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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):3.6简单的三角恒等变换


[知识能否忆起] 半角公式(不要求记忆)
1.用cos α表示sin ,cos ,tan . 2 2 2
1-cos α 1+cos α 1-cos α 2α 2α sin = ;cos = ;tan = . 2 2 2 2 2 1+cos α








α α α 2.用cos α表示sin ,cos ,tan . 2 2 2 1-cos α 1+cos α α α sin =± ;cos =± ; 2 2 2 2
α tan =± 2 1-cos α . 1+cos α

α 3.用sin α,cos α表示tan . 2
1-cos α α sin α tan = = . 2 1+cos α sin α

[小题能否全取]
1 α 1.(教材习题改编)已知 cos α= ,α∈(π,2π),则 cos 等 3 2 于 ( )

6 A. 3 3 C. 3

6 B.- 3

3 D.- 3 ? 1 α ?π 解析:∵cos α= ,α∈(π,2π),∴ ∈?2,π?, 3 2 ? ?

α ∴cos =- 2

1+cos α =- 2

1 1+ 3 6 =- . 答案:B 2 3

2.化简 2+cos 2-sin21的结果是

(

)

A.-cos 1 C. 3cos 1
解析: 3cos 1.

B.cos 1 D.- 3cos 1

2+cos 2-sin2 1= cos21+1+2cos21-1=

答案:C

3-sin 70° 3.(2012· 海口模拟) = 2-cos2 10°

(

)

1 A. 2 C.2

2 B. 2 3 D. 2

3-sin 70° 3-cos 20° 3-?2cos210° -1? 解析: = = =2. 2 2 2 2-cos 10° 2-cos 10° 2-cos 10°

答案:C

1 4.已知 cos 2α= ,则 sin2 α=________. 4

1-cos 2α 3 解析:sin α= = . 2 8
2

3 答案: 8

1+tan α 1 5.若 =2 013,则 +tan 2α=________. cos 2α 1-tan α
1+sin 2α ?cos α+sin α?2 1 解析: +tan 2α= = cos 2α cos 2α cos2α-sin2α cos α+sin α 1+tan α = = =2 013. cos α-sin α 1-tan α

答案:2 013

三角恒等变换的常见形式 三角恒等变换中常见的三种形式:一是化简;二是求值; 三是三角恒等式的证明. (1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、

同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解.
(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值,对 条件求值问题要充分利用条件进行转化求解.

(3)三角恒等式的证明,要看左右两侧函数名、角之间的关
系,不同名则化同名,不同角则化同角,利用公式求解变形即 可.

三角函数式的化简

[例 1]

化简下列各式:
? θ θ? θ??sin2-cos2? ? ?

?1+sin θ+cos (1)

2+2cos θ

(0<θ<π);

(2) 2+2cos 8+2 1-sin 8.

[自主解答]

(1)原式=

? ?? θ θ θ θ? 2θ ?2sin cos +2cos ??sin -cos ? 2 2 2 ?? 2 2? ?

4cos
? θ? 2θ 2θ cos ?sin 2-cos 2? 2? ? = ? θ? ?cos ? 2? ? θ -cos · θ cos 2 = ? . θ? ?cos ? 2? ? θ π ∵0<θ<π,∴0< < . 2 2 θ ∴cos >0,∴原式=-cos θ. 2



2

(2)原式= 4cos24+2 1-2sin 4cos 4 =2|cos 4|+2 ?sin 4-cos 4?2 =2|cos 4|+2|sin 4-cos 4| 5π 3π ∵ <4< .∴cos 4<0,sin 4<cos 4<0. 4 2 ∴sin 4-cos 4<0. 从而原式=-2cos 4-2sin 4+2cos 4=-2sin 4.

三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间 的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用 公式; (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从

而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;
(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我 们找到变形的方向,如“遇到分式要通分”等.

α? ? ? 1 α? ? α-tan 2 ? ? 1.化简? 1+tan α· tan ?. ?· 2? tan ? ? 2 ? 1 2 2 -2sin xcos x+ 2 解:原式= ?π ? ? ? 2?π 2sin?4 -x?cos 4-x? ? ? ? ? ?π ? cos?4 -x? ? ? 1 1 2 ?1-sin22x? cos 2x 2 2 = ?π ? ?π ?= ?π ? 2sin?4-x?cos?4-x? sin?2 -2x? ? ? ? ? ? ? 1 = cos 2x. 2

三角函数式的求值

sin 47° -sin 17° 30° cos [例 2] (1)(2012· 重庆高考) =( cos 17° 3 1 A.- B.- 2 2

)

1 C. 2

D.

3 . 2

3 4 ? ? ?α+β?=- ,则 2α (2)已知 α、β 为锐角,sin α= ,cos? ? 5 5 +β=________.

