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2011年南京数学学校“紫金杯”高一数学竞赛试题及答案2011.2.20


2011 年南京数学学校“紫金杯”数学竞赛试题及答案 高一 年 级
考试时间:2011 年 2 月 20 日上午 8:30-10:30

说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设 8 分和 0 分两档;第 9 小题 4 分一档,第 10、11 小题 5 分为一个档次。请严格按照本评分标准的评分档次给分, 不要增加其他中间档次. 2.如果考

生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分. 一、填空题 (本题满分 64 分,每小题 8 分,直接将答案写在横线上)
2 2 2 2 2 1.已知 f ? x ? ? x ? a ? b ? 1 x ? a ? 2ab ? b 是偶函数,则函数图象与 y 轴交点的纵坐标的

?

?

最大值是 解:由已知条件可知, a ? b ? 1 ? 0 ,函数图象与 y 轴交点的纵坐标为 a ? 2ab ? b 。令
2 2 2 2

a ? cos? , b ? sin ? ,则

a2 ? 2ab ? b2 ? cos2 ? ? 2sin ? cos ? ? sin 2 ? ? cos 2? ? sin 2? ? 2 .
2.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (A ? 0,? ? 0)的图象与直线 y ? a (0 ? a ? A) 的三个相邻交点的横 坐标分别是 2,4,8,则 f ( x) 的单调递减区间是 解:?相邻交点的中点的横坐标分别为 3,6,则周期 T ? 6 , ? ?

?
3

? f ( x) ? A sin( x ? ? ) ,又 f (2) ? f (4) ? 0 ,? 当 x ? 3 时, f ( x) 取最大值, 3 ? ? 3? 即 f ( 3 ) A s i n? ? ? )A ? ? ? ? 2k? , k ? Z , f ( x) ? A sin( x ? ) , ? ? ( 2 3 2 ? f ( x) 的单调递减区间为 [6k ? 3,6k ], k ? Z

?

3.

cos1? cos 2? cos3? cos89? = ? ? ? ... ? ? ? ? sin 46 sin 47 sin 48 sin134?
cos ? cos ? cos((? ? 45? ) ? 45? ) 2 2 ? ? ? ? tan(? ? 45? ) sin(45? ? ? ) cos(45? ? ? ) cos(? ? 45? ) 2 2

解:?

cos1? cos 2? cos3? cos89? ? ? ? ... ? sin 46? sin 47? sin 48? sin134? 2 2 89 2 = , 选A ? 89 ? (tan(?44? ) ? tan(?43? ) ? ... ? tan 44? ) = 2 2 2 另解:(利用诱导公式配对求和) cos ? cos(900 ? ? ) cos ? sin ? sin ? ? cos ? ? ? 2 ? ? ? ? sin(45? ? ? ) sin(135? ? ? ) sin(45? ? ? ) sin(45? ? ? ) sin(45? ? ? )

?

cos1? cos 2? cos3? cos89? ? ? ? ... ? sin 46? sin 47? sin 48? sin134?

第 1 页 共 5 页

cos1? cos89? cos 44? cos 46? cos 45? 89 ? ) ? ... ? ( ? )? ? 2 sin 46? sin134? sin89? sin 91? sin 90? 2 ??? ? 4.在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,设向量 OA ? (1, 2) , ?(
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OB ? (2, ?1) ,若 OP ? xOA ? yOB 且 1 ? x ? y ? 2 ,则点 P 所有

可能的位置所构成的区域面积是 . ???? ??? ? ??? ? ??? ? 解:作 OG ? 2OA , OE ? 2OB ??? ? ??? ? ??? ? OF ? 2OA ? 2OB M , N 为 OF , EF 中点,则 P 在 ?MNF 内, 5 面积为 2 5.设实系数一元二次方程 x2 ? ax ? 2b ? 2 ? 0 有两个相异实根,其中一根在区间 (0,1) 内,另一根 在区间 (1, 2) 内,则

b?4 的取值范围是 a ?1

解: 根据题意,设两个相异的实根为 x1 , x2 ,且 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 ,则

1 ? x1 ? x2 ? ?a ? 3 , 0 ? x1 x2 ? 2b ? 2 ? 2 。
于是有 ?3 ? a ? ?1,1 ? b ? 2 ,也即有 ?

1 1 1 ? ?? , 2 a ?1 4

? 3 ? b ? 4 ? ?2 。

故有

1 b?4 3 ?1 3? ? ? ,即取值范围为 ? , ? . 2 a ?1 2 ?2 2?

