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(人教A版)数学必修五 :3-2-2《一元二次不等式的解法的应用(一)》教案(含答案)


教学设计
3.2.2 一元二次不等式的解法的应用(一)?? 从容说课 本节课由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一 些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次 不等式的概念和解法, 通过具体例题的分析和求解, 在这些例题中设置思考项, 让学生探究, 层层铺设, 在学生深刻理解一元二次不等式的概念、 一元二次不等式的解法以及一元二次不 等式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、 一元二次不等式解法与二次 函数的关系两者之间的区别与联系的基础上,再辅以新的例题巩固.一元二次不等式的解法 的应用(一)这节课通过对一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法以及一元二次不等 式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、 一元二次不等式解法与二次函 数的关系两者之间的区别与联系的正确理解.用可以直接或间接转化为一元二次不等式、二 次函数的知识来解决的问题, 作为对一元二次不等式的概念、 解法以及解法与二次函数的关 系两者之间的区别与联系的知识能力的延伸和补充.本节课通过复习引入课题,通过例题的 讲解和学生的练习,不断地发现、深入、探究,步步为营.层层铺垫既有利于一元二次不等 式的概念、 解法和解法与二次函数的关系以及一元二次不等式解法与一元二次函数的关系两 者之间的区别与联系知识的巩固和延伸, 更有利于学生的自主学习, 充分体现了新课标的理 念.? 整个教学过程, 更深入揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系本质, 继续一元二次 不等式解法的步骤和过程,及时加以巩固,同时让学生体验数学的奥秘与数学美,激发学生 的学习兴趣.? 教学重点 1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.? 2.围绕一元二 次不等式的解法展开,突出体现数形结合的思想.? 3.分式不等式与简单的高次不等式如何根据实数运算的符号法则,把它们转化为与其等价的 两个或多个不等式(组)(由表示成的各因式的符号所有可能的组合决定 ),于是原不等式的解 集就是各个不等式组的解集的并集.同时注意分式不等式的同解变形有如下几种:?? (1)

f ( x) >0 ? f(x)· g(x)>0;? g ( x)

(2)

f ( x) <0 ? f(x)· g(x)<0;? g ( x) f ( x) ≥0 ? f(x)·g(x)≥0 且 g(x)≠0;? g ( x) f ( x) ≤0 ? f(x)·g(x)≤0 且 g(x)≠0.? g ( x)
解简单的高次不等式一般有两种思路,即转化法和数轴标根法.其中转化法就是运用实数

(3)

(4)

乘法的运算性质 ,把高次不等式转化为低次的不等式组 . 数轴标根法的基本思路是 :整理 ( 分 解)——标根——画线——选解.? 教学难点 1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.? 2.分式不等式与简单的高次不等式在转化为一次或二次不等式组时,每一步变形,都应是不等 式的等价变形.在等价变形时,要注意什么时候取交集,什么时候取并集.带等号的分式不等式, 要注意分母不能为零 .由于各个不等式组的解集是本组各不等式解集的交集 ,计算较繁,且容 易出错,同学们一定要细心.另外,在取交集、并集时,可以借助数轴的直观效果,这样可避免出 错.? 教具准备 多媒体及课件?? 三维目标 一、知识与技能? 1.巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、 解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系;? 2.能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组),正确地求出分式不等式的解集;? 3.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式;? 4.会利用一元二次不等式,对给定的与一元二次不等式有关的问题,尝试用一元二次不 等式解法与二次函数的有关知识解题.?? 二、过程与方法? 1.采用探究法,按照思考、交流、实验、观察、分析得出结论的方法进行启发式教学; 2.发挥学生的主体作用,作好探究性教学;? 3.理论联系实际,激发学生的学习积极性.?? 三、情感态度与价值观? 1.进一步提高学生的运算能力和思维能力;?

2.培养学生分析问题和解决问题的能力;? 3.强化学生应用转化的数学思想和分类讨论的数学思想.?? 教学过程 导入新课 师 上节课我们已经知道,一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的解和二次函数的图 象的关系.如果一个一元二次方程 ax 2+bx+c=0 有两个根 x1<x 2,则 x 1、x 2 就把实数(x 轴) 分成了三部分,要解 ax2+bx+c>0,就要找这三部分中使 ax 2+bx+c 大于 0 的部分;同样, 解 ax 2+bx+c<0,就是要找这三部分中使 ax2+bx+c 小于 0 的部分.解一元二次不等式的程序 是什么?? 生 (1)将二次项系数化为“+”:y=ax2+bx+c>0(或<0)(a>0).? (2)计算判别式 Δ,分析不等式的解的情况:? ①Δ>0 时,求根 x1<x2,若 y>0,则 x<x1 或 x>x2;? 若 y<0,则 x1<x<x2;? ②Δ=0 时,求根 x1=x 2=x0,若 y>0,则 x≠x0 的一切实数;? 若 y<0,则 x∈ ? ;? 若 y=0,则 x=x0;? ③Δ<0 时,方程无解,若 y>0,则 x∈R;? 若 y≤0,则 x∈ ? .? (3)写出解集.? 师 利用这种思想,我们来研究一元二次不等式的应用.? 【例 1】 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往 前滑行的距离)s m 和汽车车速 x km/h 有如下关系:?
[来源:学.科.网]

