当前位置:首页 >> 数学 >>

四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试数学(文)试题含解析


四川省绵阳南山实验高中 2015 届高三一诊模拟考试数学(文)试题(解析版) 【试卷综析】试卷注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学核 心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课 本,整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型.对中学数学教学和复习回归课本,重视对基 础知识的掌握起到好的导向作用.
<

br />第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且只 有一项是符合题目要求的. 【 题 文 】 1. 已 知 全 集 U ? R , 集 合 A ? x y ? l n3 (x ?1) , B ? y y ? s i nx(? 2) , 则

?

?

?

?

?CU A? ? B ?
A. ? , ? ??

?1 ?3

? ?

B. ? 0, ?

? 1? ? 3?

C. ? ? 1, ?

? ?

1? 3?

D. ?

【知识点】交、并、补集的混合运算.A1 【答案解析】C 解析:由 A 中 y=ln(3x﹣1) ,得到 3x﹣1>0,即 x> ,

∴ A=( ,+∞) ,∵ 全集 U=R,∴ ?UA=(﹣∞, ], 由 B 中 y=sin(x+2) ,得到﹣1≤y≤1,∴ B=[﹣1,1], 则(?UA)∩ B=[﹣1, ].故选:C. 【思路点拨】求出 A 中 x 的范围确定出 A,求出 B 中 y 的范围确定出 B,根据全集 U=R 求出 A 的 补集,找出 A 补集与 B 的交集即可. 【题文】2.若角 ? 的终边在直线 y ? ?2 x 上,且 sin ? ? 0 ,则 cos? 和 tan ? 的值分别为 A.

5 , ?2 5

B. ?

5 1 ,? 5 2

C. ?

2 5 ,?2 5

D. ?

5 , ?2 5

【知识点】同角三角函数间的基本关系.C2 【答案解析】D 解析:∵ 角 α 的终边在直线 y=﹣2x 上,且 sinα>0, =﹣ .故选:D.

∴α 为第二象限角,则 tanα=﹣2,cosα=﹣

【思路点拨】由角 α 的终边在直线 y=﹣2x 上,且 sinα>0,得到 α 为第二象限角,利用同角三 角函数间的基本关系求出 cosα 和 tana 的值即可. 【题文】3.设 a, b 为平面向量,则 “a ? b ? A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

“a // b” 是 的 a ? b”
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
-1-

【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;向量的模;平行向量与共线向量.A2F2 【答案解析】C 解析:∵ ? = ,

若 a,b 为零向量,显然成立; 若 而 因此 故选 C. 【思路点拨】利用向量的数量积公式得到 与 ? = ,根据此公式再看 ?cosθ=±1 则 与 的夹角为零角或平角,即 ,则 与 的夹角为为零角或平角,有 是 的充分必要条件. . ,故充分性成立.

之间能否互相推出,利用充要条件的有关定义得到结论.

【题文】4.已知等差数列 ?a n ?,且 a4 ? a10 ? 12 ? a7 ,则数列 ?a n ?的前 13 项之和为 A. 24 B. 39 C. 52 D. 104

【知识点】等差数列的性质;等差数列的前 n 项和.D2 D4 【答案解析】C 解析:在等差数列{an}中,由 a4+a10=12﹣a7,得 3a7=12,a7=4. ∴S13=13a7=13×4=52.故选:C. 【思路点拨】直接利用等差数列的性质结合已知求得 a7=3,然后由 S13=13a7 得答案.

?x ? y ? 2 ? 【题文】5.已知 O 是坐标原点,点 A?? 1 上的一个 , 1? ,若点 M ?x, y ? 为平面区域 ? x ? 1 ?y ? 2 ?
动点,则 OA ? OM 的取值范围是 A. ?? 1 , 0? B. ?0, 2? C. ?0, 1? D. ?? 1 , 2?

【知识点】简单线性规划的应用;平面向量数量积的运算.E5 F3

?x ? y ? 2 ? 【答案解析】B 解析:满足约束条件 ? x ? 1 的平面区域如下图所示: ?y ? 2 ?

-2 -

将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式 当 x=1,y=1 时, 当 x=1,y=2 时, 当 x=0,y=2 时, ? ? ? =﹣1×1+1×1=0 =﹣1×1+1×2=1 =﹣1×0+1×2=2

故 OA ? OM 和取值范围为[0,2] 故选 B.

