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高一数学2014-2015学年高中数学必修一必修四测试题含答案


高中数学必修一必修四综合检测题(一)
一、选择题

10. 已知函数 f ( x) ? ? 数 a 的取值范围是 (

?(3a ? 1) x ? 4a, ( x ? 1) 满足:对任意实数 x1 , x 2 ,当 x1 ? x2 时,总有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,那么实 log x , ( x ? 1)

? a
) B. (0, )

r r r r r r 1.若向量 a ? (1,1) , b ? (2,5) , c ? (3, x) 满足条件 (8a ? b)? c ? 30 ,则 x =(
A.6 B.5 C.4 D.3 )



A. [ , ) 二、填空题

1 1 7 3

1 3

C. ( , )

1 1 7 3

D. [ ,1)

1 7

1 5? ? ? ) 等于( 2.如果 cos( ? ? ? ) ? ? ,那么 sin( 3 2
A.

11.已知 I ? {1, 2,3, 4,5,6}, A ? {1,3, 4} ,则 CI A = D.

.

2 2 3
?

B. ?
?

2 2 3
? ?

C. ?
?

1 [ 3
?

1 3


12.方程 2 sin( x ? 13.设 f ( x) ? ?

?
3

) ? a ? 1 ? 0 在 ?0, ? ? 上有两个不等的实根,则实数 a 的取值范围是

? 3.已知向量 a ? (1,1), b ? (?1, 0), ? a ? ? b 与 a ? 2 b 共线,则 = ( ?
A.

? x 2 ? 1( x ? 0) ,则 f ? f (100)? ? ? 2 lg x ( x ? 0 ) ?

1 2
B.

B. ?

1 2

C. 2

D. ?2 )

14.若 AB ? 8, AC ? 5 ,则 BC 的取值范围是 15.关于 x 的方程 x2 ? 2(m ? 1) x ? m ? 4 ? 0 有实根,且一个大于 2,一个小于 2,则 m 取值范围为_ __ __. 三、解答题

4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,那么其圆心角的弧度数为( A.

? 3

2? 3

C. 3
2

D.2 )

5.若 3sin ? ? cos ? ? 0 ,则 A.

10 3

B.

5 3

1 的值为( cos ? ? sin 2? 2 C. D. ? 2 3

16. 已知集合 A ? ?x | 2 ? x ? 4?, B ? ?x | 3x ? 7 ? 8 ? 2 x?, C ? ?x | x ? a? 。 (1)求 A ? B ; (2)求 A ? (C R B) ; (3)若 A ? C ,求 a 的取值范围 )

6.函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在一个周期内的图象如下,此函数的解析式为( A. y ? 2 sin( 2 x ? C. y ? 2 sin(

x ? ? ? ) D. y ? 2 sin( 2 x ? ) 2 3 3
x ? ?2 ? 1 2 ? ?? x ? 2 x

2? ? ) B. y ? 2 sin( 2 x ? ) 3 3

7.已知函数 f ( x) ? ?

x?0 x?0

,若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有 3 个零点,则实数 m 的取值范围(

). 17.已知向量 a 与 b 的夹角为 30° ,且| a |= 3 ,| b |=1,

A.(0,

1 ) 2

B. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

C. ? 0,1?

D. (0,1)

(1)求| a -2 b |的值 ) (2)设向量 p = a +2 b , q = a -2 b ,求向量 p 在 q 方向上的投影

8. A 为三角形 ABC 的一个内角,若 sin A ? cos A ? A.锐角三角形 B.钝角三角形

12 ,则这个三角形的形状为( 25
C.等腰直角三角形

D.等腰三角形 )

9.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x ? 3) ? f ( x) ? ?1 , f (?1) ? 2 ,则 f (2008) ? ( A.0 B. 0.5 C.2 D. ? 1

1? 18.已知向量 a=? b. ?cos x,-2?,b=( 3sin x,cos 2x),x∈ R ,设函数 f ( x) =a· (1)求 f ( x) 的最小正周期; π? (2)求 f ( x) 在? ?0,2?上的最大值和最小值.

? ? 0, ? ? 21.已知函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0,
坐标为 (

?
2

的图象过点 P (

?
12

, 0) ,且图象上与 P 点最近的一个最高点

?
3

, 5) .

(1)求函数的解析式; (2)指出函数的增区间; (3) 若将此函数的图象向左平行移动 在 x ? ??

? 个单位长度后, 再向下平行移动 2 个单位长度得到 g ( x) 的图象, 求 g ( x) 6

? ? ?? 上的值域. , ? 6 3? ?

