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第2章MATLAB矩阵及其运算21 变量和数据操作22 MATLAB矩阵23


第2章 MATLAB矩阵及其运算 章 矩阵及其运算 2.1 变量和数据操作 2.2 MATLAB矩阵 矩阵 2.3 MATLAB运算 运算 2.4 矩阵分析 2.5 字符串 2.6 结构数据和单元数据

2.1 变量和数据操作 2.1.1 变量与赋值 1.变量命名 . 在MATLAB 7.0中,变量名是以字母开头, 中 变量名是以字母开头, 后接字母、数字或下划线的字符序列, 后接字母、数字或下划线的字符序列,最 个字符。 多63个字符。在MATLAB中,变量名区分 个字符 中 字母的大小写。 字母的大小写。

2.赋值语句 . (1) 变量 表达式 变量=表达式 (2) 表达式 其中表达式是用运算符将有关运算量连接 起来的式子,其结果是一个矩阵。 起来的式子,其结果是一个矩阵。 如:a=1,b=2 , a+b

计算表达式的值,并显示计算结果。 例2-1 计算表达式的值,并显示计算结果。 命令窗口输入命令: 在MATLAB命令窗口输入命令: 命令窗口输入命令 x=1+2i; y=3-sqrt(17); z=(cos(abs(x+y))-sin(78*pi/180))/(x+abs(y)) 其中pi和 都是 都是MATLAB预先定义的变量, 预先定义的变量, 其中 和i都是 预先定义的变量 分别代表代表圆周率π和虚数单位 和虚数单位。 分别代表代表圆周率 和虚数单位。 输出结果是: 输出结果是: z= -0.3488 + 0.3286i

2.1.2 预定义变量 工作空间中, 在MATLAB工作空间中,还驻留几个由系统 工作空间中 本身定义的变量。例如, 表示圆周率π 本身定义的变量。例如,用pi表示圆周率 表示圆周率 的近似值, , 表示虚数单位 表示虚数单位。 的近似值,用i,j表示虚数单位。 预定义变量有特定的含义,在使用时, 预定义变量有特定的含义,在使用时,应 尽量避免对这些变量重新赋值。 尽量避免对这些变量重新赋值。

2.1.3 内存变量的管理 1.内存变量的删除与修改 . MATLAB工作空间窗口专门用于内存变量 工作空间窗口专门用于内存变量 的管理。 的管理。在工作空间窗口中可以显示所有 内存变量的属性。当选中某些变量后, 内存变量的属性。当选中某些变量后,再 单击Delete按钮,就能删除这些变量。当选 按钮, 单击 按钮 就能删除这些变量。 中某些变量后,再单击Open按钮,将进入 按钮, 中某些变量后,再单击 按钮 变量编辑器。 变量编辑器。通过变量编辑器可以直接观 察变量中的具体元素, 察变量中的具体元素,也可修改变量中的 具体元素。 具体元素。

clear命令用于删除 命令用于删除MATLAB工作空间中的变 命令用于删除 工作空间中的变 量。who和whos这两个命令用于显示在 和 这两个命令用于显示在 MATLAB工作空间中已经驻留的变量名清 工作空间中已经驻留的变量名清 命令只显示出驻留变量的名称, 单。who命令只显示出驻留变量的名称, 命令只显示出驻留变量的名称 whos在给出变量名的同时,还给出它们的 在给出变量名的同时, 在给出变量名的同时 大小、所占字节数及数据类型等信息。 大小、所占字节数及数据类型等信息。 练习: 练习: open、clear、who、whos 、 、 、

2.内存变量文件 . 利用MAT文件可以把当前 文件可以把当前MATLAB工作空 利用 文件可以把当前 工作空 间中的一些有用变量长久地保留下来, 间中的一些有用变量长久地保留下来,扩 展名是.mat。MAT文件的生成和装入由 展名是 。 文件的生成和装入由 save和load命令来完成。常用格式为: 命令来完成。 和 命令来完成 常用格式为: save 文件名 [变量名表 [-append][-ascii] 变量名表] 变量名表 load 文件名 [变量名表 [-ascii] 变量名表] 变量名表

其中,文件名可以带路径,但不需带扩展 其中,文件名可以带路径, 文件进行操作。 名.mat,命令隐含一定对 ,命令隐含一定对.mat文件进行操作。 文件进行操作 变量名表中的变量个数不限, 变量名表中的变量个数不限,只要内存或 文件中存在即可,变量名之间以空格分隔。 文件中存在即可,变量名之间以空格分隔。 当变量名表省略时,保存或装入全部变量。 当变量名表省略时,保存或装入全部变量。 -ascii选项使文件以 选项使文件以ASCII格式处理,省略 格式处理, 选项使文件以 格式处理 该选项时文件将以二进制格式处理。 该选项时文件将以二进制格式处理。save命 命 令中的-append选项控制将变量追加到 选项控制将变量追加到MAT 令中的 选项控制将变量追加到 文件中。 文件中。 练习:熟悉 练习:熟悉save和load命令 和 命令