[自主解答]

sin?30° +17° ?-sin17° 30° cos (1)原式= cos 17°

sin 30° 17° cos +cos 30° 17° sin -sin 17° 30° cos = cos 17° sin 30° 17° cos 1 = =sin 30° . = cos 17° 2 ? 3 π? (2)∵sin α= ,α∈?0, ?, 5 2? ?

4 ∴cos α= , 5 4 ∵cos(α+β)=- ,α+β∈(0,π), 5

3 ∴sin(α+β)= , 5 ∴sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sin 3 ? 4? 4 3 αsin(α+β)= ×?- ?+ × =0. 5 ? 5? 5 5
? 3π? 又2α+β∈?0, ?. 2? ?

αcos(α+β)+cos

∴2α+β=π.

[答案] (1)C

(2)π

三角函数求值有三类

(1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从
表面上来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总 有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公

式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.
(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求 另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其

角相同或具有某种关系.
(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角 的某一函数值,再求角的范围,确定角.

1 13 2.(2012· 银川一中模拟)已知 cos α= ,cos(α-β)= , 7 14 π 且 0<β<α< , 2
(1)求 tan 2α 的值; (2)求 β.

1 π 解:(1)由 cos α= ,0<α< ,得 7 2 sin α= 1-cos α=
2

?1? 4 3 2 1-?7? = , 7 ? ?

sin α 4 3 7 ∴tan α= = × =4 3. cos α 7 1 2×4 3 2tan α 8 3 于是 tan 2α= . 2 = 2=- 47 1-tan α 1-?4 3?

π π (2)由 0<β<α< ,得 0<α-β< . 2 2 13 又∵cos(α-β)= ,∴sin(α-β)= 1-cos2?α-β? 14 =
?13?2 3 3 1-?14? = . 14 ? ?

由 β=α-(α-β),得 cos β=cos [α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 = × + × = . 7 14 7 14 2 π 所以 β= . 3

三角恒等变换的综合应用

[例 3]

(2011· 四川高考)已知函数

? 7π? f(x)=sin?x+ 4 ?+ ? ?

? 3π? cos?x- 4 ?,x∈R. ? ?

(1)求f(x)的最小正周期和最小值; 4 4 π (2)已知 cos(β-α)= ,cos(β+α)=- ,0<α<β≤ , 5 5 2
求证:[f(β)]2-2=0.

[自主解答]

? ? ? 7π π π? (1)∵f(x)=sin?x+ 4 -2π?+cos?x-4-2 ? ? ? ? ?

? ? ? π? π? π? =sin?x-4 ?+sin?x-4?=2sin?x-4 ?, ? ? ? ? ? ?

∴T=2π,f(x)的最小值为-2.

4 (2)证明:由已知得cos βcos α+sin βsin α= , 5 4 cos βcos α-sin βsin α=- . 5 两式相加得2cos βcos α=0. π π π ∵0<α<β≤ ,∴β= .∴[f(β)]2-2=4sin2 -2=0. 2 2 4

在本例条件不变情况下,求函数f(x)的零点的集合. ? π? 解:由(1)知f(x)=2sin?x-4 ?, ? ?
? π? π ?x- ?=0,∴x- =kπ(k∈Z), ∴sin 4? 4 ?

π ∴x=kπ+ (k∈Z). 4
? ? ? π 故函数f(x)的零点的集合为?x?x=kπ+4 ? ? ? ? ? ,k∈Z? ? ?

三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函 数的性质相结合,通过变换把函数化为y=Asin(ωx+ φ)的形式再研究性质,解题时注意观察角、名、结构

等特征,注意利用整体思想解决相关问题.

3.已知函数 f(x)=

? π? 2cos?2x+4 ?+2sin2 ? ?

x.

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)设
? π? ?α π? 1 ?β π? 3 α,β∈?0,2 ?,f?2+ 4?= ,f?2-6 ?= ,求 ? ? ? ? 2 ? ? 2 ?α+β? ? ? f? ? ? 2 ?

的值.

解:(1)f(x)=

? π? 2cos?2x+4?+2sin2 ? ?

x=cos 2x-sin 2x+(1-

cos 2x)=1-sin 2x. 2π ∴函数f(x)的最小正周期为T= =π. 2 (2)∵f(x)=1-sin 2x,
?α π? ? ?α π?? ? π? ∴f?2+4 ?=1-sin?2?2+4??=1-sin?α+2 ?=1-cos ? ? ? ? ?? ? ? ?β π ? ? ?β π?? ? π? f?2-6 ?=1-sin?2?2-6 ??=1-sin?β-3 ?. ? ? ? ? ?? ? ?

α,

?α π? 1 ∵f?2 +4 ?= ,∴1-cos ? ? 2

? π? 1 1 α= ,∴cos α= ,∵α∈?0,2 ?,∴α 2 2 ? ?

