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备课资料(2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示)


备课资料 一、三角形三条中线共点的证明

图 10 如图 10 所示,已知在△ ABC 中,D、E、L 分别是 BC、CA、AB 的中点,设中线 AD、BE 相交 于点 P. 求证:AD、BE、CL 三线共点. 分析:欲证三条中线共点,只需证明 C、P、L 三点共线. 解:设 AC =a, AB =b,则 AL =
1 2

b,

CL ? AL ? AC =-a+

1 2

b.

设 AP =m AD ,则 AC + CP =m( AC + CD ),
CP =(-1+m) AC +m CD =(-1+m)a+m[

1 2

(b-a)]=(-1+

1 2

m)a+

1 2

mb.



又设 EP =n EB ,则 CP - CE =n( EC + CB ), ∴ CP =(1-n) CE +n CB = ?
1 2

(1-n)a+n(b-a)=( ?

1 2

-

1 2

n)a+nb.



2 1 1 1 ? ? ?m ? 5 , ?? 1 ? 2 m ? ? 2 ? 2 m. ? ? 由①②得 ? 解之,得 ? ? 1 m ? n. ?n ? 1 ?2 ? 3. ? ?

∴ CP =-

2 3

a+

1 3

b=

2 3

(-a+

1 2

b)=

2 3

CL .

∴C、P、L 三点共线.∴AD、BE、CL 三线共点. 二、备用习题

图 11 1.如图 11 所示,已知 AP = A.
1 3
OA +

4 3

AB , AQ =

1 3

AB ,用 OA 、 OB 表示

OP ,则 OP 等于( OA +

)

4 3 4 3

OB OB

B. ? D.

1 3 1 3

4 3

OB OB

C. ?

1 3

OA -

OA -

4 3

2.已知 e1,e2 是两非零向量,且|e1|=m,|e2|=n,若 c=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R),则|c|的最大值为( ) A.λ1m+λ2n B.λ1n+λ2m C.|λ1|m+|λ2|n D.|λ1|n+|λ2|m

3.已知 G1、 2 分别为△ A1B1C1 与△ A2B2C2 的重心,且 A1 A1 =e1, B 1 B 2 =e2, C 1 C 2 =e3,则 C 1 C 2 G 等于( A.
1 2

) B.
1 3

(e1+e2+e3)

(e1+e2+e3)

C.

2 3

(e1+e2+e3)

D. ?

1 3

(e1+e2+e3)

4.O 是 平 面 上 一 定 点 ,A 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足
OP = OA +λ (
AB | AB | ? AC | AC | ) ,λ∈[0,+∞),则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的(

) D.垂心

A.外心

B.内心

C.重心

5.(2005 山东高考) 已知向量 a、 且 AB =a+2b, BC =-5a+6b, CD =7a-2b,则一定共线的三点 b 是( ) A.A、B、D

B.A、B、C

C.C、B、D

D.A、C、D

图 12 6.2007 浙江高考,15 如图 12,平面内有三个向量 OA 、 OB 、 OC ,其中与 OA 与 OB 的夹角 为 120° OA 与 OC 的 夹 角 为 30°且 | OA |=| OB |=1,| OC |=2 , , (λ,μ∈R),则 λ+μ 的值为________. 参考答案: 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.6
3 , 若 OC =λ OA +μ OB


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