2.1.4 MATLAB常用数学函数 常用数学函数 MATLAB提供了许多数学函数,函数的自 提供了许多数学函数, 提供了许多数学函数 变量规定为矩阵变量, 变量规定为矩阵变量,运算法则是将函数逐 项作用于矩阵的元素上, 项作用于矩阵的元素上,因而运算的结果是 一个与自变量同维数的矩阵。 一个与自变量同维数的矩阵。 函数使用说明: 函数使用说明: (1) 三角函数以弧度为单位计算。sin(pi/2) 三角函数以弧度为单位计算。 (2) abs函数可以求实数的绝对值、复数的模、 函数可以求实数的绝对值、 函数可以求实数的绝对值 复数的模、 字符串的ASCII码值。 码值。 字符串的 码值 (3) 用于取整的函数有fix、floor、ceil、 用于取整的函数有 、 、 、 round,要注意它们的区别。 ,要注意它们的区别。 (4) rem与mod函数的区别。rem(x,y)和 函数的区别。 与 函数的区别 和 mod(x,y)要求 必须为相同大小的实矩阵 要求x,y必须为相同大小的实矩阵 要求 或为标量。 或为标量。

2.1.5 数据的输出格式 MATLAB用十进制数表示一个常数,具 用十进制数表示一个常数, 用十进制数表示一个常数 体可采用日常记数法和科学记数法两种表示 方法。 方法。 在一般情况下, 在一般情况下,MATLAB内部每一个数 内部每一个数 据元素都是用双精度数来表示和存储的。 据元素都是用双精度数来表示和存储的。数 据输出时用户可以用format命令设置或改变 据输出时用户可以用 命令设置或改变 数据输出格式。 命令的格式为: 数据输出格式。format命令的格式为: 命令的格式为 format 格式符 其中格式符决定数据的输出格式 %如long、short、hex、rat(输出有理数) 如 、 、 、 (输出有理数)

2.2 MATLAB矩阵 矩阵 2.2.1 矩阵的建立 1.直接输入法 . 最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接 输入矩阵的元素。具体方法如下: 输入矩阵的元素。具体方法如下:将矩阵 的元素用方括号括起来, 的元素用方括号括起来,按矩阵行的顺序 输入各元素, 输入各元素,同一行的各元素之间用空格 或逗号分隔, 或逗号分隔,不同行的元素之间用分号分 隔。

2.利用M文件建立矩阵 .利用 文件建立矩阵 对于比较大且比较复杂的矩阵, 对于比较大且比较复杂的矩阵,可以为 它专门建立一个M文件 文件。 它专门建立一个 文件。下面通过一个简 单例子来说明如何利用M文件创建矩阵 文件创建矩阵。 单例子来说明如何利用 文件创建矩阵。

利用M文件建立 文件建立MYMAT矩阵。 矩阵。 例2-2 利用 文件建立 矩阵 (1) 启动有关编辑程序或 启动有关编辑程序或MATLAB文本编辑 文本编辑 并输入待建矩阵: 器,并输入待建矩阵: (2) 把输入的内容以纯文本方式存盘(设文 把输入的内容以纯文本方式存盘 设文 件名为mymatrix.m)。 件名为 。 (3) 在MATLAB命令窗口中输入 命令窗口中输入mymatrix, 命令窗口中输入 , 即运行该M文件 文件, 即运行该 文件,就会自动建立一个名为 MYMAT的矩阵,可供以后使用。 的矩阵, 的矩阵 可供以后使用。

? 3.利用txt文件建立矩阵 .利用 文件建立矩阵 利用文本编辑生成。注意提示: 文件 利用文本编辑生成。注意提示:txt文件 中不含变量名称,文件名即为矩阵变量名, 中不含变量名称,文件名即为矩阵变量名, 每行的个数必须相等。 每行的个数必须相等。 txt矩阵的调用 矩阵的调用: 矩阵的调用
load 文件名 文件名.txt 文件名↙ 文件名↙