6.在边长为 1 的正三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使沿线段 DE 折叠三角形时, 顶点 A 正好落在边 BC 上.AD 的长度的最小值为 解: AD ? x, ?ADE ? ? , 设 作△ ADE 关于 DE 的对称图形, 的对称点 G 落在 BC 上。 A 在△ DGB

中,

x sin

?
3

?

1? x sin(2? ? ) 3

?

?x?

3 3 ? 2sin(2? ? ) 3
3 ? 2 3 ? 3。

?

当 sin(2? ?

?
3

) ? 1 时,即 xmin ?

2? 3

7.某学生对函数 f ( x) ? 2 x ? cos x 的性质进行研究,得出如下的结论: ①函数 f ( x) 在 ? ?? ,0? 上单调递增,在 ? 0, ? ? 上单调递减;
?? ? ②点 ? ,0 ? 是函数 y ? f ( x) 图像的一个对称中心; ?2 ? ③函数 y ? f ( x) 图像关于直线 x ? ? 对称;

④存在常数 M ? 0 ,使 f ( x) ? M x 对一切实数 x 均成立.其中正确的结论是

.

第 2 页 共 5 页

解: f ( x) ? 2 x ? cos x 为奇函数,则函数 f ( x) 在 ? ?? ,0? , ? 0, ? ? 上单调性相同,所以①错;
f (0) ? 0, f (? ) ? ?2? ,所以②错; f (0) ? 0, f (2? ) ? 4? ,所以③错;
f ( x) ? 2 x ? cos x ? 2 x ? cos x ? 2 x ,令 M ? 2 ,所以④对.

选④

8. 已知 A 与 B 是集合{1,2,3,…,100}的两个子集,满足:A 与 B 的元素个数相同,且为 A∩B 空集。若 n∈A 时总有 2n+2∈B,则集合 A∪B 的元素个数最多为 解:先证|A∪B|≤66,只须证|A|≤33,为此只须证若 A 是{1,2,…,49}的任一个 34 元子集,则必 存在 n∈A,使得 2n+2∈B。证明如下: 将{1,2,…,49}分成如下 33 个集合:{1,4},{3,8},{5,12},…,{23,48}共 12 个;{2, 6},{10,22},{14,30},{18,38}共 4 个;{25},{27},{29},…,{49}共 13 个;{26},{34}, {42},{46}共 4 个。由于 A 是{1,2,…,49}的 34 元子集,从而由抽屉原理可知上述 33 个集合 中至少有一个 2 元集合中的数均属于 A,即存在 n∈A,使得 2n+2∈B。 如取 A={1,3,5,…,23,2,10,14,18,25,27,29,…,49,26,34,42,46}, B={2n+2|n∈A},则 A、B 满足题设且|A∪B|≤66。

二、解答题(本题满分 54 分,每小题 18 分)
? ? ? ? 9 b 9.已知向量 a ? (sin x,1), b ? (sin x,cos x ? ) , 设函数 f ( x) ? a? x ? ? 0, ? ? 8 (1)求 f ( x) 的单调区间;

(2)若 f ( x) ? 0 在区间 ? 0, ? ? 上有两个不同的根 ? , ? ,求 cos(? ? ? ) 的值.
9 9 1 ? 1 ? cos2 x ? cos x ? ? ? cos2 x ? cos x ? 8 8 8 1 2 1 ? f ( x) ? ?(cos x ? ) ? 2 8 令 t ? cos x , 1 ? ?? 当 x ? ?0, ? 时, ? t ? 1 ,且 t ? cos x 为减函数 2 ? 3?

解: (1)? f ( x) ? sin 2 x ? cos x ?

1 1 ?1 ? ? ?? 又 f (t ) ? ?(t ? )2 ? 在 ? ,1? 上时减函数,? f ( x) 在 ?0, ? 上是增函数………5 分 2 8 ?2 ? ? 3?
1 ?? ? 当 x ? ? , ? ? 时, ?1 ? t ? ,且 t ? cos x 为减函数 3 ? 2 ? 1 1 ? 1? ?? ? 又 f (t ) ? ?(t ? )2 ? 在 ? ?1, ? 上时增函数,? f ( x) 在 ? , ? ? 上是减函数 2 8 ? 2? ?3 ?
? ? ? ?? ? 综上, f ( x) 的单调区间为 ?0, ? , ? , ? ? ? 3? ?3 ?