s?

1 1 2 x? x .? 20 180

在一次交通事故中, 测得这种车的刹车距离大于 39.5 m, 那么这辆汽车刹车前的车速至少为 多少?(精确到 0.01 km/h)? 生 由题设条件应列式为 0.? 推进新课? 师 因此这个问题实际就是解不等式 x2+9x-7 110>0 的问题.因为 Δ>0,方程?x2+9x-7 110=0

1 1 2 x? x >39.5 ,移项、整理、化简得不等式 x 2+9x-7 110> 20 180

有两个实数根,即 x1≈-88.94,x 2≈79.94.然后,画出二次函数 y=x 2+9x-7 110,由图象得不等式 的解集为{x|x<-88.94 或 x>79.94}. 在这个实际问题中 x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为 79.94 km/h.? 师 【例 2】 一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数 量 x(辆)与创造的价值 y(元)之间有如下的关系:y=-2x 2+220x.若这家工厂希望在一个 星期内利用这条流水线创收 6 000 元以上, 那么他在一星期内大约应该生产多少辆摩托车? ? 生 设在一星期内大约应该生产 x 辆摩托车.根据题意,能得到-2x2+220x>6 000.移项、整理 得 x2-110x+3 000<0.? [教师精讲]? 因为 Δ=100>0,所以方程 x2-110x+3 000=0 有两个实数根 x1=50,x2=60,然后,画出二次函数 y=x 2-110x+3 000,由图象得不等式的解集为{x|50<x<60}.因为只能取整数值,所以,当这条 摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在 51 到 59 辆之间时, 这家工厂能够获得 6 000 元以上的收益.? [知识拓展]? 【 例 3】 解不等式(x-1)(x+4)<0.? 思路一:利用前节的方法求解.? 思路二:由乘法运算的符号法则可知,若原不等式成立,则左边两个因式必须异号,? ∴原不等式的解集是下面两个不等式组 ?

? x ? 1>0, ? x ? 1<0 与? 的解集的并 集,即 ? x ? 4<0 ? x ? 4>0

? ? x ? 1>0 ? ? x ? 1<0 ? ? ? ? ∪{x|-4<x<1}={x|-4<x<1}.书写时可按下列格式: ?x ? ? U ?x ? x ? 4 > 0 x ? 4 < 0 ? ? ? ? ?
解:∵(x-1)(x+4)<0 ? ?

? x ? 1>0 ? x ? 1<0 或? ? x∈ ? 或-4<x<1 ? -4<x<1,? ? x ? 4<0 ? x ? 4>0

∴原不等式的解集是{x|-4<x<1}.? 思路三: 由于不等式的解与相应方程的根有关系, 因此可求其根并由相应的函数值的符号表 示出来即可求出不等式的解集.? 解:①求根:令(x-1)(x+4)=0,解得 x(从小到大排列)分别为-4,1,这两根将 x 轴分为三 部分: (-∞,-4) , (-4,1) , (1,+∞).? ②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号:

(-∞,-4) x+4 x-1 (x-1)(x+4) +

(-4,1) + -

(1,+∞) + + +

③由上表可知,原不等式的解集是{x|-4<x<1}.? 点评:此法叫区间法,解题步骤是:? ① 将 不 等 式 化 为 (x-x1)(x-x 2)…(x-xn) > 0( < 0) 的 形 式 ( 各 项 x 的 符 号 化 “+” ) , 令 (x-x
1)(x-x2)…(x-x n)=0,求出各根,不妨称之为分界点,一个分界点把(实数)数轴分成两部分,