?x ? y ? 2 ? 【思路点拨】先画出满足约束条件 ? x ? 1 的平面区域,求出平面区域的角点后,逐一代入 ?y ? 2 ?

OA ? OM 分析比较后,即可得到

?

的取值范围.

【题文】6.在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 1 ,点 P 在 AM 上且满足 AP ? 2PM ,则

AP? PB ? PC ?
A.

?

?

4 9

B.

4 3

C. ?

4 3

D. ?

4 9

【知识点】平面向量数量积的运算.F3 【答案解析】A 解析:如图

因为 M 是 BC 的中点,根据向量加法的几何意义, 又 ,

=2



-3-

所以 故选:A.

=

=



【思路点拨】根据向量加法的几何意义,得出

=2

,从而所以

=



【 题 文 】 7. 已 知 函 数 f ( x) ? Asin(?x ? ? ) A ? 0, ? ? 0, ? ? ?

?

?的图象与直线

4、 8 ,则 f ( x) 的单调递增区间为 y ? b?0 ? b ? A? 的三个相邻交点的横坐标分别是 2、
A. ?4k ,4k ? 3??k ? Z ? C. ?4k ,4k ? 5??k ? Z ? 【知识点】正弦函数的单调性.C3 【答案解析】B 解析:与直线 y=b(0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是 2,4,8 B. ?6k ,6k ? 3??k ? Z ? D. ?6k ,6k ? 5??k ? Z ?

知函数的周期为 T= 再由五点法作图可得 ∴ 函数 f(x)=Asin( 令 2kπ﹣ ≤ x﹣

=2( ? x﹣ ≤2kπ+

﹣ +φ= ) .

) ,得 ω= ,求得 φ=﹣

, ,

,k∈z,

求得 x∈[6k,6k+3](k∈Z) , 故选:B. 【思路点拨】由题意可得,第一个交点与第三个交点的差是一个周期;第一个交点与第二个 交点的中点的横坐标对应的函数值是最大值.从这两个方面考虑可求得参数 ω 、φ 的值,进而 利用三角函数的单调性求区间. 【题文】8.已知函数 y ? f ( x) 是定义在实数集 R 上的奇函数,且当 x ? (??, 0) 时

xf ?( x) ? f (? x) 成立(其中 f ?( x)是f ( x) 的导函数) ,若 a ? 3 f ( 3) , b ? f (1) ,

-4-

1 1 c ? (log 2 ) f (log 2 ) 则 a, b, c 的大小关系是 4 4
A. c ? a ? b B. c ? b ? a C. a ? b ? c D. a ? c ? b 【知识点】函数的单调性与导数的关系;函数奇偶性的性质.B11B4 【答案解析】A 解析:∵ 函数 y=f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数, ∴ 当 x∈(﹣∞,0)时,xf′ (x)<f(﹣x)等价为 xf′ (x)+f(x)<0, 构造函数 g(x)=xf(x) , 则 g′ (x)=xf′ (x)+f(x)<0, ∴ 当 x∈(﹣∞,0)时,函数 g(x)单调递减, 且函数 g(x)是偶函数, ∴ 当 x∈(0,+∞)时,函数 g(x)单调递增, 则 a= f( )=g( ) ,b=f(1)=个(1) ,c=(log2 )f(log2 )=g(log2 )=g(﹣2)

=g(2) , ∵ 1 <2, ∴ g(1)<g( 即 b<a<c, 故选:A. 【思路点拨】根据条件构造函数,利用函数的奇偶性和单调性之间的关系,即可得到结论. 【 题 文 】 9. 设 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x ) 满 足 f (1 ? x) ? f ( x ? 1) , 且 当 x ? ?0,1? 时 , )<g(2) ,

f ( x) ? x3 ,若方程 f ( x) ? cos
A. ?? ?,?2?

?
2

x ? a ? 0(a ? 0) 无解,则实数 a 的取值范围是
C. ?? ?,?1? D. ?? ?,?1?