……………10 分

1 1 (2)由 f ( x) ? 0 得, ? cos2 x ? cos x ? ? 0 ,即 cos2 x ? cos x ? ? 0 8 8 1 令 t ? cos x ,则 cos? ,cos ? 是方程 t 2 ? t ? ? 0 的两个根, 8 1 从而 cos ? ? cos ? ? 1,cos ? ? ? ? ……………12 分 cos 8
sin 2 ? ? 2 ? ? (1 ? cos2 ? )(1 ? cos2 ? ) ? 1 ? (cos2 ? ? cos2 ? ) ? cos2 ? ? 2 ? sin cos

= 1 ? (cos ? ? cos ? )2 ? 2cos ? ? ? ? cos2 ? ? 2 ? ? cos cos
? sin ? sin ? ?

17 ……………15 分 64

17 1 ? 17 , cos(? ? ? ) ? cos ? ? ? ? sin ? ? ? ? ………18 分 cos sin 8 8

第 3 页 共 5 页

1 1 另解:由 f ( x) ? 0 得, ? cos2 x ? cos x ? ? 0 ,即 cos2 x ? cos x ? ? 0 8 8 2? 2 2? 2 不妨设 cos ? ? ,cos ? ? ,则 4 4
sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 10 ? 4 2 10 ? 4 2 ,sin ? ? , 4 4

1 ? 17 8 10.如图,已知点 G 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心,线段 DE 经过点 G ,并绕点 G 转动,分 cos(? ? ? ) ? cos ? ? ? ? sin ? ? ? ? cos sin

别交边 AB 、 AC 于点 D 、 E ;设 AD ? mAB , AE ? n AC ,其中 0 ? m ? 1 , 0 ? n ? 1 . (1)求表达式

????

??? ?

??? ?

????

(2)求 ?ADE 面积的最大和最小值,并指出相应的 m 、 n 的值. 解: (1)如图延长 AG 交 BC 与 F,?G 为△ABC 的中心
E 1 1 AB ? AC G D 2 2 C B 2 F ? AD ? m AB , AE ? n AC , AG ? AF 3 3 1 1 1 1 AD ? AE 即 AG ? AD ? AE ………………………………3 分 ? AG ? 2 2m 2n 3m 3n ?D、G、E 三点共线 1 1 ? ?1 ? 3m 3n 1 1 故 ? =3 ………………………………5 分 m n (2)?△ABC 是边长为 1 的正三角形,

1 1 ? 的值,并说明理由; m n

A

?F 为 BC 的中点,则有 AF ?

? AD ? m , AE ? n


?S ?ADE =

3 mn 4


1 1 m 1 ,1 ? ? =3,0<m ? 1,0<n ? 1?n= ?2 m n 3m ? 1 m
3 3 m2 mn= 4 4 3m ? 1

1 ? m ? 1 。………10 分 2

?S ?ADE =

设 t=m-

3 3 1 1 1 2 1 2 则 m=t+ ( ? t ? )?S ?ADE = mn= (t+ + ) 4 12 3 3 6 3 9t 3

易知 f ?t ? ? t ?

1 ?1 1? ?1 2 ? 在 ? , ? 为减函数,在 ? , ? 为增函数。 9t ? 6 3 ? ?3 3 ?

1 2 2 ?t= ,即 m ? n ? ,时, f ?t ? 取得最小值 , 3 3 3

第 4 页 共 5 页

即 S ?ADE 取得最小值

3 …………………15 分 9

又 f? ?? f? ??

?1? ?6?

?2? ?3?

5 5 ,? f ?t ? 取得最大值是 , 6 6 3 1 2 1 ,此时 m ? , n ? 或 m ? 1, n ? ………………… 8 2 5 2

则 S ?ADE 取得最大值

11.线段 AB 长度为 1,在 AB 上将 m 个点染成红色,使得对任意实数 0<d≤1,线段 AB 上每一个 长度为 d 的闭区间中的红点个数都不大于 1+1000d2,求 m 的最大值. 分析 要求任意一个长度为 d 的闭区间中红点个数“不能太多”,而又希望 m 的值最大,所以红 点应在 AB 上均匀分布且 A、B 两个端点是红点.通过最简单的情况可以探索 m 应当满足的条件.

………………10 分

………………14 分

………………18 分
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