练习:利用 文件建立矩阵 练习:利用txt文件建立矩阵

4.利用冒号表达式建立一个向量 . 冒号表达式可以产生一个行向量, 冒号表达式可以产生一个行向量,一般格式 是: e1:e2:e3 其中e1为初始值 为初始值, 为步长 为步长, 为终止值 为终止值。 其中 为初始值,e2为步长,e3为终止值。 在MATLAB中,还可以用 中 还可以用linspace函数产生行 函数产生行 向量。其调用格式为: 向量。其调用格式为: linspace(a,b,n) 其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元 其中 和 是生成向量的第一个和最后一个元 是元素总数。 素,n是元素总数。 是元素总数 显然, 等价。 显然,linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价。 与 等价 请体会! 请体会 5.建立大矩阵 . 大矩阵可由方括号中的小矩阵或向量建立起来。 大矩阵可由方括号中的小矩阵或向量建立起来。 如:A=[a,a] %a为矩阵

2.2.2 矩阵的拆分 1.矩阵元素 . 通过下标引用矩阵的元素, 通过下标引用矩阵的元素,例如 A(3,2)=200 采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。 采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。矩阵元素 的序号就是相应元素在内存中的排列顺序。 的序号就是相应元素在内存中的排列顺序。在 MATLAB中,矩阵元素按列存储,先第一列,再 中 矩阵元素按列存储,先第一列, 第二列,依次类推。 第二列,依次类推。例如 A=[1,2,3;4,5,6]; A(3) 显然,序号(Index)与下标 与下标(Subscript )是一一对应 显然,序号 与下标 是一一对应 矩阵A为例 的,以m×n矩阵 为例,矩阵元素 × 矩阵 为例,矩阵元素A(i,j)的序号为 的序号为 (j-1)*m+i。其相互转换关系也可利用 。其相互转换关系也可利用sub2ind和 和 ind2sub函数求得。 函数求得。 函数求得 思考:这两个命令怎么用? 思考:这两个命令怎么用?

2.矩阵拆分 . (1) 利用冒号表达式获得子矩阵 表示取A矩阵的第 列全部元素; 表示A矩 ① A(:,j)表示取 矩阵的第 列全部元素;A(i,:)表示 矩 表示取 矩阵的第j列全部元素 表示 阵第i行的全部元素 行的全部元素; 表示取A矩阵第 阵第 行的全部元素;A(i,j)表示取 矩阵第 行、第j列的元 表示取 矩阵第i行 列的元 素。 表示取A矩阵第 行的全部元素; ② A(i:i+m,:)表示取 矩阵第 ~i+m行的全部元素; 表示取 矩阵第i~ 行的全部元素 A(:,k:k+m)表示取 矩阵第k~k+m列的全部元素, 表示取A矩阵第 ~ 列的全部元素, 表示取 矩阵第 列的全部元素 A(i:i+m,k:k+m)表示取 矩阵第 ~i+m行内,并在第 ~ 表示取A矩阵第 行内, 表示取 矩阵第i~ 行内 并在第k~ k+m列中的所有元素。 列中的所有元素。 列中的所有元素 此外,还可利用一般向量和end运算符来表示矩阵下 此外,还可利用一般向量和 运算符来表示矩阵下 从而获得子矩阵。 表示某一维的末尾元素下标。 标,从而获得子矩阵。end表示某一维的末尾元素下标。 表示某一维的末尾元素下标 可以理解为: 可以理解为 end表示矩阵的行数 表示矩阵的行数

(2) 利用空矩阵删除矩阵的元素 为空矩阵。 在MATLAB中,定义 为空矩阵。给变 中 定义[]为空矩阵 赋空矩阵的语句为X=[]。注意,X=[]与 量X赋空矩阵的语句为 赋空矩阵的语句为 。注意, 与 clear X不同,clear是将 从工作空间中删 不同, 是将X从工作空间中删 不同 是将 而空矩阵则存在于工作空间中, 除,而空矩阵则存在于工作空间中,只是 维数为0。 维数为 。

2.2.3 特殊矩阵 1.通用的特殊矩阵 . 常用的产生通用特殊矩阵的函数有: 常用的产生通用特殊矩阵的函数有: zeros:产生全 矩阵 零矩阵 。 矩阵(零矩阵 :产生全0矩阵 零矩阵)。 ones:产生全 矩阵 幺矩阵 。 矩阵(幺矩阵 :产生全1矩阵 幺矩阵)。 eye:产生单位矩阵。 :产生单位矩阵。 rand:产生 ~1间均匀分布的随机矩阵。 间均匀分布的随机矩阵。 :产生0~ 间均匀分布的随机矩阵 randn:产生均值为 ,方差为 的标准正态 :产生均值为0,方差为1的标准正态 分布随机矩阵。 分布随机矩阵。