B. ?? ?,?2?

【知识点】抽象函数及其应用.B10 【答案解析】D 解析:由 f(x)﹣cos 设 g(x)=f(x)﹣cos x, x﹣a=0 得 f(x)﹣cos x=a,

∵ 定义在 R 上的偶函数 f(x) , ∴ g(x)也是偶函数, 3 当 x∈[0,1]时,f(x)=x , ∴ g(x)=x ﹣cos
3

x,则此时函数 g(x)单调递增,则 g(0)≤g(x)≤g(1) ,

即﹣1≤g(x)≤1, ∵ 偶函数 f(x)满足 f(1﹣x)=f(x+1) , ∴ f(1﹣x)=f(x+1)=f(x﹣1) , 即 f(x)满足 f(x+2)=f(x) , 即函数的周期是 2, 则函数 g(x)在 R 上的值域为[﹣1,1], 若方程 f(x)﹣cos x﹣a=0(a<0)无解,即 g(x)=f(x)﹣cos
-5-

x=a 无解,

则 a<﹣1, 故选:D 【思路点拨】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系,推出函数的周期性,求出函数的最值 即可得到结论. 【 题 文 】 10. 已 知 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 1 , P 、 Q 分 别 为 边 AB , DA 上 的 点 , 若

?PCQ ? 45? ,则 ?APQ 面积的最大值是
A. 2 ? 2 B. 3 ? 2 2 C.

1 8

D.

1 4

【知识点】三角形的面积公式. C8
菁优

【答案解析】B

解析:如图所示,C(1,1) .

设 P(a,0) ,Q(0,b) ,0<a,b<1. 则 kPC= ,kPQ=1﹣b.

∵ ∠ PCQ=45°,

∴ tan45°=

=

=1,

化为 2+ab=2a+2b, ∴ 2+ab , 化为 解得 ∴ (舍去) ,或 . , , ,当且仅当 a=b=2﹣ 时取等号.

∴ △ APQ 面积= ab≤3﹣2 其最大值是 3 故选:B. .

-6-

【思路点拨】C(1,1) .设 P(a,0) ,Q(0,b) ,0<a,b<1.可得 kPC= 角公式、一元二次不等式的解法、三角形的面积计算公式即可得出.

,kPQ=1﹣b.利用到

第 Ⅱ 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 【题文】11.化简求值: ( 2 2 ) 3 ? lg
4

1 ? lg 25 =________. 4

【知识点】有理数指数幂的化简求值;有理数指数幂的运算性质.B8

【答案解析】0 解析:原式=: ( 故答案为:0



+lg

=

+lg

=2﹣2=0.

【思路点拨】根据指数幂的运算法则进行化简即可. 【题文】12.已知函数 f(x)的图象是两条线段(如图,不含端点),则 f(f( ))=_______. 【知识点】函数奇偶性的性质;函数的值. B4
菁优

1 3

【答案解析】

1 3

解析:由图象可得函数 f(x)=





=

, = .

=



∴ f(f( ) )= 故答案为: .

【思路点拨】由图象可得函数 f(x)= 【题文】13.已知 sin ? ? cos ? ?

.即可得出.

1 ?? ? ,0 ? ? ? ? ,则 sin ? ? 2? ? ? ________. 5 ?2 ?

【知识点】二倍角的余弦;运用诱导公式化简求值.C6 C2 【答案解析】 ? ∴ 1﹣2sinαcosα= ∴ 2sinαcosα= ,

7 25


解析:∵ sinα﹣cosα= ,① 0≤x≤π

-7-

∴ α∈(0,

) ,

∴ 1+2sinαcosα=

∴ sinα+cosα= ,② 由① ② 得 sinα= ,cosα= , ∴ sin( +2α)=cos2α=2cos α﹣1= .
2

=﹣



故答案为:﹣

【思路点拨】把所给的条件两边平方,写出正弦和余弦的积,判断出角在第一象限,求出两 角和的结果,解方程组求出正弦和余弦值,进而用二倍角公式得到结果. 【题文】14.已知实数 a ? 0, b ? 0 ,且 ab ? 1 ,那么 【知识点】基本不等式.E5

a2 ? b2 的最小值为________. a?b

【答案解析】﹣1 解析:由于 ab=1,则 又由 a<0,b<0,则 , 故 故答案为﹣1. 【思路点拨】 将 整理得到 , 利用基本不等式即可求得 的最大值. ,当且仅当﹣a=﹣b 即 a=b=﹣1 时,取“=”

【题文】15.设 x ? R ,用 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数,称函数 f ( x) ? ?x? 为高斯函数,也叫 取整函数.现有下列四个命题: ①高斯函数为定义域为 R 的奇函数;

“x ? y” “?x? ? ?y? ” ② 是 的必要不充分条件;

?1? ③设 g ( x) ? ? ? ,则函数 f ( x) ? ?g ( x)? 的值域为 ?0,1? ; ?2?
④方程 ?

x

? x ? 1? ? x ? 1? ? 的解集是 ?x 1 ? x ? 5?. ? 4 ? ? ? ? 2 ? ?