两个分界点把数轴分成三部分……? ②按各根把实数分成的几部分,由小到大横向排列,相应各因式纵向排列(由对应较小根的 因式开始依次自上而下排列) ;? ③计算各区间内各因式的符号,下面是乘积的符号;? ④看下面积的符号写出不等式的解集(你会发现符号的规律吗).? 练习 1:解不等式:(1)x 2-5x-6>0;(2)(x-1)(x+2)(x-3)>0;(3)x(x-3)(2-x)(x+1)>0.? 答案:(1){x|x<2 或 x>3};(2){x|-2<x<1 或 x>3};(3){x|-1<x<0 或 2<x<3}.? 教师书写示范:如第(2)题:解不等式(x-1)(x+2)(x-3)>0.? 解:①检查各因式中 x 的符号均正;? ②求得相应方程的根为-2,1,3;? ③列表如下:? (-∞,-2) x+2 x-1 x-3 各因式积 (-2,1) + + (1,3) + + (3,+∞) + + + +

④由上表可知,原不等式的解集为{x|-2<x<1 或 x>3}.? 思路四: 上面的区间法实际上是把看相应函数图象上使 y<0 或 y>0 的 x 的部分数值化列成 表了,我们试想若能画出图象(此时我们只注意 y 值的正负不注意其他方面) ,那么它相对 于 x 轴的位置应是什么呢?可把表上各部分函数值的正负情况用下图表示, 由图即可写出不 等式的解集.?

由此看出,如果不像上面那样列表,就用这种方法也可以求这个不等式的解.你能总结一下 用这种方法解不等式的规律吗?? ①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0(<0)的形式,并将各因式 x 的系数化“+”;? ②求根,并在数轴上表示出来;? ③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么) ;? ④若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在 x 轴上方的区间;若不等式是“<0”,则 找“线”在 x 轴下方的区间.? 这种方法叫 数轴标根法.? 练习 2:用数轴标根法解上述练习 1 中不等式(1)~(3).? 教师书写示范:如第(2)题:解不等式 x( x-3)(2-x)(x+1)>0.? 解:①将原不等式化为 x(x-3)(x-2)(x+1)<0;? ②求得相应方程的根为-1,0,2,3;?

③在数轴上表示各根并穿线(自右上方开始) ,如右图:? ④原不等式的解集为{x|-1<x<0 或 2<x<3}.? [合作探究]? 师【例 4】 解不等式: (x-2)2(x-3)3(x+1)<0.? 解:①检查各因式中 x 的符号均正;? ②求得相应方程的根为-1,2,3(注意:2 是二重根,3 是三重根) ;?
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

③在数轴上表示各根并穿线,每个根穿一次(自右上方开始) ,如下图:?

④原不等式的解集为{x|-1<x<2 或 2<x<3}.? 说明:∵3 是三重根,∴在 C 处穿三次,2 是二重根.? ∴在?B 处穿两次,结果相当于没穿.由此看出,当左侧 f(x)有相同因式(x-x 1)n,n 为奇数时, 曲线在 x 1 点处穿过数轴;n 为偶数时,曲线在 x 1 点处不穿过数轴,不妨归纳为“奇穿偶? 不穿”.? 【练习 3】 解不等式:(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)≤0.?

解:①将原不等式化为(x-3)(x+1)(x+2)2≤0;? ②求得相应方程的根为-2(二重) ,-1,3;? ③在数轴上表示各根并穿线,如右图:?

④原不等式的解集是{x|-1≤x≤3 或 x=-2}.? 点评:注意不等式若带“=”,点画为实心,解集边界处应有等号;另外,线虽不穿-2 点 ,但 x=-2 满足“=”的条件,不能漏掉.? [教师精讲]? 师 由分式方程的定义不难联想到:分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式 . 例如

x?3 x 2 ? 3x ? 2 <0 , 2 ? 0 等都是分式不等式.? x?7 x ? 2x ? 3
师 分式不等式的解法.?
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

由不等式的性质易知:不等式两边同乘以正数,不等号方向不变;不等式两边同乘以负数, 不等号方向要变;分母中有未知数 x,不等式两边同乘以一个含 x 的式子,它的正负不知, 不等号方向无法确定,无从解起,若讨论分母的正负,再解也可以,但太复杂.因此,解分 式不等式,切忌去分母.? 解法是:移项、通分,右边化为 0,左边化为 f(x)[]g(x)的形式.? 【例 5】 解不等式:

x?3 <0 .? x?7

解法一:化为两个不等式组来解.? ∵

? x ? 3>0 ? x ? 3<0 x?3 <0 ? ? 0 或? ∴原不等式的解集 ? x∈ ? 或-7<x<3-7<x<3, x?7 ? x ? 7<0 ? x ? 7>0

是{x|-7<x< 3}.? 解法二:化为二次不等式来解.? ∵

?( x ? 3)(x ? 7)<0 x?3 <0 ? ? ? -7<x<3,∴原不等式的解集是{x|-7<x<3}.? x?7 ?x ? 7 ? 0

点评:若本题带“=”,即(x-3)(x+7)≤0,则不等式解集中应注意 x≠-7 的条件,解集应是{x|-7 <x≤3}.? 【例 6】 解不等式:

x 2 ? 3x ? 2 ? 0 .? x 2 ? 2x ? 3

解法一:化为不等式组来解(较繁).?