π = . 3
?β π? 3 ? π? 3 ∵f?2- 6?= ,∴1-sin?β-3 ?= , ? ? 2 ? ? 2 ? π? 1 ?β- ?=- , ∴sin 3? 2 ? ? π? π π π π π ?0, ?,∴- ≤β- ≤ ,∴β- =- , ∵β∈ 2? 3 3 6 3 6 ?

π ∴β= , 6
?α+β? ?π π? ?=1-sin(α+β)=1-sin? + ?=1-sin ∴f? ?3 6 ? ? 2 ?

π =0. 2

解决这一类问题的基本途径,同求解其他函数最 值一样,一方面应充分利用三角函数自身的特殊性?如 有界性等?,另一方面还要注意将求解三角函数最值问

题转化为求一些我们所熟知的函数?二次函数等?最值问
题.下面介绍几种常见的三角函数最值的求解策略.

1.配方转化策略 对能够化为形如y=asin2x+bsin x+c或y=

acos2x+bcos x+c的三角函数最值问题,可看作是
sin x或cos x的二次函数最值问题,常常利用配方转 化策略来解决.

[典例1] 求函数y=5sin x+cos 2x的最值.
[解]
? =-2?sin ?
? 2 ? y=5sinx+??1-2sin x??=-2sin2x+5sin x+1

5?2 33 x- ? + . 4? 8

π ∵-1≤sin x≤1,∴当 sin x=-1,即 x=2kπ- , 2 k∈Z 时, 81 33 ymin=-2× + =-6;当 sin x=1,即 x=2kπ 16 8 π 1 33 + ,k∈Z 时,ymax=-2× + =4. 2 16 8

[题后悟道]

这类问题在求解中,要注意三个方

面的问题:其一要将三角函数准确变形为sin x或cos
x的二次函数的形式;其二要正确配方;其三要把握 三角函数sin x或cos x的范围,以防止出错,若没有 特别限制其范围是[-1,1]. 2.有界转化策略

对于所给的三角函数能够通过变形化为形如y=
Asin(ωx+φ)等形式的,常常可以利用三角函数的有 界性来求解其最值.这是解决三角函数最值问题常用 的策略之一.

[ 典 例 2]
? π? 4cos?ωx-6 ?sin ? ?

(2012· 庆 高 考 改 编 ) 设 函 数 f(x) = 重 ωx-cos(2ωx+π),其中 ω>0.

求函数 y=f(x)的最值.

[解]

? f(x)=4? ? ?

? 3 1 ? cos ωx+ sin ωx?sin ωx+cos 2ωx 2 2 ?

=2 3sin ωxcos ωx+2sin2ωx+cos2ωx-sin2ωx = 3sin 2ωx+1, 因为-1≤sin 2ωx≤1, 所以函数 y=f(x)的最大值为 3+1,最小值为 1- 3.

[题后悟道]

求解这类问题的关键是先将所给的三

角函数化为一个角的三角函数问题,然后利用三角函数
的有界性求其最值. 3.单调性转化策略 借助函数单调性是求解函数最值问题常用的一种转 化策略.对于三角函数来说,常常是先化为y= Asin(ωx+φ)+k的形式,再利用三角函数的单调性求 解.

17π? 2 ? π? 3 ? [典例 3] 函数 f(x)= sin?x+4 ?- 在?π, 12 ?上的 2 ? ? 2 ? ? 最大值为________,最小值为________. 17π 5π π 5π [解析] 由 π≤x≤ ,得 ≤x+ ≤ . 12 4 4 3 5π? 2 ? π? 3 ? 因为 f(x)= sin?x+4 ?- 在?π, 4 ?上是减函数, 在 2 ? ? 2 ? ? ?5π 17π? ?17π? 5π ? , ? ? ? 所以当 x= 时, 且 4 12 ?上是增函数, f(π)>f ? 12 ?, 4 ? 2 ?5π π? 3 2 3 f(x)有最小值为 sin? 4 + 4?- =- - . 2 2 2 ? ? 2 当 x=π 时,f(x)有最大值-2. 2 3 [答案] -2 - - 2 2

[题后悟道]

这类三角函数求最值的问题,主要的求

解策略是先将三角函数化为一个角的三角函数形式,然

后再借助于函数的单调性,确定所求三角函数的最值.
4.数形结合转化策略
b-sin x 对于形如y= 的三角函数最值问题来说,常 a-cos x b-sin x 常利用其几何意义,将y= 视为定点(a,b)与单 a-cos x 位圆上的点(cos x,sin x)连线的斜率来解决.