-8-

其中真命题的序号是________. (写出所有真命题的序号) 【知识点】命题的真假判断与应用.A2 【答案解析】②③④ 解析:对于① ,f(﹣1.1)=[﹣1.1]=﹣2,f(1.1)=[1.1]=1,显然 f(﹣ 1.1)≠﹣f(1.1) ,故定义域为 R 的高斯函数不是奇函数,① 错误; 对于② ,“[x]”≥“[y]”不能?“x≥y”,如[4.1]≥[4.5],但 4.1<4.5,即充分性不成立; 反之,“x≥y”?“[x]”≥“[y]”,即必要性成立,所以“[x]”≥“[y]”是“x≥y”的必要不充分条件,故② 正 确; 对于③ ,设 g(x)=( ) ,作出其图象如下:
|x|

由图可知,函数 f(x)=[g(x)]的值域为{0,1},故③ 正确; 对于④ ,[ 即[ ]+1=[ ]=[ ]=[ ],显然, ]=[ > ]﹣1, ,即 x>﹣1; ]=0,[ ]+1=1;

(1)当 0≤ 要使[ ]+1=[

<1,即﹣1≤x<3 时,[ ],必须 1≤

<2,即 1≤x<3,与﹣1≤x<3 联立得:1≤x<3; ]=1,[ ]+1=2;

(2)当 1≤ 要使[ ]+1=[

<2,即 3≤x<7 时,[ ],必须 2≤

<3,即 3≤x<5,与 3≤x<7 联立得:3≤x<5; ]=2,[ ]+1=3;

(3)当 2≤ 要使[ ]+1=[

<3,即 7≤x<11 时,[ ],必须 3≤ ]=[

<4,即 5≤x<7,与 7≤x<11 联立得:x∈?;

综上所述,方程[ 故答案为:② ③ ④ .

]的解集是{x|1≤x<5},故④ 正确.

【思路点拨】① ,举例说明,高斯函数 f(x)=[x]中,f(﹣1.1)≠﹣f(1.1) ,可判断① 错误; ② ,利用充分必要条件的概念,举例如[4.1]≥[4.5],但 4.1<4.5,说明“[x]”≥“[y]”是“x≥y”的必要 不充分条件;
-9-

③ ,作出 g(x)=( ) 的图象,利用高斯函数 f(x)=[x]可判断函数 f(x)=[g(x)]的值域 为{0,1}; ④ ,方程[ 论与相应的 ]=[ ]?[ ]+1=[ ],通过对 0≤ <1,1≤ <2,2≤ <3 三种情况的讨

|x|

的取值范围的讨论可得原方程的解集是{x|1≤x<5},从而可判断④ 正确.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 【题文】 16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? a , 且当 x ? ?0, 时, f ( x ) 的最小值为 2 . (Ⅰ)求 a 的值,并求 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)先将函数 y ? f ( x) 的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的

? ?? ? 6? ?

1 ,再将所得图象 2
? ?? ? 2?

向右平移 根之和.

?
12

个单位长度,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求方程 g ( x) ? 2 在区间 ?0, ? 上所有

【知识点】三角函数中的恒等变换应用;函数 y=Asin(ω x+φ)的图象变换;复合三角函数的单 调性.C3 C4 C7 【答案解析】 (Ⅰ) ?k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??

p ?k ? Z ? ; (Ⅱ) ? 3 6?

解析: (Ⅰ)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? a ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? a ? 1 ???2 分

? ?? ? ? ? ?? ? x ? ?0, ?,? 2 x ? ? ? , ? ? f ( x) min ? a ? 2 ? 2 ,故 a ? 0 ???4 分 6 ?6 2? ? 6?
则 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ?1

由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

解得函数 f ( x) 的单调递增区间为 ?k? ? (Ⅱ)由已知得 g ( x ) ? 2 sin( 4 x ?

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

?k ? Z ? ???6 分

? 1 ) ? 1,又由 g ( x) ? 2 得 sin( 4 x ? ) ? ???9 分 6 6 2 ? ? 5? k? ? k? ? ? 或 ? ?k ? Z ? 则有 4 x ? ? 2k? ? 或2k? ? 进而解得 x ? 6 6 6 2 12 2 4

?

? ? ? ?? ? x ? ?0, ?,? x ? 或 12 4 ? 2?

故所有根之和为

?
12

?

?
4

?

