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第四篇三角函数解三角形第7讲正弦定理余弦定理应用举例


第7讲
【2013 年高考会这样考】

正弦定理、余弦定理应用举例

(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的

要求等. 两种情形 解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或 余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作

考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题. 【复习指导】 1.本讲联系生活实例,体会建模过程,掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基 本方法. 2.加强解三角形及解三角形的实际应用,培养数学建模能力.

基础梳理 1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中, 视线在水平线上方的角叫仰角, 在水平线下方的角叫俯角(如 图(1)).

出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从 几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 所在的同侧 河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45° ,∠CAB=105° 后,就可以计算 出 A,B 两点的距离为( ).

A.50 2 m (2)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 α(如图(2)). (3)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东 30° ,北偏西 45° ,西偏东 60° 等. (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数. 解析

B.50 3 m

C.25 2 m

25 2 D. 2 m

由正弦定理得

AB AC =sin B,又∵B=30° sin∠ACB

2 50× 2 AC· sin∠ACB ∴AB= = 1 =50 2(m). sin B 2 答案 A ).

一个步骤 解三角形应用题的一般步骤:
-1-

2.从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β,则 α,β 的关系为(

A.α>β

B.α=β

C.α+β=90° D.α+β=180° 解析 答案 根据仰角与俯角的定义易知 α=β. B

5 于是这艘船的速度是0.5=10(海里/时). 答案 C

5.海上有 A,B,C 三个小岛,测得 A,B 两岛相距 10 海里,∠BAC=60° ,∠ABC=75° , 则 B,C 间的距离是________海里. 解析 B.北偏西 15° D.北偏西 10° 答案 BC 由正弦定理,知sin 60° = 5 6 AB .解得 BC=5 6(海里). sin?180° -60° -75° ?

3.若点 A 在点 C 的北偏东 30° ,点 B 在点 C 的南偏东 60° ,且 AC=BC,则点 A 在点 B 的( ).

A.北偏东 15° C.北偏东 10°

解析

如图. 【例 1】?如图所示,

考向一

测量距离问题

答案

为了测量河对岸 A,B 两点间的距离,在这岸定一基线 CD,现已测出 CD=a 和∠ACD= B 60° ,∠BCD=30° ,∠BDC=105° ,∠ADC=60° ,试求 AB 的长. [审题视点] 在△BCD 中,求出 BC,在△ABC 中,求出 AB. 解 在△ACD 中,已知 CD=a,∠ACD=60° ,∠ADC=60° ,所以 AC=a.∵∠BCD=30° ,

4.一船向正北航行,看见正西方向相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续 航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60° ,另一灯塔在船的南偏西 75° ,则这艘船的 速度是每小时( A.5 海里 C.10 海里 解析 ). B.5 3海里 D.10 3海里

∠BDC=105° ∴∠CBD=45° 在△BCD 中,由正弦定理可得 BC= asin 105° 3+1 = a. sin 45° 2

如图所示,依题意有∠BAC=60° ,∠BAD=75° ,所以∠CAD=∠CDA=15° ,从而

在△ABC 中,已经求得 AC 和 BC,又因为∠ACB=30° ,所以利用余弦定理可以求得 A, 2 B 两点之间的距离为 AB= AC2+BC2-2AC· cos 30° 2 a. BC· = (1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角 形的模型.(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角,求得该数学模型的解.

CD=CA=10(海里),

在 Rt△ABC 中,得 AB=5(海里),
-2-

【训练 1】 如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D 为两岛上的两

座灯塔的塔顶,测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75° ,30° ,于水面 C 处 测得 B 点和 D 点的仰角均为 60° ,AC=0.1 km.试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间 距离相等,然后求 B,D 的距离.

则 AE=x-20 m,

CD tan 60° BD, = CD x 3 ∴BD=tan 60° = = 3 x (m). 3 3 在△AEC 中,x-20= 3 x, 解得 x=10(3+ 3) m.故山高 CD 为 10(3+ 3) m. (1)测量高度时,要准确理解仰、俯角的概念; (2)分清已知和待求,分析(画出)示意图,明确在哪个三角形内应用正、余弦定理. 【训练 2】 如图所示,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两 个测点 C 与 D, 现测得∠BCD=α, ∠BDC=β, CD=s, 并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ, 求塔高 AB. 3 2+ 6 故 B、D 的距离为 20 km. 考向二 测量高度问题 【例 2】?如图,山脚下有一小塔 AB,在塔底 B 测得山顶 C 的仰角为 60° ,在山顶 C 测得 塔顶 A 的俯角为 45° ,已知塔高 AB=20 m,求山高 CD. 解 在△BCD 中,∠CBD=π-α-β, BC CD = , sin∠BDC sin∠CBD



在△ACD 中,∠DAC=30° ,∠ADC=60° -∠DAC=30° ,所以 CD=AC=0.1 km.又

∠BCD=180° -60° -60° =60° ,故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA. 又∵∠ABC=15° AB AC 在△ABC 中, = , sin∠BCA sin∠ABC 所以 AB= ACsin 60° 3 2+ 6 = (km), sin 15° 20 3 2+ 6 20 (km).