?( x 2 ? 3x ? 2)(x 2 ? 2 x ? 3) ? 0 x 2 ? 3x ? 2 ? ? ?0 ? ? 2 解法二:∵ 2 x ? 2x ? 3 ? ?x ? 2x ? 3 ? 0

?( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3)(x ? 1) ? 0, ? ?( x ? 3)(x ? 1) ? 0,
∴原不等式的解集为{x|-1<x≤1 或 2≤x<3}.? 练习:解不等式

x?3 >2 .? x?5

答案:{x|-13<x<-5}.? [方法引导]? 讲练结合法? 通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题 和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形.? 上述过程以学生自主探究为主,教师起引导作用,充分体现学生的主体作用,新课程的 理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用,激起学生学习的兴趣,勇于探索 的精神.?? 课堂小结 1.关于一元二次不等式的实际应用题,要注意其实际意义.? 2.求解一般的高次不等式的解法.? 特殊的高次不等式即右边化为 0,左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式,一般用 区间法解,注意:①左边各因式中 x 的系数化为“+”,若有因式为二次的(不能再分解了) 二次项系数也化为“+”,再按我们总结的规律做;②注意边界点(数 轴上表示时是“。”还是 “ .”).? 3. 分式不等式,切忌去分母,一律移项通分化为
[来源:学科网]

f ( x) f ( x) >0 (或 <0 的形式,转化为 g ( x) g ( x)

? f ( x) g ( x)>0, ? f ( x) g ( x)<0, , (或 ? ,即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式.?? ? g ( x ) ? 0 g ( x ) ? 0 ? ?
布置作业 完成第 90 页习题 3.2?A 组第 5、6 题,? 习题 3.2?B 组第 4 题.??

板书设计 一元二次不等式的解法的应用(一) 例题 例题 一元高次不等式解题步骤 备课资料 备用例题? 【例 1】 已知关于 x 的方程 2x 2+4mx+3m-1=0 有两个负数根,求实数 m 的取值范围.?? 探路:列出方程有两个负根的等价条件(不等式组) ,然后解不等式组.? 解:已知方程有两个负根的等价条件是? 练习

? ?? ? (4m) 2 ? 4 ? 2(3m ? 1) ? 0 ? ? ? x1 ? x2 ? ?2m<0 ? 3m ? 1 ? x1 x2 ? >0 2 ?
m≥1.?
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

? ?2m 2 ? 3m ? 1 ? 0 ? ? ?m>0 ? 1 ?m> 3 ?

1 ? m ? 或m ? 1 ? 1 1 ? 2 ? < m≤ 或 ? 3 2 ?m> 1 ? 3 ?

∴m 的取值范围是(

1 1 , ]∪ [1,+∞).? 3 2

点评:1.方程有两个负根包含两个负根相等的情形,故 Δ≥0,因此列成 Δ>0 是错误的.又若只 列成 Δ≥0 也是错误的,Δ≥0 只能保证方程有实根,而不能保证有两个负根,所以还要联立 x1x2>0,x 1+x 2<0 的条件.? 2.利用不等式讨论方程的根的情况,是不等式的重要应用.? 【例 2】 已知 A={x|x2-3x+2≤0},B={x|x2-(a+1)x+a ≤0}.? (1)若 B ? A,求 a 的取值范围;? (2)若 A∩B 是单元素集合,求 a 的取值范围.? 探路:先解不等式化简集合 A 和 B,再利用数轴表示两个集合的关系,求 a 的取值范围.?? 解:解不等式 x2-3x+2≤0 得 A= [1,2];而 B={x|(x-1)(x-a)≤0}.? (1)若 B ? A,如图 (1) ,得 a 的取值范围是 1≤a<2.?

(1) (2)若 A∩B 是单元素集合,如图(2) ,A∩B 只能是集合{1},?

(2) ∴a 的取值范围是 a≤1.? 点评:集合 B 的最简表示只能是 B={x|(x-1)(x-a)≤0},这是 因为不知道 a 与 1 的大小,不能表 示为最简洁的区间;此外,当 a=1 时,集合 B 是单元素集合,即 B={1},也不该表示为区 间.?


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