?
3

???12 分

- 10 -

【思路点拨】 (Ⅰ) 利用三角函数中的恒等变换应用, 可求得 f (x) =2sin (2x+

) +a+1, x∈[0,

]时 f(x)的最小值为 2,可求得 a,利用正弦函数的单调性可求 f(x)的单调增区间; (Ⅱ) 利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,可求得 g(x)=2sin(4x﹣ =2 得 sin(4x﹣ )= ,x∈[0, ],可求得 x= 或 )+1,依题意,g(x)

,从而可得答案.

【 题 文 】 17. ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? x 2 ? bx 为 偶 函 数 , 数 列 ?an ? 满 足

an?1 ? f (an ? 1) ? 1,且 a1 ? 3 , an ? 1 .
(Ⅰ)设 bn ? log2 (an ? 1) ,证明:数列 ?bn ?为等比数列; (Ⅱ)设 cn ? n?2bn ? 1? ,求数列 ?cn ?的前 n 项和 Sn . 【知识点】数列的求和;等比关系的确定. D4 D3


A P Q

【答案解析】 (Ⅰ)见解析; (Ⅱ) S n = (n - 1)2 解 析 :( Ⅰ ) ? 函 数

n +1

+2 -

n(n +1) 2

B

N

M

O

f ( x) ? x 2 ? bx 为 偶 函 数 ,

?b ? 0, ? f ( x) ? x 2 , ???2 分

?an?1 ? ?an ?1? ?1 , ?an?1 ?1 ? ?an ?1? ?log2 ?an?1 ?1? ? 2 log2 ?an ?1?
2 2

?

bn?1 log2 (an?1 ? 1) 2 log2 (an ? 1) ? ? ?2 bn log2 (an ? 1) log2 (an ? 1)

? 数列 ?bn ?为等比数列 ???5 分
???7 分

(Ⅱ)? a1 ? 3,?b1 ? log2 2 ? 1,?bn ? 2n?1, ?cn ? n2n ? n 设 An ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ? ? ? ? n ? 2n

?2 An ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? ? ? ? ? n ? 2n?1 ?? An ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? n ? 2n?1 ? 2
? An ? (n ?1)2n?1 ? 2 ???10 分
设 Bn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?

n(n ? 1) 2
2

? S n ? (n ? 1)2 n ?1 ? 2 ?

n(n ? 1) ???12 分 2
n

【思路点拨】 (Ⅰ)利用函数 f(x)=x +bx 为偶函数,可得 b,根据数列{an}满足 an+1=2f(an﹣1)+1, 可得 bn+1+1=2(bn+1) ,即可证明数列{bn+1}为等比数列; (Ⅱ)由 cn=n(2bn﹣1)=2n?2 ﹣3n,利用错 位相减可求数列的和.
- 11 -

【题文】18.(本题满分 12 分)如图,在半径为 3 ,圆心角为 60 的扇形的弧上任取一点 P , 作扇形的内接矩形 PNMQ , 使点 Q 在 OA 上, 点 N , M 在 OB 上, 设矩形 PNMQ 的面积为 y ,

?POB ? ? ,
(Ⅰ)将 y 表示成 ? 的函数关系式,并写出定义域; (Ⅱ) 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 若 y 取最大值时 A ? ? ?

?
12

, 且 a ? 10 ,

cos B ?

2 5 , D 为 AC 中点,求 BD 的值. 5

【知识点】函数模型的选择与应用.B10 【答案解析】 (Ⅰ) y= 3 sin 琪 2q + 琪

骣 桫

p 3 ; (Ⅱ) BD ? 13 6 2
3 ? 3 sin ? ? sin ? , 3

解析: (Ⅰ)因为 PN ? 3 sin ? , ON ? 3 cos ? , OM ? 所以 MN ? ON ? OM ? 3 cos? ? sin ?

故 y ? 3sin ? ( 3 cos? ? sin ? ) ???3 分

即 y ? 3sin ? cos ? ? 3 sin 2 ? ? 3 sin(2? ?

?
6

)?

? 3 , (? ? (0, )) ???5 分 3 2

(Ⅱ) ? ? (0,

?
3

) ? ?=

? ? 2 3 ? ? ? cos A ? 时 ymax ? ??7 分 ? A ?? ? 12 4 2 2 6

由 cos B ?

2 5 , 可得 sin B ? 1 ? cos2 B ? 1 ? ( 2 5 ) 2 ? 5 . 5 5 5

所以 cosC ? cos?? ? ? A ? B?? ? ? cos? A ? B? ? ??cos A cos B ? sin A sin B?

