? b, 则向量a与b 的夹角是θ 或∠AOB. ②范围:向量a与b的夹角的范围是 0°≤θ ≤180° _______________.

同向 ; ③当θ =0°时,a与b______

反向 当θ =180°时,a与b______.
垂直 当θ =90°时,a与b______. (2)平面向量的正交分解: 垂直 的向量,叫做把向量正交分 把一个向量分解为两个互相_____ 解.

(3)平面向量的坐标表示:
在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位

向量i,j作为基底,由平面向量基本定理知,该平面内的任一
向量a可表示成a=xi+yj,由于a与数对(x,y)是一一对应的,把 (x,y) ,其中a在x轴 有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=______ 上的坐标是x,a在y轴上的坐标是y.

3.平面向量的坐标运算 向量的加 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b= (x1+x2,y1+y2) ,a-b=________________ (x1-x2,y1-y2) 法、减法 ________________ 向量的 数乘 (λ x,λ y) 设a=(x,y),λ ∈R,则λ a=_________ ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即 向量坐标 为向量的坐标 的求法 ②设A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB = (x 2-x 1,y 2-y 1) _______________

4.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a,b共线?a∥b? x1y2-x2y1=0 ___________.

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(
(2)在△ABC中,向量 AB,BC 的夹角为∠ABC.( )

)

(3)若a,b不共线,且λ 1a+μ 1b=λ 2a+μ 2b,则λ 1=λ 2,
μ 1=μ 2.( )

(4)平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何 一个向量都可被这组基底唯一表示.( )

(5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可表示 成
x1 y1 = . ( x 2 y2

)

【解析】(1)错误.只有不共线的两个向量才能作为平面的一 组基底. (2)错误.由向量夹角的定义知在△ABC中,向量 AB,BC 的夹角 为∠ABC的补角. (3)正确.由λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,得(λ1-λ2)a+(μ1-μ2)b=0. 又a,b不共线,故λ1-λ2=μ1-μ2=0,从而λ1=λ2,μ1=μ2.

(4)正确.由基底的定义及平面向量基本定理知正确 .

(5)错误.因为x2,y2有可能等于0,所以应表示为x1y2-x2y1=0.
答案:(1)〓 (2)〓 (3)√ (4)√ (5)〓

1.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=(
(A)3a+b (B)3a-b

)

(C)-a+3b

(D)a+3b

? x-y=4, ? x=3, ?? 【解析】选B.设c=xa+yb,则 ? x + y = 2 , 1 ? ? y=-,

∴c=3a-b.

2.在正方形ABCD中,AB与BD 的夹角是( (A)90° (B)45° (C)135°

)

(D)0°

【解析】选C.由于∠ABD=45°,而 AB与BD 的夹角是∠ABD的 补角,因此 AB与BD 的夹角为135°.

3.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c

的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c=(
(A)(4,6) (B)(-4,-6)

)

(C)(4,-6)

(D)(-4,6)

【解析】选C.设c=(x,y),

则4a+(3b-2a)+c=0,
?4-6-2+x=0, ? x=4, ?? ?? 12+ 12+6+y=0, ? y=-6. ?-

4.若A(0,1),B(1,2),C(3,4),则 AB ? 2BC =________. 【解析】由题意知 AB ? ?11 ,, 2 ?, ? BC ? ? 2,
故 AB ? 2BC ? ?11 , 2 ? ? ? ?3, ? 3?. ? ? 2 ? 2,

答案:(-3,-3)

5.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a +b)∥c,则实数m=_______. 【解析】a+b=(1,m-1). ∵(a+b)∥c, ∴2-(-1)(m-1)=0,∴m=-1. 答案:-1

考向 1

平面向量基本定理及其应用

【典例1】(1)下列各组向量:①e1=(-1,2),e2=(5,7); ②e1=(3,5),e2=(6,10);
1 3 ③e1=(2,-3),e2=( , ? ),能作为表示它们所在平面内所有向 2 4

量的一组基底的是( (A)① (C)②③

)

(B)①③ (D)①②③

(2)(2013·天津模拟)如图,在△ABC中,AD ? 2 AB, DE∥BC
3

交AC于E,BC边上的中线AM交DE于N.设 AB ? a,AC ? b, 用 a , b表 示向量 AE,BC,DE, DN,AM,AN.