分别建立3× 、 × 和与矩阵 和与矩阵A同样大小的 例2-3 分别建立 ×3、3×2和与矩阵 同样大小的 零矩阵。 零矩阵。 (1) 建立一个 ×3零矩阵。 建立一个3× 零矩阵 零矩阵。 zeros(3) (2) 建立一个 ×2零矩阵。 建立一个3× 零矩阵 零矩阵。 zeros(3,2) (3) 设A为2×3矩阵,则可以用 矩阵, 为 × 矩阵 则可以用zeros(size(A))建立 建立 一个与矩阵A同样大小零矩阵 同样大小零矩阵。 一个与矩阵 同样大小零矩阵。 A=[1 2 3;4 5 6]; %产生一个 ×3阶矩阵 产生一个2× 阶矩阵 阶矩阵A 产生一个 zeros(size(A)) %产生一个与矩阵 同样大小的 产生一个与矩阵A同样大小的 产生一个与矩阵 零矩阵

建立随机矩阵: 例2-4 建立随机矩阵: (1) 在区间 在区间[20,50]内均匀分布的 阶随机矩阵。 内均匀分布的5阶随机矩阵 内均匀分布的 阶随机矩阵。 (2) 均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵。 均值为 、方差为 的 阶正态分布随机矩阵。 阶正态分布随机矩阵 命令如下: 命令如下: x=20+(50-20)*rand(5) y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5) 此外,常用的函数还有reshape(A,m,n),它在矩 此外,常用的函数还有 , 阵总元素保持不变的前提下,将矩阵A重新排成 阵总元素保持不变的前提下,将矩阵 重新排成 m×n的二维矩阵。 的二维矩阵。 × 的二维矩阵

? 2.用于专门学科的特殊矩阵 . (1)魔方矩阵 magic(n) ) diag(v,k) (2)对角阵 ) ( , ) tril(A) (3)三角阵 ) ( ) (4)希尔伯特(Hilbert)矩阵 hilb(n) )希尔伯特( ) 逆希尔伯特矩阵 invhilb(n) %求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵 求 阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵 (5)托普利兹(Toeplitz)矩阵 toeplitz(x); )托普利兹( ) ; toeplitz(x,y) 以上矩阵的调用格式参见P46-49。 以上矩阵的调用格式参见 。

? 例2-6 求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。 阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。 阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵 命令如下: 命令如下: format rat %以有理形式输出 以有理形式输出 H=hilb(4) H=invhilb(4)

补充: 补充: ? (6)范得蒙(Vandermonde)矩阵 )范得蒙( ) A=vander(B); %如 A=vander([1;2;3;5]) ; 如 ? 范得蒙(Vandermonde)矩阵最后一列全 范得蒙 矩阵最后一列全 为1,倒数第二列为一个指定的向量,其他 ,倒数第二列为一个指定的向量, 各列是其后列与倒数第二列的点乘积。 各列是其后列与倒数第二列的点乘积。可 以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。 以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。 在MATLAB中,函数 中 函数vander(V)生成以向量 生成以向量 V为基础向量的范得蒙矩阵。例如, 为基础向量的范得蒙矩阵。 为基础向量的范得蒙矩阵 例如, A=vander([1;2;3;5])即可得到上述范得蒙 即可得到上述范得蒙 矩阵。 矩阵。

? (7)伴随矩阵 ) ? MATLAB生成伴随矩阵的函数是 生成伴随矩阵的函数是 compan(p),其中 是一个多项式的系数向 ,其中p是一个多项式的系数向 高次幂系数排在前,低次幂排在后。 量,高次幂系数排在前,低次幂排在后。 例如,为了求多项式的x3-7x+6的伴随矩阵, 的伴随矩阵, 例如,为了求多项式的 的伴随矩阵 可使用命令: 可使用命令: ? p=[1,0,-7,6]; ? compan(p)

? (8)帕斯卡(Pascal)矩阵 )帕斯卡( ) ? 我们知道,二次项(x+y)n展开后的系数随 的 我们知道,二次项 展开后的系数随n的 展开后的系数随 增大组成一个三角形表,称为杨辉三角形。 增大组成一个三角形表,称为杨辉三角形。由杨 辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡(Pascal)矩阵。 矩阵。 辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡 矩阵 函数pascal(n)生成一个 阶帕斯卡矩阵。 生成一个n阶帕斯卡矩阵 函数 生成一个 阶帕斯卡矩阵。 ? 例2-7 求(x+y)5的展开式。 的展开式。 的展开式 ? 命令窗口, 在MATLAB命令窗口,输入命令: 命令窗口 输入命令: ? pascal(6) 思考:为什么是6? 思考:为什么是 ? ? 矩阵次对角线上的元素1,5,10,10,5,1即为展开 矩阵次对角线上的元素 即为展开 式的系数。 式的系数。

2.3

MATLAB运算 MATLAB运算

2.3.1算术运算 算术运算 1.基本算术运算 . MATLAB的基本算术运算有:+ 加)、 的基本算术运算有:+ 的基本算术运算有:+(加 、 -(减)、*(乘)、/(右除 、\(左除 、^(乘方 。 减 、 乘 、 右除)、 左除)、 乘方)。 右除 左除 乘方 注意,运算是在矩阵意义下进行的,单个 注意,运算是在矩阵意义下进行的, 数据的算术运算只是一种特例。 数据的算术运算只是一种特例。

?

