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空间向量解决立体几何的向量方法(四)在立体几何证明中的应用


空间向量应用4 在立体几何证明中的应用

立体几何中的有关证明问题,大致可分为 “平行”“垂直”两大类:

平行:线面平行、面面平行

垂直:线线垂直、线面垂直和面面垂直

平行与垂直的问题的证明,除了要熟悉相 关的定理之外,下面几个性质必须掌握。 1、已知b⊥α,a不在α内,如果a⊥b,则 a

∥ α。
2、如果a⊥α, a⊥β,则α∥β。 3、如果a∥b, a⊥α,则b⊥α。 4、如果a⊥α, b⊥β, a⊥b,则α⊥β。

一、 用空间向量处理“平行”问 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? 题
的法向量分别为 u, v ,则
线线平行 l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ;

线面平行

l ∥? ? a ? u ? a ? u ? 0 ;

面面平行

? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv .

注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行 包括线在面内,面面平行包括面面重合.

一、 用空间向量处理“平行”问 题



→ ? n

? m

? m



? ? n?m ? 0


? ? n ?? m

? n

C 例1.如图:ABCD与 ABEF是正方形, CB⊥平面ABEF,H、 M G分别是AC、BF上 B 的点,且AH=GF. N 求证: E HG∥平面CBE.

D

H

A G F

证明:由已知得:AB、 C BC、BE两两垂直,故可 建立如图所示的空间直 角坐标系o-xyz. 设正方形边长为1, oB AH=FG=a, 则 2 2 H(0,1- 2 a , 2 a)、 E
x

2 2 ? (1 ? a,0,? a) ,而平面CBE的法向 故 HG ? ? H? 2 2

G(1-

2 2

a , 1-

2 2

a,0),

量为n ? (0,1,0), 故 HG ? n,而 故 HG∥平面CBE

z

D

H y

A G

F

平面CBE

例2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, A1 P、Q分别是A1B1和 BC上的动点,且 A1P=BQ,M是AB1 的中点,N是PQ的 中点. 求证: A MN∥平面AC.
M是中点,N是中点

D1

C1
B1

P

M D

N Q R B C

MN∥RQ

MN∥平面AC

z 证明:建立如图 D1 所示的空间直角 C1 坐标系o-xyz A1 B1 设正方形边长为2, P 又A1P=BQ=2x N 则P(2,2x,2)、 M o Q(2-2x,2,0) C D Q 故N(2-x, 1+x, 1),而A B M(2, 1, 1) x 所以向量 MN ? (-x, x, 0),又平面 AC 的法 ? ? ? 向量为 n ? (0, 0, 1),∴ MN ? n ? 0 ∴MN ? n 又M不在平面AC 内,所以MN∥平面AC

y

例3.在正方体ABCDA1B1C1D1中,求证: A 1 平面A1BD∥平面CB1D1

D1
B1

C1

D A B

C

证明:建立如图所示的 空间直角坐标系o-xyz A1 设正方形边长为1, 则向量 DA1 ? (1,0,1)

z

D1 B1

C1

A 设平面 BDA 的法向量 1 ? B x 为 n ? ( x, y, z ) 则有 x=1 x+z=0 令x=1,则得方程组的解为 y=-1 x+y=0 z=-1 ? 故平面BDA1的法向量为 n ? (1,?1,?1)

DB ? (1,1,0)

oD

C

y

则显然有 n ? ?m 即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行 所以 平面BDA1∥CB1D1 ※例1、2与例3在利用法向量时有何不同?