【思路点拨】
题号 (1) 分析 判断向量e1,e2是否共线即可 由题意知平面的基底,找准向量的起点和终点, 利用向量的加法和减法,转化表示即可

(2)

【规范解答】(1)选A.①中的两向量不共线;②中e1= 故两向量共线;③中e2=

1 e1,故两向量共线.综上,只有① 4

1 e2, 2

中的两向量可作为平面的一组基底. (2)∵ AD ? 2 AB, DE∥BC,
3

2 2 ? AE ? AC ? b. 3 3 BC ? AC ? AB ? b ? a.

由△ADE∽△ABC,得
DE ? 2 2 BC ? ? b ? a ? . 3 3

又AM是△ABC的中线,DE∥BC,
1 1 ? DN ? DE ? ? b ? a ? . 2 3 1 1 1 又 AM ? AB ? BC ? a ? ? b ? a ? ? ? a ? b ? . 2 2 2 2 △ADN∽△ABM, AD ? AB , 3 2 1 ? AN ? AM ? ? a ? b ? . 3 3

【互动探究】在本例题(2)图中,连结CD交AM于点P,若
AP ? ?AM,CP ? ?CD ,求λ ,μ 的值.

【解析】CD ? AD ? AC ? 2 AB ? AC ? 2 a ? b,
3 3

1 1 AB ? AC ? ? a ? b ? . 2 2 ? AC ? AP ? PC ? AP ? CP ? ? AM ? ?CD 1 1 2 ? ? ( a ? b) ? ?( a ? b) 2 2 3 ? 2? ? ? ( ? )a ? ( ? ?)b.又 AC ? b, 2 3 2 AM ?
4 ? ? ? 2? ? ? , ? ? 0 , ? ? ?2 3 ? 5 ?? 解得 ? ?? ? ? ? 1 ?? ? 3 . , ? ? 5 ?2 ?

?

?

【拓展提升】用平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示为向量

的形式,再通过向量的运算来解决.
(2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方

便.另外,要熟练运用平面几何的一些性质定理.

【变式训练】如图所示,E,F分别是四边形ABCD的对角线AC, BD的中点,已知 AB ? a,BC ? b,CD ? c,DA ? d,求向量EF.

【解析】方法一:连结AF,
AC ? AB ? BC ? a ? b, 1 1 AC ? ? a ? b ? . 2 2 又 BD ? b ? c, 1 1 ? BF ? BD ? ? b ? c ?, 2 2 1 ? AF ? AB ? BF ? a ? ? b ? c ?, 2 1 1 1 ? EF ? AF ? AE ? a ? ? b ? c ? ? ? a ? b ? ? ? a ? c ? . 2 2 2 ? AE ?

方法二: DB ? d ? a, AC ? a ? b, 1 1 1 1 ? DF ? DB ? ? d ? a ? , AE ? AC ? ? a ? b ?, 2 2 2 2 1 1 可得AF ? DF ? DA ? ? d ? a ? ? d ? ? a ? d ? . 2 2 1 1 1 ? EF ? AF ? AE ? ? a ? d ? ? ? a ? b ? ? ? ? b ? d ? . 2 2 2

考向 2

平面向量的基本运算
)

【典例2】(1)设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b=(

(A)(6,3)
(C)(2,1)

(B)(7,3)
(D)(7,2)

(2)已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),给出下面

的结论:
①直线OC与直线BA平行;②AB ? BC ? CA;
③OA ? OC ? OB; ④AC ? OB ? 2OA.