(1) 矩阵加减运算 A+B A-B 要求:维数相同, 要求:维数相同,则A和B矩阵的相应元 和 矩阵的相应元 素相加减

?

(2) 矩阵乘法 A)两个矩阵相乘 A*B ) 要求: 的列数和 的列数和B的行数相等 要求:A的列数和 的行数相等 B)矩阵的数乘 x*A %x与A的各个元素分别相 ) 与 的各个元素分别相 乘 C)点乘 A.*B ) 要求:维数相同的向量或矩阵, 要求:维数相同的向量或矩阵,对应元素对应相乘 D)内积 dot(A,B); );dot(A,B, ) ( , ); ( , , dim) % A×B=ATB ) × 要求:向量长度或矩阵维数相同(同为m 维阵)。 要求:向量长度或矩阵维数相同(同为 x n维阵)。 维阵

E)叉积 ) cross(A,B); );cross(A,B,dim) ( , ); ( , , ) F)混合积 X=a.(b x c) ) ( ) G)卷积多项式乘法 w=conv(u,v) ) ( , ) P=ploy2str(w,’s’) %将卷积 表示成 的多项式 将卷积w表示成 ( , ) 将卷积 表示成s的多项式 H)解卷多项式除法 [q,r]=deconv(v,u) ) , ( , ) I)张量积 C=kron(A,B) %Amxn,Bpxq, ) ( , ) , , 不同维矩阵的相乘

?

(3) 矩阵除法

在MATLAB中,有两种矩阵除法运算:\和/,分别表 中 有两种矩阵除法运算: 和 , 示左除和右除。如果A矩阵是非奇异方阵 矩阵是非奇异方阵, 示左除和右除。如果 矩阵是非奇异方阵,则A\B和B/A 和 运算可以实现。 运算可以实现。 A\B等效于 矩阵的逆左乘 矩阵,也就是 等效于A矩阵的逆左乘 矩阵, 等效于 矩阵的逆左乘B矩阵 也就是inv(A)*B, , 相当于A*x = B的解; 相当于 的解; 的解 ? B/A等效于 矩阵的逆右乘B矩阵,也就是B*inv(A), 等效于A矩阵的逆右乘 矩阵,也就是 , 等效于 矩阵的逆右乘 矩阵 相当于x*A = B的解。 的解。 相当于 的解 ? 注意:对于含有标量的运算,两种除法运算的结果相同, 注意:对于含有标量的运算,两种除法运算的结果相同, 有相同的值, 如3/4和4\3有相同的值,都等于 和 有相同的值 都等于0.75。 。 如,设a=[10.5,25],则a/5=5\a=[2.1000 5.0000]。对于矩 , 。 阵来说, 阵来说,左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被除数矩 阵的关系。对于矩阵运算,一般A\B≠B/A。 阵的关系。对于矩阵运算,一般 。

(4) 矩阵的乘方 一个矩阵的乘方运算可以表示成A^x,要 一个矩阵的乘方运算可以表示成 , 求A为方阵,x为标量。 为方阵, 为标量。 为方阵 为标量 2.点运算 . 在MATLAB中,有一种特殊的运算,因 中 有一种特殊的运算, 为其运算符是在有关算术运算符前面加点, 为其运算符是在有关算术运算符前面加点, 所以叫点运算。点运算符有.*、 、 和 。 所以叫点运算。点运算符有 、./、.\和.^。 两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进 行相关运算,要求两矩阵的维参数相同。 行相关运算,要求两矩阵的维参数相同。

2.3.2 关系运算 MATLAB提供了 种关系运算符:<(小 提供了6种关系运算符 提供了 种关系运算符: 小 小于或等于)、 大于 大于)、 大于或 于)、<=(小于或等于 、>(大于 、>=(大于或 、 小于或等于 等于)、 等于 、~=(不等于 等于)、~ 不等于)。 等于 、==(等于 、~ 不等于 。它们的含 义不难理解, 义不难理解,但要注意其书写方法与数学 中的不等式符号不尽相同。 中的不等式符号不尽相同。

关系运算符的运算法则为: 关系运算符的运算法则为: (1) 当两个比较量是标量时,直接比较两 当两个比较量是标量时, 数的大小。若关系成立,关系表达式结果 数的大小。若关系成立, 为1,否则为 。 ,否则为0。 (2) 当参与比较的量是两个维数相同的矩 阵时, 阵时,比较是对两矩阵相同位置的元素按 标量关系运算规则逐个进行, 标量关系运算规则逐个进行,并给出元素 比较结果。最终的关系运算的结果是一个 比较结果。 维数与原矩阵相同的矩阵,它的元素由0或 维数与原矩阵相同的矩阵,它的元素由 或 1组成。 组成。 组成