? 2 2 5 2 5? 10 ? ? ?? ? 2 ? 5 ? 2 ? 5 ? ? ? 10 ? ?
由正弦定理得

???9 分

b?

a sin B ?? 2 sin A

所以

CD ?

1 ?BCD AC ? 1 2 ,故在 中,

由余弦定理得 故

BD 2 ? BC 2 ? CD 2 ? 2 BC ? CD cos C ?
???12 分

?

10

?

2

? 10 ? ? 12 ? 2 10 ? ? ? ? 10 ? ? ? 13 ? ?

BD ? 13

- 12 -

【思路点拨】 (I)在 Rt△PON 中,PN=OPsinθ= =sinθ.可得 MN=0N﹣0M= y=PN?NM= 得出. (II)当 =

,ON=

cosθ.在 Rt△OQM 中,

.可得矩形 PNMQ 的面积 ,再利用倍角公式、两角和差的正弦公式即可

时,y 取得最大值,θ=

.可得 A=

.由 cosB=

,可得

.由正弦定理可得: (A+B)=sinAcosB+cosAsinB.由正弦定理可得: BD2=AB2+AD2﹣2AB?ADcosA.

.利用两角和差的正弦公式可得 sinC=sin .在△ABD 中,由余弦定理可得:

【题文】 19. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( ) , x ? [ ?1,1] , 函数 g ( x) ? [ f ( x)]2 ? 2af ( x) ? 3
x

1 3

的最小值为 h(a) . (Ⅰ)求 h(a) ; (Ⅱ)是否存在实数 m, n 同时满足下列条件: ①m ? n ?3; ②当 h(a) 的定义域为 [n, m] 时,值域为 [n2 , m2 ]? 若存在,求出 m, n 的值;

若不存在,说明理由. 【知识点】函数单调性的性质;函数最值的应用.B3
2a 1 ? 28 ? 9 ? 3 ,a ? 3, ? 【答案解析】 (Ⅰ) (Ⅱ) m, n 不存在 1 ? h ( a ) ? ?3 ? a 2 , ? a ? 3, 3 ? ?12 ? 6 a, a ? 3. ? ?

解析: (Ⅰ)∵ x ?[?1,1] ∴ f ( x ) ? ( ) ? [ ,3]
x

1 3

1 3

设 t ? ( ) ? [ ,3]
x

1 3

1 3

则 y ? ? (t ) ? t ? 2at ? 3 ? (t ? a) ? 3 ? a
2 2

2

???2 分

①当 a ? ②当

1 1 28 2a ? ; 时, ymin ? h(a ) ? ? ( ) ? 3 3 9 3

1 ? a ? 3 时, ymin ? h(a) ? ? (a) ? 3 ? a2 ; 3

③当 a ? 3 时, ymin ? h(a) ? ? (3) ? 12 ? 6a;
2a 1 ? 28 ? 9 ? 3 ,a ? 3, ? ∴ ???6 分 1 ? h ( a ) ? ?3 ? a 2 , ? a ? 3, 3 ? ?12 ? 6 a, a ? 3. ? ?

- 13 -

(Ⅱ)假设存在 m, n 满足题意.∵ m ? n ? 3, h(a) ? 12 ? 6a 在 (3, ??) 上是减函数,

?12 ? 6m ? n 2 , ① ? 又∵ h(a) 的定义域为 [n, m] 时,值域为 [n , m ] , ∴ ? 2 ? ?12 ? 6n ? m , ②
2 2

???10 分

②-①,得 6(m ? n) ? (m ? n)(m ? n) ,即: m ? n ? 6, 与m ? n ? 3矛盾, ∴满足题意的 m, n 不存在???12 分 【思路点拨】 (Ⅰ)g(x)为关于 f(x)的二次函数,可用换元法,转化为二次函数在特定区 间上的最值问题,定区间动轴; (Ⅱ)由(1)可知 a≥3 时,h(a)为一次函数且为减函数,求 值域,找关系即可. 【题文】20.(本题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? a 2 ?a ? 0? 的单调递减区间 是 ?1,2? 且满足 f (0) ? 1 . (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ) 对任意 m ? ?0,2?, 关于 x 的不等式 f ( x) ? 求实数 t 的取值范围。 【知识点】函数的单调性与导数的关系;函数单调性的性质.B3 B12 【答案解析】 (Ⅰ) f ( x) = x 3

1 3 m ? m ln m ? mt ? 3 在 x ? ?2,??? 上有解, 2

9 2 1 x + 6 x +1 ; (Ⅱ) t < 2 2
2

解析: (Ⅰ)由已知,得 f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c ,
3 2 2 ∵函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? a 的单调递减区是 ?1,2? ,∴ f ?( x) ? 0 的解是 1 ? x ? 2 . 2 所以 f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c ? 0 的两个根分别是 1 和 2 ,且 a ? 0 , 2 由 f (0) ? a ? 1 ,且 a ? 0 ,可得 a ? 1 .