其中正确结论的个数是(

)

(A)1个

(B)2个

(C)3个

(D)4个

(3)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且 CM ? 3CA,
CN ? 2CB ,则向量MN =_____.

【思路点拨】(1)利用向量坐标运算的法则求解即可.
(2)根据向量的共线及向量坐标运算的法则逐一验证即可 .

(3)利用平面向量的基本概念及其坐标表示求解.

【规范解答】(1)选B.a-2b=(3,5)-2·(-2,1)=(7,3).

? 2 ? 选C. 由题意得OC ? ? ?2,1? , BA ? ? 2, ?1?,
故OC BA,又OC , BA无公共点,故OC BA,①正确; AB ? BC ? AC ,故②错误; OA ? OC ? ? 0, 2 ? ? OB ,故③正确; OB ? 2OA ? ? ?4, 0 ?, AC ? ? ?4, 0 ?,故④正确.所以选C.

(3)∵A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),
? CA ? ?1, 8 ?, CB ? ? 6, 3? . ? CM ? 3CA ? 3 ?1, 8 ? ? ? 3, 24 ?, CN ? 2CB ? 2 ? 6, 3 ? ? ?12, 6 ?. ? MN ? CN ? CM ? ?12, 6 ? ? ? 3, 24 ? ? ? 9, ? 18 ? .

答案:(9,-18)

【拓展提升】两向量相等的充要条件及其应用 两向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)相等的充要条件是它们的对应坐
? x1 ? x 2, 标分别相等,即 ? 利用向量相等可列出方程组求其中 y ? y , 2 ? 1

的未知量,从而解决求字母的取值、点的坐标及向量的坐标 等问题. 【提醒】当向量的起点为坐标原点时,向量的坐标即为终点 坐标;反之也成立.

【变式训练】已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),O为坐标 原点.设 AB ? a,BC ? b,CA ? c,且CM ? 3c,CN ? ?2b. (1)求3a+b-3c. (2)求满足a=mb+nc的实数m,n.

【解析】由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n)=(5,-5),
1 ?-6m+n=5, ?m=-, ?? 解得 ? 1. ?-3m+8n=-5, ?n=-

考向 3

平面向量共线的坐标表示
1 2

【典例3】(1)已知向量a=(1-sin θ ,1),b=( , 1+sin θ ), 若a∥b,则锐角θ 等于( (A)30° (C)60° (B)45° (D)75° )

(2)已知a=(1,0),b=(2,1), ①当k为何值时,ka-b与a+2b共线; ②若 AB ? 2a ? 3b,BC ? a ? mb 且A,B,C三点共线,求m的值.

【思路点拨】

题号

分析 运用两向量平行的充要条件转化为三角函 数知识解决 ①根据向量共线的条件得到k的方程

(1)

(2)

②利用向量共线的坐标表示解题

【规范解答】(1)选B.由a∥b得,
(1-sin θ)(1+sin θ)-1〓 解得sin θ= ? 2 .
2
1 =0, 2

又θ为锐角, 所以θ=45°.

(2)①ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1). a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2). ∵ka-b与a+2b共线,∴2(k-2)-(-1)〓5=0, 即2k-4+5=0,得k= ? 1 .
2

②方法一:∵A,B,C三点共线, ? AB ? ?BC.
? 2 ? ?, 3 即2a ? 3b ? ? ? a ? mb ? ,? ? 解得m ? . 2 ?3 ? m?,

方法二:AB =2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),
BC =a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m),

∵A,B,C三点共线, ? AB BC , ∴8m-3(2m+1)=0,即2m-3=0,∴ m ? 3 .
2

【拓展提升】1.向量共线的两种表示形式. 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),①a∥b?a=λb(b≠0);②a∥b? x1y2-x2y1=0,至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定, 一般情况涉及坐标的用②. 2.两向量共线的充要条件的作用. 判断两向量是否共线(平行),可解决三点共线的问题;另外, 利用两向量共线的充要条件可以列出方程 (组),求出未知数的 值.