? 同理可得平面 ? CB1D ? 1的法向量为m ? (?1,1,1)

通过本例的练习,同学们要进一步 掌握平面法向量的求法:即用平面内 的两个相交向量与假设的法向量求数 量积等于0,利用解方程组的方法求出 平面法向量(在解的过程中可令其中一 个未知数为某个数)。

例4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F、 G、H分别是A1B1、 B1C1、C1D1、D1A1的 中点. 求证: 平面AEH∥平面BDGF

D1 H

G F B1

C1

A1

E

D A B

C

略证:建立如图所示的 空间直角坐标系o-xyz A1 则求得平面 ? AEF的法向 量为 n ? (2,2,1) 求得平面 ? BDGH的法向 A 量为 m ? (2,2,1) x 显然有

z F

D1 E

G

H C1 B1

oD B

C

y

? ? m?n

故 平面AEH∥平面BDGF

二、 用空间向量处理“垂直”问 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? 题
的法向量分别为 u, v ,则

线线垂直
线面垂直
面面垂直

l ⊥m ? a ⊥b ? a?b ? 0; l ⊥ ? ? a ∥ u ? a ? ku ;

? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ? v ? 0.
画出图形意会

二、 用空间向量处理“垂直”问 题
? m ? m


? ? n ?? m

? n

? n

? ? n?m ? 0

例5 : 在正方体ABCD ? A ' B ' C ' D '中.E,F分别是CC ', BD的中点. 求证:A ' F ? 平面BDE. 证明:如图取 DA, DC , DD '分别为x轴,y轴,z轴
建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2. A(2,0,0),B(2,2,0),A '(2,0,2) E(0,2,1),F(1,1,0)
A ' F ? (?1,1, ?2), DB ? (2, 2,0), DE ? (0, 2,1) A ' F ? DB ? (?1,1, ?2) ? (2, 2,0) ? 0 A ' F ? DE ? (?1,1, ?2) ? (0, 2,1) ? 0
X Z

E

Y

F

? A ' F ? DB, A ' F ? DE, 又DB DE ? D.? A ' F ? 平面BDE

已 知 PA 垂 直 于 正 方 形 ABCD 所 在 的 平 N 分 别 是 AB 、PC 的 中 点 , 并 且 面, M、 PA ? AD ,求证: MN ? 平面 PDC
分析:坐标系容易建立, 应考虑用坐标法,解题思路 水到渠成.
P
D N

C

A

M

B

. 已 知 PA 垂 直 于 正 方 形 ABCD 所 在 的 平 N 分 别 是 AB 、PC 的 中 点 , 并 且 面, M、 PA ? AD ,求证: MN ? 平面 PDC
? 可设 DA ? i , AB ? j , AP ? k , PA ? 1 P N 分别以 i, j , k 为坐标向量建立空间直角坐标系A ? xyz D

证明:

PA ? AD ? AB, 且PA ? 平面AC , AD ? AB
z

C
y

? MN ? ( ?

A(0,0,0), B(0,1,0), C ( ?1,1,0), D( ?1,0,0), P (0, 0,1) M (0, 1 , 0), N ( ? 1 , 1 , 1 ) A 2 2 2 2 x 1 1
DC ? (0,1,0)
, 0, ) PD ? (?1,0, ?1) 2 2

M

B

1 1 ? MN ? PD ? ( ? , 0, ) ? ( ?1, 0, ?1) ? 0 ? MN ? PD 2 2 1 1 ? MN ? DC ? ( ? , 0, ) ? (0,1, 0) ? 0 ? MN ? DC 2 2
又 PD DC ? D ? MN ? 平面PDC

练习1
已知ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD, PD=DC=a,AD= 2a ,M、N分别是 AD、PB的中点。 P
⑴求证:平面MNC⊥平面PBC; ⑵求点A到平面MNC的距离。
D M? A B N C

?

小结:
利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题,是 近年来很“热”的话题,其原因是它把有关的“证明” 转化为“程序化的计算” 。本课时讲的内容是立体几 何中的证明“线面平行、垂直”的一些例子,结合我们 以前讲述立体几何的其他问题(如:求角、求距离等), 大家从中可以进一步看出基中一些解题的“套路”。 利用向量解题 的关键是建立适当的空间直角坐标系 及写出有关点的坐标。 用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展 趋势,而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主 要工具,故学会用向量法解立体几何问题是学好立体 几何的基础。


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