(3) 当参与比较的一个是标量,而另一个是 当参与比较的一个是标量, 矩阵时, 矩阵时,则把标量与矩阵的每一个元素按 标量关系运算规则逐个比较, 标量关系运算规则逐个比较,并给出元素 比较结果。 比较结果。最终的关系运算的结果是一个 维数与原矩阵相同的矩阵,它的元素由0或 维数与原矩阵相同的矩阵,它的元素由 或 1组成。 组成。 组成

产生5阶随机方阵 阶随机方阵A,其元素为[10,90]区间 例2-8 产生 阶随机方阵 ,其元素为 区间 的随机整数,然后判断A的元素是否能被 整除。 的元素是否能被3整除 的随机整数,然后判断 的元素是否能被 整除。 (1) 生成 阶随机方阵 。 生成5阶随机方阵 阶随机方阵A。 A=fix((90-10+1)*rand(5)+10) (2) 判断 的元素是否可以被 整除。 判断A的元素是否可以被 整除。 的元素是否可以被3整除 P=rem(A,3)==0 其中, 是矩阵A的每个元素除以 其中,rem(A,3)是矩阵 的每个元素除以 的余数 是矩阵 的每个元素除以3的余数 矩阵。此时, 被扩展为与 同维数的零矩阵, 被扩展为与A同维数的零矩阵 矩阵。此时,0被扩展为与 同维数的零矩阵,P 是进行等于(==)比较的结果矩阵。 比较的结果矩阵。 是进行等于 比较的结果矩阵

2.3.3 逻辑运算 MATLAB提供了 种逻辑运算符:&(与)、|(或)和~(非)。 提供了3种逻辑运算符 提供了 种逻辑运算符: 与 、 或 和 非 。 逻辑运算的运算法则为: 逻辑运算的运算法则为: (1) 在逻辑运算中,确认非零元素为真,用1表示,零元 在逻辑运算中,确认非零元素为真, 表示 表示, 素为假, 表示 表示。 素为假,用0表示。 (2) 设参与逻辑运算的是两个标量 和b,那么, 设参与逻辑运算的是两个标量a和 ,那么, a&b a,b全为非零时,运算结果为 ,否则为 。 全为非零时, 全为非零时 运算结果为1,否则为0。 a|b a,b中只要有一个非零,运算结果为 。 中只要有一个非零, 中只要有一个非零 运算结果为1。 是零时, 非零时, ~a 当a是零时,运算结果为 ;当a非零时,运算结果 是零时 运算结果为1; 非零时 为0。 。

(3) 若参与逻辑运算的是两个同维矩阵,那么运 若参与逻辑运算的是两个同维矩阵, 算将对矩阵相同位置上的元素按标量规则逐个进 最终运算结果是一个与原矩阵同维的矩阵, 行。最终运算结果是一个与原矩阵同维的矩阵, 其元素由1或 组成 组成。 其元素由 或0组成。 (4) 若参与逻辑运算的一个是标量,一个是矩阵, 若参与逻辑运算的一个是标量,一个是矩阵, 那么运算将在标量与矩阵中的每个元素之间按标 量规则逐个进行。 量规则逐个进行。最终运算结果是一个与矩阵同 维的矩阵,其元素由1或 组成 组成。 维的矩阵,其元素由 或0组成。

(5) 逻辑非是单目运算符,也服从矩阵运算 逻辑非是单目运算符, 规则。 规则。 (6) 在算术、关系、逻辑运算中,算术运算 在算术、关系、逻辑运算中, 优先级最高,逻辑运算优先级最低。 优先级最高,逻辑运算优先级最低。

建立矩阵A,然后找出大于4的元素的 例2-9 建立矩阵 ,然后找出大于 的元素的 位置。 位置。 (1) 建立矩阵 。 建立矩阵A。 A=[4,-65,-54,0,6;56,0,67,-45,0] (2) 找出大于 的元素的位置。 找出大于4的元素的位置 的元素的位置。 find(A>4)

2.4 矩阵分析
2.4.1 矩阵的转置与旋转 1.矩阵的转置 . 转置运算符是单撇号(‘)。 转置运算符是单撇号 。 2.矩阵的旋转 . 利用函数rot90(A,k)将矩阵 旋转 的k倍, 将矩阵A旋转 利用函数 将矩阵 旋转90?的 倍 时可省略。 当k为1时可省略。 为 时可省略