19.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意 a、b ? R ,当 a ? b ? 0 时,都有 (1)若 a ? b ,试比较 f ( a ) 与 f (b) 的大小关系;

f (a) ? f (b) ?0. a?b

(2)若 f (9 x ? 2 ? 3 x ) ? f (2 ? 9 x ? k ) ? 0 对任意 x ? [0,??) 恒成立,求实数 k 的取值范围.

(选做)22.已知函数 f ( x) ? 20. 在每年的“春运”期间,某火车站经统计每天的候车人数 y (万人)与时间 t (小时) ,近似满足函数关系式

x 2 ? ax ? a , 且a ? 1 x (1) 当x ? [1,??)时, 判断 f ( x) 的单调性并证 明;
(2)设函数 g ( x) ? x ? f ( x)? | x 2 ? 1 | ?(k ? a) x ? a, k为常数. .若关于 x 的方程 g(x)=0 在(0,2)上有两个解 x1,

y ? 6sin(?t ? ?) ?10, ? ? 0, ? ? ? , t ??0,24? ,并且一天中候车人数最少是夜晚 2 点钟,最多是在下午 14
点钟。 (1)求函数关系式? (2)当候车人数达到 13 万人以上时,车站将进入紧急状态,需要增加工作人员应对。问在一天中的什么时间段 内,车站将进入紧急状态?

x2,求 k 的取值范围, 并比较

1 1 与 4 的大小. ? x1 x 2

高中数学必修一必修四检测题(一)参考答案 CDBCA ADBBA 11. ?2,5,6? 12. (?1,1 ? 3) 13.17 14. ?3,13? 15. m ? ?

4 5

1 ∴ f(x)的最小值为- . 2 π? 1 因此,f(x)在? ?0,2?上的最大值是 1,最小值是-2. 19.解: (1)因为 a ? b ,所以 a ? b ? 0 ,由题意得:

16.解: (1)? B ? ?x | 3x ? 7 ? 8 ? 2 x? ? ?x | x ? 3?

? A ? B ? ?x | 2 ? x ? 4? ? ?x | x ? 3? = ?x | 3 ? x ? 4?
(2)

?R B ? ?x | x ? 3?

f ( a ) ? f ( ?b ) ? 0 ,所以 f (a) ? f (?b) ? 0 ,又 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, a?b

?A

(?R B) ? ?x | 2 ? x ? 4? ? ?x | x ? 3? = ?x | x ? 4?

? f (?b) ? ? f (b) ? f (a) ? f (b) ? 0 ,即 f (a) ? f (b)
(2)由(1)知 f ( x) 为 R 上的单调递增函数,

(3)? 集合 A ? ?x | 2 ? x ? 4?, C ? ?x | x ? a? ,且 A ? C 17.解(1)∵| a -2 b |= (a ? 2b) =
2

?a ? 4

? f (9 x ? 2 ? 3x ) ? f (2 ? 9 x ? k ) ? 0 对任意 x ? [0,??) 恒成立, ? f (9 x ? 2 ? 3 x ) ? ? f (2 ? 9 x ? k ) ,即 f (9 x ? 2 ? 3 x ) ? f (k ? 2 ? 9 x ) ,

3 a ? 4b ? 4a ? b = 3 ? 4 ? 4 ? 3 ? =1 2
2 2

(2) (法一) :由(1)可知 q ? a ? 2b ? 1 ; p ?

(a ? 2b) ? 13 ; p ? q ? a ? 4b = ? 1
2

2

2

? 9 x ? 2 ? 3 x ? k ? 2 ? 9 x ,? k ? 3 ? 9 x ? 2 ? 3 x 对任意 x ? [0,??) 恒成立,
即 k 小于函数 u ? 3 ? 9 ? 2 ? 3 , x ? [0,??) 的最小值.
x x
x 令 t ? 3 ,则 t ? [1,??) ? u ? 3 ? 9 ? 2 ? 3 ? 3t ? 2t ? 3(t ? ) ?
x x 2 2

13 ∴ cos ? p, q ? = =? ;从而在方向上的投影为 p cos ? p, q ? = ? 1 13 p?q
(法二) :∵由(1)可知 q ? a ? 2b ? 1 ; p cos ? p, q ? = p ? 1? 18.解:f(x)=? ( 3sin x,cos 2x) ?cos x,-2?· 1 3 1 = 3cos xsin x- cos 2x= sin 2x- cos 2x 2 2 2 π? π π =cos sin 2x-sin cos 2x=sin? ?2x-6?. 6 6 (1)f(x)的最小正周期为 T= 即函数 f(x)的最小正周期为 π. π π π 5π (2)∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ . 2 6 6 6 π π π 由正弦函数的性质,知当 2x- = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 1; 6 2 3 π π 1 当 2x- =- ,即 x=0 时,f(0)=- , 6 6 2 π? 1 π 5π π 当 2x- = ,即 x= 时,f? ?2?=2, 6 6 2 2π 2π = =π, ω 2

p?q

p?q p?q

1 3

1 ? 1, 3

= p?q = ?1

? k ? 1.
20.解: (1)由题意知 解得: ? ?