【变式训练】(1)若向量a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同,
则x=______.

【解析】∵a=(-1,x)与b=(-x,2)共线,
∴(-1)〓2-x·(-x)=0,

∴x=〒 2.
∵a与b方向相同, ∴x= 2. 答案: 2

(2)若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则 1 ? 1 的
a b

值为______.
【解析】由条件得 AB ? ? a ? 2, ?2 ? , AC ? ? ?2, b ? 2 ?, 根据三点共线

得(a-2)(b-2)=4,
整理得2(a+b)=ab,
所以 a?b 1 1 1 1 ? ,即 ? ? . ab 2 a b 2 答案: 1 2

【易错误区】忽视分类讨论致误 【典例】(2013·济南模拟)已知平行四边形的三个顶点的坐标 分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),求第四个顶点的坐标.

【误区警示】(1)解答此题时容易出现的错误是思维定势,认 为平行四边形只是如图1所示的一种情形,从而忽视了另外的 两种情形. (2)若已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标,则点D的 坐标只有一种情形,而此题中给出了平行四边形的三个顶点, 并没有给出顺序,故应存在三种可能.

【规范解答】如图2所示,设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),D(x,y).

图2

(1)若四边形ABCD1为平行四边形,则 AD1 ? BC,
而 AD1 ? ? x ? 1, y ?, BC ? ? ?2, ?5 ? , ? x ? 1 ? ?2, ? x ? ?3, ?? 解得 ? y ? ? 5 , ? ? y ? ?5.

∴D1(-3,-5).

(2)若四边形ACD2B为平行四边形,则 AB ? CD 2,
而 AB ? ? 4,0 ? ,CD 2 ? ? x ? 1, y ? 5 ?, ? x ? 1 ? 4, ? x ? 5, ?? 解得 ? ? y ? 5 ? 0, ? y ? ?5.

∴D2(5,-5).

(3)若四边形ACBD3为平行四边形,则 AD ? CB, 3
而 AD3 ? ? x ? 1, y ?, CB ? ? 2,5 ? , , ? x ? 1 ? 2, ?x ? 1 ?? 解得 ? ? y ? 5, ? y ? 5.

∴D3(1,5). 综上所述,平行四边形的第四个顶点的坐标为 (-3,-5)或(5,-5) 或(1,5).

【思考点评】

1.注意转化方法的利用.
求点的坐标可转化为求向量的坐标,通过设出所求点的坐标,

进而求得向量的坐标,利用向量的共线或向量的相等建立方程
(或方程组),进而求得点的坐标.

2.注意分类讨论思想的运用.
由于平行四边形的形状和位置不确定,故应进行分类讨论,将

平行四边形的各种情况考虑全,以免漏解 .

1.(2012·广东高考)若向量 BA ? ? 2,3?, CA ? ? 4,7 ?, 则 BC =(

)

(A)(-2,-4)
(C)(6,10)

(B)(2,4)
(D)(-6,-10)

【解析】选A. BC ? BA ? AC ? BA ? CA ? ? 2,3? ? ? 4,7 ? ? ? ?2, ?4 ?.

2.(2013·荆门模拟)在平行四边
形ABCD中,AC与BD交于点O,E是 线段OD的中点,AE的延长线与CD 交于点F.若 AC ? a, BD ? b,则AF =(
1 1 ? A ? a+ b 4 2 1 1 ? C ? a+ b 2 4 2 1 ? B? a+ b 3 3 1 2 ? D ? a+ b 3 3

)

【解析】选B.由已知得DE= EB,
又△DEF∽△BEA,
1 AB, 3 即DF= 1 DC, 3 ∴CF= 2 CD, 3 2 2 2 1 1 1 1 ? CF = CD= OD-OC = ( b- a)= b- a, 3 3 3 2 2 3 3 1 1 2 1 ? AF =AC +CF =a+ b- a= a+ b. 3 3 3 3

1 3

∴DF=

?