3.矩阵的左右翻转 . 对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列 和最后一列调换, 和最后一列调换,第二列和倒数第二列调 对矩阵A实 换,…,依次类推。MATLAB对矩阵 实 ,依次类推。 对矩阵 施左右翻转的函数是fliplr(A)。 施左右翻转的函数是 。 4.矩阵的上下翻转 . MATLAB对矩阵 实施上下翻转的函数是 对矩阵A实施上下翻转的函数是 对矩阵 flipud(A)。 。

2.4.2 矩阵的逆与伪逆 1.矩阵的逆 .
对于一个方阵A,如果存在一个与其同阶的方阵 ,使得: 对于一个方阵 ,如果存在一个与其同阶的方阵B,使得: A·B=B·A=I (I为单位矩阵 为单位矩阵) 为单位矩阵 则称B为 的逆矩阵 当然, 也是 的逆矩阵。 的逆矩阵, 也是B的逆矩阵 则称 为A的逆矩阵,当然,A也是 的逆矩阵。 求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作,容易出错, 求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作,容易出错,但在 MATLAB中,求一个矩阵的逆非常容易。求方阵 的逆矩 中 求一个矩阵的逆非常容易。求方阵A的逆矩 阵可调用函数inv(A)。 阵可调用函数 。 用求逆矩阵的方法解线性方程组。 例2-10 用求逆矩阵的方法解线性方程组。 Ax=b 其解为: 其解为: x=A-1b

2.矩阵的伪逆 . 如果矩阵A不是一个方阵 或者A是一个非满秩的 不是一个方阵, 如果矩阵 不是一个方阵,或者 是一个非满秩的 方阵时,矩阵A没有逆矩阵 但可以找到一个与A 没有逆矩阵, 方阵时,矩阵 没有逆矩阵,但可以找到一个与 的转置矩阵A‘同型的矩阵 同型的矩阵B,使得: 的转置矩阵 同型的矩阵 ,使得: A·B·A=A B·A·B=B 此时称矩阵B为矩阵 的伪逆,也称为广义逆矩阵。 为矩阵A的伪逆 此时称矩阵 为矩阵 的伪逆,也称为广义逆矩阵。 在MATLAB中,求一个矩阵伪逆的函数是 中 pinv(A)。 。

2.4.3 方阵的行列式 把一个方阵看作一个行列式, 把一个方阵看作一个行列式,并对其按行 列式的规则求值, 列式的规则求值,这个值就称为矩阵所对 应的行列式的值。 应的行列式的值。在MATLAB中,求方阵 中 A所对应的行列式的值的函数是 所对应的行列式的值的函数是det(A)。 所对应的行列式的值的函数是 。

2.4.4 矩阵的秩与迹 1.矩阵的秩 . 矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。 矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。 在MATLAB中,求矩阵秩的函数是 中 求矩阵秩的函数是rank(A)。 。 2.矩阵的迹 . 矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和,也 矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和, 等于矩阵的特征值之和。 等于矩阵的特征值之和。在MATLAB中, 中 求矩阵的迹的函数是trace(A)。 求矩阵的迹的函数是 。

2.4.5 矩阵的特征值与特征向量 在MATLAB中,计算矩阵 的特征值和特 中 计算矩阵A的特征值和特 征向量的函数是eig(A),常用的调用格式有 征向量的函数是 , 3种: 种 (1) E=eig(A):求矩阵 的全部特征值,构 的全部特征值, :求矩阵A的全部特征值 成向量E。 成向量 。 (2) [V,D]=eig(A):求矩阵 的全部特征值, 的全部特征值, :求矩阵A的全部特征值 构成对角阵D,并求A的特征向量构成 的特征向量构成V的 构成对角阵 ,并求 的特征向量构成 的 列向量。 列向量。

(3) [V,D]=eig(A,‘nobalance’):与第 种格式 :与第2种格式 类似,但第2种格式中先对 种格式中先对A作相似变换后 类似,但第 种格式中先对 作相似变换后 求矩阵A的特征值和特征向量 而格式3直 的特征值和特征向量, 求矩阵 的特征值和特征向量,而格式 直 接求矩阵A的特征值和特征向量 的特征值和特征向量。 接求矩阵 的特征值和特征向量。

用求特征值的方法解方程。 例2-11 用求特征值的方法解方程。 3x5-7x4+5x2+2x-18=0 p=[3,-7,0,5,2,-18]; A=compan(p); %A的伴随矩阵 的伴随矩阵 x1=eig(A) %求A的特征值 求 的特征值 x2=roots(p) %直接求多项式 的零 直接求多项式p的零 直接求多项式 点