? 12 ? 即: y ? 6sin( t ? ? ) ? 10, t ? ? 0, 24? 12 ? 又∵当 t ? 2 时, sin( ? ? ) ? ?1, ? ? ? 6 2? ∴? ? ? 3 ? 2? ) ? 10, t ? ? 0, 24? ∴ y ? 6sin( t ? 12 3 ? 2? ) ? 10 ? 13 (2)问题等价于, y ? 6sin( t ? 12 3 ? 2? 1 )? 即 sin( t ? 12 3 2 ? ? 2? 5? t? ? ? 10 ? t ? 18 ∴ ? 6 12 3 6

T 2? ? 12 ? T ? 24 ? T ? ? 24 2 ?

答:一天中 10——18 点,车站将进入紧急状态。 21. (1)由已知可得 A ? 5,

由 g ( x2 ) ? 0 得 k ? 故当 ?

T ? ? ? ? ? ? ?T ? ? ? ? 2 4 3 12 4

7 1 ? 2 x2 ,所以 ? ? k ? ?1 ; 2 x2

? y ? 5sin(2 x ? ? )
由 5sin(2 ?

?
12

? ?) ? 0 得

?
6

? ? ? 0 ?? ? ?

?
6

? y ? 5sin(2 x ? ) ……3 分 6
(2)由 2k? ?

?

?

2

? 2x ?

?

6

? 2 k? ?

?
2

得k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

(k ? z )

? ?? ? ? 增区间是 ?k? ? , k? ? ? (k ? z ) 6 3? ?
(3) g ( x) ? 5sin ?2( x ?

7 ? k ? ?1时,方程 g ( x ) ? 0 在 ( 0, 2) 上有两个解. 2 1 2 方法一:因为 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 ,所以 k ? ? , 2 x2 ? kx1 ?1 ? 0 x1 1 1 2 消去 k 得 2 x1 x2 ? x1 ? x2 ? 0 ,即 ? ? 2 x2 x1 x2 1 1 因为 x2 ? 2 ,所以 ? ?4. x1 x2 1 方法二:由 g( x1 ) ? 0 得 k ? ? x1
由 2 x ? kx ? 1 ? 0 ,得 x ?
2

?k ? k 2 ? 8 ?k ? k 2 ? 8 ,因为 x2 ? (1, 2) ,所以 x2 ? . 4 4

? ?

?

?? ? ) ? ? ? 2 ? 5sin(2 x ? ) ? 2 6 6? 6
?
6 9 ? ? g ( x) ? 3 2 ? 5? 6

6 3 6 1 ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6

?

?

?x?

?

??

?

? 2x ?

? 9 ? g ( x) 的值域为 ? ? , ? 2

? 3? ?

1 1 ?k ? k 2 ? 8 1 ? ? ?k ? ? ( k2 ? 8 ? k) . x1 x2 4 2 1 7 2 而 y ? ( k ? 8 ? k ) 在 ( ? , ?1) 上是减函数 2 2 1 1 7 2 7 2 则 ( k ? 8 ? k ) ? ( (? ) ? 8 ? ) ? 4 2 2 2 2 1 1 因此 ? ?4 x1 x2


22.解: (1)由题意得: f ( x ) ? x ?

a ? a ,设 1 ? x1 ? x2 , x ( x x ? a) a a a a 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? ? a) ? ( x2 ? ? a) ? x1 ? x2 ? ? ? ( x1 ? x2 ) 1 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 1 ? x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 1 ,又 a ? 1 ,得 x1 x2 ? a ? 0
(2) g( x) ? x f ( x)? | x ?1 | ?(k ? a) x ? a ? x ? kx? | x ? 1 |
2 2 2

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴ f ( x ) 在 [1, ??) 上为增函数.
g ( x ) ? 0 在 ( 0, 2) 上有两个解 x1 , x2 ,不妨设 0 ? x1 ? x2 ? 2
因为 g ( x ) ? ?

?2 x 2 ? kx ? 1, | x |? 1

| x |? 1 ?kx ? 1, 所以 g ( x ) 在 (0,1] 是单调函数,故 g ( x ) ? 0 在 (0,1] 上至多一个解. 1 若 1 ? x1 ? x2 ? 2 ,则 x1 x2 ? ? ? 0 ,故不符题意,因此 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 2 1 由 g( x1 ) ? 0 得 k ? ? ,所以 k ? ?1 , x1


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