同理,BD=

由正弦定理得 所以 BC= [审题视点] 过点 C 作 CE∥DB,延长 BA 交 CE 于点 E,在△AEC 中建立关系. 解 如图,设 CD=x m,
-3-

CDsin∠BDC s· β sin = sin∠CBD sin?α+β? stan θsin β . sin?α+β?

在 Rt△ABC 中,AB=BCtan∠ACB=

考向三

正、余弦定理在平面几何中的综合应用

【例 3】?如图所示,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=5,AC=9,∠BCA=30° ,∠ADB =45° ,求 BD 的长. 解 在△ADC 中,AD=10,

AC=14,DC=6, AD2+DC2-AC2 由余弦定理得 cos∠ADC= 2AD· DC = 100+36-196 1 =-2,∴∠ADC=120° ,∴∠ADB=60° . 2×10×6

[审题视点] 由于 AB=5,∠ADB=45° ,因此要求 BD,可在△ABD 中,由正弦定理求解, 关键是确定∠BAD 的正弦值.在△ABC 中,AB=5,AC=9,∠ACB =30° ,因此可用正弦定理求出 sin∠ABC,再依据∠ABC 与∠BAD 互补确定 sin∠BAD 即 可. 解 在△ABC 中,AB=5,AC=9,∠BCA=30° . AB AC = , sin∠ACB sin∠ABC

在△ABD 中,AD=10,∠B=45° ,∠ADB=60° , 由正弦定理得 AB AD = , sin∠ADB sin B 3 10× 2 =5 6. 2 2

由正弦定理,得 sin∠ABC=

AC· sin∠BCA 9sin 30° 9 = 5 =10. AB

AD· sin∠ADB 10sin 60° ∴AB= = sin 45° = sin B

∵AD∥BC,∴∠BAD=180° -∠ABC, 9 于是 sin∠BAD=sin∠ABC=10. 9 同理,在△ABD 中,AB=5,sin∠BAD=10, AB BD ∠ADB=45° ,由正弦定理: = , sin∠BDA sin∠BAD 9 2 9 2 解得 BD= 2 .故 BD 的长为 2 . 要利用正、余弦定理解决问题,需将多边形分割成若干个三角形,在分割时, 要注意有利于应用正、余弦定理. 【训练 3】 如图,在△ABC 中,已知∠B=45° 是 BC 边上的一点,AD=10,AC=14, ,D DC=6,求 AB 的长. 规范解答 9——如何运用解三角形知识解决实际问 【问题研究】 ?1?解三角形实际应用问题的一般步骤是:审题——建模?准确地画出图形 ?——求解——检验作答.,?2?三角形应用题常见的类型:,①实际问题经抽象概括后,已知 量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理解之;,②实际问题经抽 象概括后, 已知量与未知量涉及两个三角形, 这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题 的解;,③实际问题经抽象概括后,涉及的三角形只有一个,但由题目已知条件解此三角 形需连续使用正弦定理或余弦定理.,【解决方案】 航海、测量问题利用的就是目标在不同 时刻的位置数据, 这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形, 根据这些三角形就可以 确定目标在一定的时间内的运动距离, 因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据 把测量目标归入到一个可解三角形中. 【示例】?(本题满分 12 分)
-4-

如图,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当 甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105° 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当 甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120° 方向的 B2 处,此时两船相 距 10 2海里.问:乙船每小时航行多少海里?

10 2 因此,乙船的速度为 20 ×60=30 2(海里/时).(12 分) 利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图,结合示意图构造 三角形,然后转化为解三角形的问题进行求解. 【试一试】 如图所示,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的 B 处有 一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30° 、相距 20 海 里的 C 处的乙船,现乙船朝北偏东 θ 的方向即沿直线 CB 前往 B 处救援,求 cos θ.

(1)分清已知条件和未知条件(待求). (2)将问题集中到一个三角形中. (3)利用正、 余弦定理求解. [解答示范] 如图,连接 A1B2 由已知 A2B2=10 2, [尝试解答] 如图所示,在△ABC 中,AB=40,AC=20,∠BAC=120° ,由余弦定理,

得 BC2=AB2+AC2-2AB· cos 120° 800,所以 BC=20 7. AC· =2

20 A1A2=30 2×60=10 2,∴A1A2=A2B2. 又∠A1A2B2=180° -120° =60° , ∴△A1A2B2 是等边三角形, ∴A1B2=A1A2=10 2.由已知,A1B1=20, ∠B1A1B2=105° -60° =45° ,(8 分) 在△A1B2B1 中,由余弦定理得
2 2 B1B2=A1B1+A1B2-2A1B1· 1B2· 45° A cos 2

AB 21 由正弦定理,得 sin∠ACB=BC· sin∠BAC= 7 . 2 7 由∠BAC=120° ,知∠ACB 为锐角,故 cos∠ACB= 7 . 故 cos θ=cos(∠ACB+30° ) =cos∠ACBcos 30° -sin∠ACBsin 30° 2 7 3 21 1 21 = 7 × 2 - 7 ×2= 14 .

2 =20 +(10 2) -2×20×10 2× 2 =200,
2 2

∴B1B2=10 2.

-5-


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