-sin x [典例 4] 求函数 y= (0<x<π)的最小值. 2-cos x
[解] 0-sin x 将表达式改写成 y= ,y 2-cos x

可看成连接点 A(2,0)与点 P(cos x,sin x)的直线的斜率.由于点(cos x,sin x) 的轨迹是单位圆的上半圆(如图), 所以求 y 的最小值就 是在这个半圆上求一点,使得相应的直线斜率最小.

设过点 A 的直线与半圆相切于点 B,则 kAB≤y<0. 5π 3 可求得 kAB=tan =- . 6 3 π? 3? 所以 y 的最小值为- ?此时x=3 ?. 3? ?

[题后悟道]

这类三角函数的最值问题,求解策略

就是先将函数化为直线斜率的形式,再找出定点与动

点满足条件的图形,最后由图形的几何意义求出三角
函数的最值.

教师备选题(给有能力的学生加餐)
? 1 ? 1+cos 20° ? ? -tan 5°. 1.求值 -sin 10°tan 5° 2sin 20° ? ?
?cos 5° sin 5° ? 2cos210° ? ? - 解:原式= -sin 10°sin 5° cos 5° 2×2sin 10° 10° cos ? ?

cos25° -sin25° cos 10° = -sin 10° · 2sin 10° sin 5° 5° cos cos 10° cos 10° = -sin 10° · 2sin 10° 1 sin 10° 2

解题训练要高效 见“课时跟踪检 测(二十三)”

cos 10° -2sin 20° cos 10° = -2cos 10° = 2sin 10° 2sin 10° cos 10° -2sin?30° -10° ? = 2sin 10° cos =
?1 10° ? cos -2? ?2 ? 3 ? 10° - sin 10° ? 2 ? 2sin 10°

3sin 10° 3 = = . 2sin 10° 2

1 1 2.求证:tan α+ ? = . π α? cos α tan?4+2 ? ? ?
?π α? cos?4+2 ? sin α ? ? 证明:左边= + ? cos α π α? sin?4+2 ? ? ?

?π α? ?π α? ? + ?+cos αcos? + ? sin αsin 4 2 ? ? ?4 2? = ?π α? cos αsin?4+2 ? ? ? ?π α ? cos?4+2-α? ? ? = ?π α? cos αsin?4+2 ? ? ? ?π α? cos?4-2 ? ? ? = ?π α? cos αsin?4+2 ? ? ? ?π α? sin?4+2 ? 1 ? ? = = =右边. ?π α? cos α cos αsin?4+2 ? ? ?

故原式得证.

3. 已知 A、 C 三点的坐标分别为 A(3,0)、 B、 B(0,3)、 C(cos α, sin
??? ??? ? ? ?π 3π? 2sin2α+sin 2α BC α),α∈?2, 2 ?.若 AC · =-1,求 的 1+tan α ? ?

值.

??? ? ??? ? 解: AC =(cos α-3,sin α), BC =(cos α,sin α-3), ??? ??? ? ? BC 由 AC · =-1,得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1,

2 5 ∴sin α+cos α= ,2sin α· α=- . cos 3 9 2sin2α+sin 2α 2sin2α+2sin αcos α 5 又 = =2sin αcos α=- , sin α 9 1+tan α 1+ cos α 5 故所求的值为- . 9

4.已知

? 1 ?1+ f(x)= tan ?

? ? π? ? π? 2 ?sin x-2sin?x+ ?· ?x- ?. x? 4 ? sin? 4? ?

(1)若tan α=2,求f(α)的值; ?π π? (2)若x∈? , ?,求f(x)的取值范围. ?12 2? ? ? π? π? 2 解:(1)f(x)=(sin x+sin xcos x)+2sin?x+4 ?· ?x+4 ? cos
? ? ? ? ? 1-cos 2x 1 π? = + sin 2x+sin?2x+2 ? 2 2 ? ? 1 1 = + (sin 2x-cos 2x)+cos 2x 2 2 1 1 = (sin 2x+cos 2x)+ . 2 2

由 tan α=2,

2sin αcos α 2tan α 4 得 sin 2α= 2 = = . sin α+cos2α tan2α+1 5 cos2α-sin 2α 1-tan2α 3 cos 2α= 2 = =- . 5 sin α+cos2α 1+tan2α 1 1 3 所以 f(α)= (sin 2α+cos 2α)+ = . 2 2 5 1 1 (2)由(1)得 f(x)= (sin 2x+cos 2x)+ 2 2
π? 1 2 ? = sin?2x+4 ?+ . 2 ? ? 2 ?π π? 5π π 5 由 x∈?12,2 ?,得 ≤2x+ ≤ π. 12 4 4 ? ?
? 2+1 π? 2 ?2x+ ?≤1,则 0≤f(x)≤ 故- ≤sin , 4? 2 2 ?

所以

? f(x)的取值范围是?0, ?

2+1? ?. 2 ?


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