???2 分

9 ? ? f ' (1) ? 3 ? 2b ? c ? 0 9 2 ?b ? ? 3 又? 得? 2 ? f ( x) ? x ? x ? 6 x ? 1 ???5 分 2 ? f ' (2) ? 12 ? 4b ? c ? 0 ?c ? 6, ?
2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ?( x) ? 3x ? 9x ? 6 ? 3( x ?1)(x ? 2) ,∵当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,

? ? ?单调递增, x ? ?2, ? ?? 时, f ( x) min ? f (2) ? 3 ∴ f ( x) 在 ?2,
1 3 m ? mln m ? mt ? 3 在 x ? ?2, ? ?? 上有解, 2 1 3 1 3 需 m ? mln m ? mt ? 3 ? f ( x) min ,? m ? m ln m ? mt ? 3 ? 3, 2 2
要使 f ( x) ?
- 14 -

???7 分

1 3 m ? m ln m 对任意 m ? ?0,2?恒成立, 2 1 即 t ? m 2 ? ln m 对任意 m ? ?0,2?恒成立. ???9 分 2 mt ?


h(m) ?

1 2 m ? ln m 2



m ? ?0,2?





t ? h(m) m

i

,

n

h ' ( m) ? m ?

1 m 2 ? 1 (m ? 1)( m ? 1) ? ? , m m m
由 m ? ?0,2?,列表如下:

令 h?(m) ? 0 得 m ? ?1 ,
m

?0,1?
- ↘

1

?1,2?
+ ↗

h?(m)
h( m)

0

极小值

∴当 m ? 1 时, h(m) min ? h(m) 极小值 ?

1 1 ,? t ? 2 2

?????13 分

【思路点拨】 (Ⅰ)由题意可知 f'(x)<0 的解集为(1,2) ,即 f'(x)=0 的两根为 1,2,利用 韦达定理以及 f(0)=1,建立方程组,解之即可求出函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)对任意 m∈(0, 2],不等式 f(x)< m ﹣mlnm﹣mt+3 在 x∈[2,+∞) 上有解,等价于 fmin(x)< m ﹣mlnm﹣mt+3 对任意 m∈(0,2]恒成立,再分离参数转化求函数最值问题即可. 【题文】21.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? a( x ?1), g ( x) ? e x . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)过原点分别作函数 f ( x) 与 g ( x) 的切线,且两切线的斜率互为倒数,证明: a ? 0 或
3 3

1? a ? 2;
(Ⅲ)求证: (1 ? 自然对数的底). 【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程;数列的求和.B12 B11 【答案解析】 (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,增区间是 (0,??) ;当 a ? 0 时,增区间是 (0, ) , 减区间是 ( ,??) ; (Ⅱ) a ? 0 或 1 ? a ? 2 (Ⅲ)见解析 解析: (Ⅰ) f ?( x) ?

2 4 8 )(1 ? )(1 ? ) 2?3 3? 5 5? 9

[1 ?

2n ] ? e (其中 n ? N * , e 是 n ?1 n (2 ? 1)(2 ? 1)

1 a

1 a

1 1 ? ax ( x ? 0 ) ?????2 分 ?a ? x x

①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,增区间是 (0,??) ;

- 15 -

②当 a ? 0 时,增区间是 (0, ) ,减区间是 ( ,??) ;?????4 分 (Ⅱ)设 g ( x) 的切点 ( x1 , y1 ) , f ( x) 的切点 ( x 2 , y 2 ) ,

1 a

1 a

y1 ? ? x1 ? 1 x1 ? g ?( x1 ) ? e ? x ? 1 得 ? y1 ? e ? ? y ? e x1 ?k ? e ? ? 1
?