2.5 字符串
在MATLAB中,字符串是用单撇号括起来的 中 字符序列。 字符序列。 MATLAB将字符串当作一个行向量,每个 将字符串当作一个行向量, 将字符串当作一个行向量 元素对应一个字符, 元素对应一个字符,其标识方法和数值向 量相同。也可以建立多行字符串矩阵。 量相同。也可以建立多行字符串矩阵。

字符串是以ASCII码形式存储的。abs和 码形式存储的。 和 字符串是以 码形式存储的 double函数都可以用来获取字符串矩阵所对 函数都可以用来获取字符串矩阵所对 应的ASCII码数值矩阵。相反,char函数可 码数值矩阵。 应的 码数值矩阵 相反, 函数可 以把ASCII码矩阵转换为字符串矩阵。 码矩阵转换为字符串矩阵。 以把 码矩阵转换为字符串矩阵

建立一个字符串向量, 例2-12 建立一个字符串向量,然后对该向量 做如下处理: 做如下处理: (1) 取第 ~5个字符组成的子字符串。 取第1~ 个字符组成的子字符串 个字符组成的子字符串。 (2) 将字符串倒过来重新排列。 将字符串倒过来重新排列。 (3) 将字符串中的小写字母变成相应的大写 字母,其余字符不变。 字母,其余字符不变。 (4) 统计字符串中小写字母的个数。 统计字符串中小写字母的个数。

命令如下: 命令如下: ch=‘ABc123d4e56Fg9’; subch=ch(1:5) %取子字符串 取子字符串 revch=ch(end:-1:1) %将字符串倒排 将字符串倒排 k=find(ch>=‘a’&ch<=‘z’); %找小写字母的位置 %找小写字母的位置 ch(k)=ch(k)-(‘a’-‘A’); %将小写字母变成相应 将小写字母变成相应 的大写字母 char(ch) length(k) %统计小写字母的个数 统计小写字母的个数

与字符串有关的另一个重要函数是eval,其调用 与字符串有关的另一个重要函数是 , 格式为: 格式为: eval(t) 其中t为字符串 为字符串。 其中 为字符串。它的作用是把字符串的内容作为对 应的MATLAB语句来执行。 语句来执行。 应的 语句来执行

2.6

结构数据和单元数据

2.6.1 结构数据 1.结构矩阵的建立与引用 . 结构矩阵的元素可以是不同的数据类型, 结构矩阵的元素可以是不同的数据类型,它能将 一组具有不同属性的数据纳入到一个统一的变量 名下进行管理。 名下进行管理。建立一个结构矩阵可采用给结构 成员赋值的办法。具体格式为: 成员赋值的办法。具体格式为: 结构矩阵名.成员名 成员名=表达式 结构矩阵名 成员名 表达式 其中表达式应理解为矩阵表达式。 其中表达式应理解为矩阵表达式。 如:student=rmfield(student,'age');

2.结构成员的修改 . 可以根据需要增加或删除结构的成员。 可以根据需要增加或删除结构的成员。例如要给结构矩阵 a增加一个成员 ,可给 中任意一个元素增加成员 : 增加一个成员x4,可给a中任意一个元素增加成员 中任意一个元素增加成员x4: 增加一个成员 a(1).x4=‘410075’; 但其他成员均为空矩阵, 但其他成员均为空矩阵,可以使用赋值语句给它赋确定的 值。 要删除结构的成员,则可以使用rmfield函数来完成。例 函数来完成。 要删除结构的成员,则可以使用 函数来完成 删除成员x4: 如,删除成员 : a=rmfield(a,‘x4’); 3.关于结构的函数 . 除了一般的结构数据的操作外, 除了一般的结构数据的操作外,MATLAB还提供了部分 还提供了部分 函数来进行结构矩阵的操作。 函数来进行结构矩阵的操作。

2.6.2 单元数据 1.单元矩阵的建立与引用 . 建立单元矩阵和一般矩阵相似, 建立单元矩阵和一般矩阵相似,只是矩阵元素用 大括号括起来。 大括号括起来。 可以用带有大括号下标的形式引用单元矩阵元素。 可以用带有大括号下标的形式引用单元矩阵元素。 例如b{3,3}。 例如b{3,3}。单元矩阵的元素可以是结构或单元 数据。 数据。 可以使用celldisp函数来显示整个单元矩阵,如 函数来显示整个单元矩阵, 可以使用 函数来显示整个单元矩阵 celldisp(b)。还可以删除单元矩阵中的某个元素。 。还可以删除单元矩阵中的某个元素。 反对霸权','Wind Gone',100+200*i,[90, 85, 如:A={'反对霸权 反对霸权 55; 67, 70, 102; 57, 18, 100; -200, 89, 78]}

2.关于单元的函数 . MATLAB还提供了部分函数用于单元的操 还提供了部分函数用于单元的操 作。


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