?

3.(2013·济南模拟)已知向量a,b不共线,且 AB ? a ? 4b,
BC ? ?a ? 9b, CD ? 3a ? b,则一定共线的是(

)

(A)A,B,D
(C)B,C,D

(B)A,B,C
(D)A,C,D

【解析】选A. BD ? BC ? CD =-a+9b+3a-b=2a+8b.
∵ AB =a+4b,∴ AB ? 1 BD,
2

∴A,B,D三点共线.

4.(2012·山东高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,一单 位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在 (0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1) 时, OP 的坐标为______.

【解析】设圆心运动到C时,圆与x轴的切点为D,则弧PD的长 为2,所以∠PCD=2,点P的横坐标为2-cos(2- )=2-sin 2, 点P的纵坐标为1+sin(2- )=1-cos 2,所以点P的坐标为 (2-sin 2,1-cos 2),即 OP 的坐标为(2-sin 2,1-cos 2). 答案:(2-sin 2,1-cos 2)
? 2 ? 2

1.在平面直角坐标系中,若O为坐标原点,则A,B,C三点在同 一直线上的充要条件为存在唯一的实数λ ,使得 OC ? ? ? OA ?

?1 ? ? ? ? OB 成立,此时称实数λ 为“向量 OC关于OA和OB的终点
共线分解系数”.若已知P1(3,1),P2(-1,3),P1,P2,P3三点 共线且向量 OP3与向量a=(1,1)垂直,则“向量 OP3关于OP1 和
OP2 的终点共线分解系数”为(

)

(A)-3

(B)3

(C)1

(D)-1

【解析】选D. 由OP3与向量a ? ?1,1? 垂直, 可设OP3 ? (t, ? t) (t≠0),
由OP3 ? ? ? OP1 ? (1 ? ? ) ? OP2 得

(t,-t)=λ(3,1)+(1-λ)(-1,3)=(4λ-1,3-2λ),
?4? ? 1 ? t, 两式相加得2λ+2=0, ?? ?3 ? 2? ? ? t,

∴λ=-1.

2.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,设向量 OA=a, OB =b,
其中a=(3,1),b=(1,3).若 OC =λ a+μ b,且0≤λ ≤μ

≤1,C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是(

)

【解析】选A.方法一:由题意知 OC =(3λ+μ,λ+3μ),设
3 1 ? ? ? x ? y, ? x ? 3 ? ? ? , ? ? 8 8 C(x,y),则 ? 解得 ? ? y ? ? ? 3?, ?? ? ? 1 x ? 3 y. ? 8 8 ?

由于0≤λ≤μ≤1,所以0 ? 3 x ? 1 y ? ? 1 x ? 3 y ? 1,
?3x ? y ? 0, 整理得 ? ? x ? y, ?? x ? 3y ? 8. ?
8 8 8 8

画出该不等式组所表示的平面区域,可知选A.

方法二:由题意知 OC =(3λ+μ,λ+3μ),取特殊值,λ=0,
1 1 3 ? ? ,则C( , ), 区域中包含该点,因此只有A项正确. 2 2 2

3.对于n个向量a1,a2,?,an,若存在n个不全为零的实数k1,
k2,?,kn,使得k1a1+k2a2+?+knan=0成立,则称向量a1,a2,?, an是线性相关的.按此规定,能使向量a1=(1,0),a2=(1,-1), a3=(2,2)是线性相关的实数k1,k2,k3的值依次为________(只 需写出一组值即可).

【解析】根据线性相关的定义,
得k1(1,0)+k2(1,-1)+k3(2,2)=0,
k1 ? k 2 ? 2k 3 ? 0, ∴? ? ??k 2 ? 2k 3 ? 0,

令k3=1,则k2=2,k1=-4, ∴k1,k2,k3的一组值为-4,2,1. 答案:-4,2,1(答案不唯一)


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