1 1 y ? ?a ? ? 2 ? f ?( x2 ) ? x2 e x2 , ? ? y ? ln x ? a( x ? 1) 2 2 ? 2

ln x2 ? a( x2 ? 1) 1 1 1 1? a , ? ln x2 ? 1 ? a , ? x2 ? e 代 入 ?a ? ?a ? 得 x2 e x2 x2

e a ? ae ? 1 ? 0 ,令 p(a) ? e a ? ae ? 1 ?????7 分

p?(a) ? e a ? e , p(a) 在 (??,1) 递减,在 (1,??) 上递增.当 a ? (??,1) 时,因为 p(0) ? 0 ,
2 所以 a ? 0 ;当 a ? (1,??) 时, p (1) ? ?1 ? 0 , p(2) ? e ? 2e ? 1 ? 0 ,所以 1 ? a ? 2 ,

综上 a ? 0 或 1 ? a ? 2

?????9 分

(Ⅲ)由(Ⅰ)知:当 a ? 1 时, f ( x) ? ln x ? ( x ? 1) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调 递减,∴ f ( x) ? ln x ? ( x ? 1) ? f (1) ? 0 即: ln x ? ( x ?1) 在 (0, ??) 上恒成立

∴ ln( x ? 1) ? x 在 (0, ??) 上恒成立?????11 分

2n 1 1 ∵ n ?1 ? 2( n?1 ? n ) n (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ?1 2 ?1
2 4 8 ln{(1 ? )(1 ? )(1 ? ) 2?3 3? 5 5? 9 ? ln(1 ? ?



2n [1 ? n ?1 ]} (2 ? 1)(2n ? 1) ? ln[1 ? 2n ] (2n ?1 ? 1)(2n ? 1)

2 4 8 ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? )? 2?3 3? 5 5? 9

2 4 8 2n ? ? ? ? n ?1 2 ? 3 3? 5 5 ? 9 (2 ? 1)(2n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( n ?1 ? n )] ? 2[ ? n ] ? 1 2 3 3 5 5 9 2 ?1 2 ?1 2 2 ?1 n 2 4 2 故得证: (1 ? )(1 ? ) [1 ? n?1 ] ? e ?????14 分 2?3 3? 5 (2 ? 1)(2n ? 1)
【思路点拨】 (Ⅰ)求函数的导数即可求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)根据导数的几何意义, 求出切线的斜率,建立条件关系即可得到结论; (Ⅲ)利用 ln(x+1)≤x 在[0,+∞)上恒成立, 利用此不等式对所要证明的不等式进行放缩,从而进行证明.

- 16 -

版权所有:高考资源网(www.ks5u.com)

- 17 -


相关文章:
...2015届高三一诊模拟考试数学(文)试题Word含解析
四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试数学(文)试题Word含解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试数学(文)试...
...高中2015届高三一诊模拟考试数学(文)试题(解析版)
【名师解析四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试数学(文)试题(解析版)_理化生_高中教育_教育专区。四川省绵阳南山实验高中 2015 届高三一诊模拟考试数学...
四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试数学(理...
四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试数学()试题Word含解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试数学()试...
四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试英语试...
四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试英语试题含解析_数学_高中教育_教育专区。绵阳市“一诊”模拟考试试题 英语试题 【试卷综评】本套试题难度适中,区分度...
...高中2015届高三一诊模拟考试数学(理)试题(解析版)
【名师解析四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试数学()试题(解析版)_理化生_高中教育_教育专区。四川省绵阳南山实验高中 2015 届高三一诊模拟考试数学...
...高中2015届高三一诊模拟考试数学(理)试题(解析版)
【名师解析四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试数学()试题(解析版...值的大小,再由条件即可判断 f(x1)+f(x2)的值的 符号. 【题文】10.设...
四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试数学文试题
绵阳南山中学实验学校 四川省绵阳南山实验高中 2015 届高三一诊模拟考试数学文试题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页,满分 150 分,...
四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试试题 数...
四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试试题 数学文 Word含答案_高考_高中教育_教育专区。绝密★启用前 绵阳南山中学 ? 绵阳南山中学实验学校 绵阳市“一诊...
四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试试题 数...
四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试试题 数学文 Word含答案_高中教育_教育专区。绝密★启用前 绵阳南山中学 ? 绵阳南山中学实验学校 绵阳市“一诊”模拟...
四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试试题 数...
四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试试题 数学(文)_数学_高中教育_教育专区。WORD文档,含答案~~~ 绝密★启用前 绵阳南山中学 ? 绵阳南山中学实验学校 ...
更多相关标签: