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【天津市2013届高三数学总复习之模块专题:25 超越函数综合题(教师版)


超越函数综合题
1、讨论函数 f ( x) ?

ax (a ? 0) 在区间 ( ?1,1) 上的单调性。 1 ? x2
a ( x1 ? x2 )(1 ? x1 x2 ) ax1 ax2 = , ? 2 2 (1 ? x12 )(1 ? x2 2 ) 1 ? x1 1 ? x2

解:设 ?1 ? x1 ? x2 ?

1, 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x1 , x2 ? (?1,1), 且x1 ? x2 , ? x1 ? x2 ? 0,1 ? x1x2 ? 0,(1 ? x12 )(1? x22 ) ? 0,
于是当 a ? 0 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ); 当 a ? 0时, f ( x1 ) ? f ( x2 ); 故当 a ? 0 时 ,函数在 ( ?1,1) 上是增函数; 当 a ? 0 时 ,函数在 ( ?1,1) 为减函数。 2、设函数 f ( x) ? 2| x?1|?| x?1| , 求使f ( x) ? 2 2 x 成立的 x 取值范围。
x 解:由于 y ? 2 是增函数, f ( x) ? 2 2 等价于 | x ? 1| ? | x ? 1|?

3 ......① 2

(1)当 x ? 1时, | x ? 1| ? | x ? 1|? 2 ,①式恒成立; (2)当 ?1 ? x ? 1 时, | x ? 1| ? | x ? 1|? 2 x ,①式化为 2 x ? (3)当 x ? ?1时, | x ? 1| ? | x ? 1|? ?2 ,①式无解; 综上, x 的取值范围是 ? , ?? ? 。
2 3、设关于 x 的方程 2 x ? ax ? 2 ? 0 的两根为 ? , ? (? ? ? ) ,函数 f ( x) ?

3 3 ,即 ? x ? 1 ; 2 4

?3 ?4

? ?

4x ? a 。 x2 ?1

(1)求 f (? ) ? f ( ? ) 的值; (2)证明 f ( x) 是 ?? , ? ? 上的增函数; (3)试确定 ? 为何值时, f ( x) 在区间 ?? , ? ? 上的最大值与最小值之差最小。 解: (1) f (? ) ?

?8 a 2 ? 16 ? a

, f (? ) ?

8 a 2 ? 16 ? a

, f (? ) ? f ( ? ) ? ?4.

(2)定义法;略 (3)函数 f ( x) 在 ?? , ? ? 上最大值 f ( ? ) ? 0 ,最小值 f (? ) ? 0,? f (? ) ? f ( ? ) ? 4 , 当且仅当 f ( ? ) ? ? f (? ) ? 2 时, f (? ) ? f (? ) ? f (? ) ? f (? ) 取最小值 4,此时 a ? 0, f ( ? ) ? 2.

4、已知函数 f ( x) ? loga (ax ? x )(a ? 0, a ? 1为常数) 。 (1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)若 a ? 2 ,试根据单调性定义确定函数 f ( x) 的单调性; (3)若函数 y ? f ( x) 是增函数,求 a 的取值范围。 解: (1)由 ax ?
x ?0 得 x ? ax
1 ∴ f ( x) 的定义域是 x ? ( 1 a2 a2

x?0 ∵ a ? 0, x ? 0 ? ? ?

?x ? a x
2

2

?x?

,??) 。

(2)若 a ? 2 ,则 f ( x) ? log2 (2 x ?

x ) 设 x1 ? x2 ?

1 ,则 4

(2x1 ? x1 ) ? (2x2 ? x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )[2( x1 ? x2 ) ? 1] ? 0

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 故 f ( x) 为增函数。
(3)设 x1 ? x 2 ?

1 a2

则a x1 ? a x 2 ? 1

?(ax1 ? x1 ) ? (ax2 ? x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )[a( x1 ? x2 ) ? 1] ? 0

? ax1 ? x1 ? ax2 ? x2 ①
∵ f ( x) 是增函数,∴ loga (ax1 ? x1 ) ? loga (ax2 ? x2 ) ②联立①、②知 a ? 1 ,∴ a ? (1,??) 。 5、已知函数 f ( x) ? ax ? b 1 ? x 2 ( x ? 0) ,且函数 f ( x)与g ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称, 又

f ( 3) ? 2 ? 3, g (1) ? 0 。
(1)求 f ( x) 的值域; (2)是否存在实数 m ,使命题 p : f (m ? m) ? f (3m ? 4) 和 q : g (
2

m ?1 3 ) ? 满足复合命题 4 4

p且q 为真命题?若存在,求出 m 的范围;若不存在,说明理由。

解: (1)由 f ( 3) ? 2 ? 3, f (0) ?1, 得a ? ?1, b ?1 ,于是 f ( x) ? 1 ? x 2 ? x( x ? 0) , 由 f ( x) ?

1 1 ? x2 ? x

,此函数在 ? 0, ?? ? 是单调减函数,从而 f ( x) 的值域为 (0,1] ;

(2)假定存在的实数 m 满足题设,即 p : f (m2 ? m) ? f (3m ? 4) 和 g ( 又 f( )??

m ?1 3 ) ? 都成立 4 4

3 4

3 3 1 1 3 m ?1 1 ? 1 ? ( )2 ? ,∴ g ( ) ? ,∴ g ( ) ? g( ) 4 4 2 2 4 4 2 ,

由 f ( x) 的值域为 (0,1] , 则 g ( x) 的定义域为 (0,1] , 已证 f ( x) 在 [0, ??) 上是减函数, 则 g ( x) 在

?m2 ? m ? 3m ? 4 ? 0 4 ? (0,1] 也是减函数,由减函数的定义得 ? 解得, ? m ? 3 且 m ≠ 2 ,因此 m ?1 1 3 ? ?1 ?0 ? ? 4 2
存在 实数 m 使得命题: p 且 q 为真命题,且 m 的取值范围为 [ , 2) 6、已知函数 f ( x) ? log4 (4x ?1) ? kx ( k ? R ) 是偶函数。 (1)求 k 的值;

4 3

(2,3) 。

x) ? l o g ( 4a 2? (2) 设 g(
的取 值范围。

x

4 ? )a 3

, 若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点, 求实数 a

解: (1) 由函数 f ( x) 是偶函数可知: f ( x) ? f (? x) , ?log4 (4x ?1) ? kx ? log4 (4? x ?1) ? kx

4x ? 1 1 log 4 ? x ? ?2kx 即 x ? ?2kx 对一切 x ? R 恒成立,? k ? ? 4 ?1 2;
(2)函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点,即方程

1 4 x ? log 4 (a ? 2 x ? a) 2 3 1 4 有且只有一个实根,化简得:方程 2 x ? x ? a ? 2 x ? a 有且只有一个实根; 2 3 log 4 (4 x ? 1) ?

令 t ? 2 ? 0 ,则方程 (a ? 1)t 2 ?
x

4 3 at ? 1 ? 0 有且只有一个正根,① a ? 1 ? t ? ? ,不合题 3 4

意; ②? ? 0? a ?

3 3 1 1 或 ?3 ,若 a ? ? t ? ? ,不合题意;若 a ? ?3 ? t ? ③一个正根 4 4 2 2;

与一 个负根,即

?1 ? 0 ? a ? 1 ;综上:实数 a 的取值范围是 ??3? ? (1, ??) 。 a ?1

7、已知函数 f ( x) ? log2 2x ? 1 。 (1)求证:函数 f ( x) 在 ( ? ?, ? ? ) 内单调递增;
x x) ? o lg 2 2 1 ( ? 0 )x ? (2) 若 g(

?

?

?

?

, 且关于 x 的方程 g ( x) ? m ? f ( x) 在 [1, 2 ] 上有解, 求m

的取值范围。

2 x1 ? 1 解: (1)证明:任取 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log 2 ? 2 ? 1? ? log 2 ? 2 ? 1? ? log 2 x , 2 2 ?1
x1 x2

x1 ? x2 , ?0 ? 2x1 ? 1 ? 2x2 ? 1,? 0 ?

2 x1 ? 1 2 x1 ? 1 ? 1, ? log ?0, 2 x2 2 x2 ? 1 2 ?1

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即函数 f ( x) 在 ( ? ?, ? ? ) 内单调递增。
x x (2)解法 1:由 g ( x) ? m ? f ( x) 得 m ? g ( x) ? f ( x) ? log 2 2 ? 1 ? log 2 2 ? 1

?

?

?

?

? log 2

2x ? 1 2 ? 2 2 2 1 2 3 ? ? , ? ? 1? x ? , ? log 2 ?1 ? x ? , 当 1 ? x ? 2 时, ? x x 5 2 ?1 3 3 2 ?1 5 2 ?1 ? 2 ?1 ?

? ?1? ? 3? ? ? m 的取值范围是 ? log 2 ? ? , log 2 ? ? ? 。 ? 3? ?5? ? ?

? 2m ? 1 ? 解法 2:解方程 log 2 ? 2 ? 1? ? m ? log 2 ? 2 ? 1? ,得 x ? log 2 ? , m ? ? 1? 2 ?
x x

? 2m ? 1 ? ?1? ? 3? 1 ? x ? 2, ? 1 ? log 2 ? ? 2 ,解得 log 2 ? ? ? m ? log 2 ? ? , m ? ?3? ?5? ? 1? 2 ?
? ?1? ? 3? ? ? m 的取值范围是 ? log 2 ? ? , log 2 ? ? ? 。 ? 3? ?5? ? ?

8、已知函数 f ( x) ? log a (1)求实数 m 的值;

1 ? mx (a ? 0, a ? 1) 是奇函数。 x ?1

(2)判断函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上的单调性,并给出证明; (3)当 x ? (n, a ? 2) 时,函数 f ( x ) 的值域是 (1, ??) ,求实数 a 与 n 的值; (4)设函数 g ? x ? ? ?ax ? 8 ? x ? 1? a
2 f ? x?

? 5 ,当 a ? 8 时,存在最大实数 t ,使得

x ? ?1, t ?
时,不等式 ?5 ? g ? x ? ? 5 恒成立,试确定 t 与 a 之间的关系。 解: (1) m ? ?1。 (2)由(1)及题设知: f ( x) ? log a 当 x1 ? x2 ? 1 时, t1 ? t2 ?

x ?1 x ?1? 2 2 x ?1 ? ? 1? ,设 t ? , x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

2( x2 ? x1 ) 2 2 , t1 ? t2 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

当 a ? 1 时, log a t1 ? log a t2 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; 当 a ? 1 时, f ( x ) 在 (1, ??) 上是减函数;同理当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 (1, ??) 上是增函数; (3)由题设知:函数 f ( x ) 的定义域为 (??,?1) ? (1,??) , ①当 n ? a ? 2 ? ?1 时,有 0 ? a ? 1 ,由(1)及(2)题设知: f ( x ) 在为增函数,由其值域

1? n ? ?1 ?log a 为 (1, ??) 知 ? n ? 1 ,无解; ②当 1 ? n ? a ? 2 时,有 a ? 3 ,由(1、2)题设知: f ( x) ? ?a ? 2 ? ?1 ?n ? 1 ? 在 (n, a ? 2) 为减函数,由其值域为 (1, ??) 知, ? ,得 a ? 2 ? 3 , n ? 1 ; a ?1 log a ?1 ? a ?3 ?
(4)由(1)题设知: g ? x ? ? ?ax ? 8 ? x ? 1? a
2 f ? x?

4 16 ? 5 ? ?ax2 ? 8x ? 3 ? ?a( x ? )2 ? 3 ? , a a

则函数 y ? g ( x) 的对称轴 x ?

4 ? 1? 4 , a ? 8 ∴ x ? ? ? 0, ? ,函数 y ? g ( x) 在 x ? ?1, t ? 上单 a ? 2? a

调减, g (t ) ? g ( x) ? g (1) , t 是最大实数使得 x ? ?1, t ? ,恒有 ?5 ? g ( x) ? 5 成立,

g (1) ? 11 ? a ? 3 ? 5, g (1) ? g (t ) ? 11 ? a ? at 2 ? 8t ? 3 ? (t ?1)(at ? a ? 8) ? 0 g (t ) ? ?at 2 ? 8t ? 3 ? ?5 ,即 at 2 ? 8t ? 8 。
9、已知函数

f ( x) ? x?2m ?m?3 (m ? Z ) 为偶函数,且 f (3) ? f (5).

2

(1)求 m 的值,并确定 f ( x ) 的解析式; (2)若 g ( x) ? log a [ f ( x) ? ax] ,(a ? 0且a ? 1) 在 [2,3] 上为增函数,求实数 a 的取值范围。 解: (1)由 f (3) ? f (5), 知3?2m
2

?m?3

? 5?2m ?m?3 ,

2

2 3 3 ? ( ) ?2 m ? m ?3 ? 1, 即 ? 2m2 ? m ? 3 ? 0,??1 ? m ? ,又 m ? Z ,? m ? 0,1 5 2

当 m ? 0时,f ( x) ? x?2m 当 m ?1 时,f ( x) ? x?2m
2

2

?m?3

? x3 为奇函数,不合题意,舍去; ? x2 为偶函数,满足题设,故 m ? 1, f ? x ? ? x2 。
2

2

?m?3

(2) g ( x) ? log a ( x ? ax). 令 u( x) ? x ? ax, ,若 0 ? a ? 1, 则y ? log a u 在其定义域内单调 递减,要使 g ( x)在[2,3] 上单调递增,则需 u ( x) ? x ? ax在[2,3] 上递减,且 u ( x) ? 0 ,
2

a ? ? ?3 ,即 a ? ? ,若 a ? 1, 则y ? log a u 在其定义域内单调递增,要使 ?? 2 ? u ( 3 ) ? 9 ? 3 a ? 0 ?
g ( x)在[2,3]
上单调递增,则需 u ( x) ? x ? ax在[2,3] 上递增,且 u ( x) ? 0 ,? ?
2

? ?

a ?2 ,即 2 ? ?u (2) ? 4 ? 2a ? 0

1? a ? 2;
综上所述,实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 。 10、对定义在 [0, 1] 上,并且同时满足以下两个条件的函数 f ( x ) 称为 G 函数,① 对任意的

x ? [0, 1] , 总有 f ( x) ? 0 ; ② 当 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 时, 总有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
2 x 成立;已知函数 g ( x) ? x 与 h( x) ? 2 ? b 是定义在 [0, 1] 上的函数。

(1)试问函数 g ( x) 是否为 G 函数?并说明理由; (2)若函数 h ( x ) 是 G 函数,求实数 b 组成的集合。

解: (1)当 x ??0,1? 时,总有 g( x ) ? x ? 0 ,满足① ,
2

当 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 时, g(x1 ? x2 ) ? (x1 ? x2 )2 ? x12 ? x22 ? 2x1x2 ? x12 ? x22 ? g(x1 ) ? g(x2 ) ,满足② ; (2) h( x) ? 2x ? b ( x ?[0,1]) 为增函数, h( x ) ? h(0) ? 1 ? b ? 0 ?b ? 1 ; 由 h( x1 ? x 2 ) ? h( x1 ) ? h( x 2 ) ,得 2 因为 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 ,
x1 ? x 2

? b ? 2x1 ? b ? 2x2 ? b ,即 b ? 1 ? (2x1 ? 1)(2x1 ? 1) ;
x x

所以 0 ? 2 1 ? 1 ? 1 , 0 ? 2 2 ? 1 ? 1 , x 1 与 x 2 不同时等于 1

?0 ? (2x1 ?1)(2x1 ?1) ? 1 ?0 ? 1 ? (2x1 ?1)(2x1 ?1) ? 1 ,
当 x1 ? x 2 ? 0 时, (1 ? (2 1 ?1)(2 1 ?1))max ? 1 ?b ? 1 ,综合, b ? {1} 。
x x

11、已知函数 f ( x) ? 2 x ?

a 。 2x

(1) 将 y ? f ( x) 的图象向右平移两个单位, 得到函数 y ? g ( x) , 求函数 y ? g ( x) 的解析式; (2)函数 y ? h( x) 与函数 y ? g ( x) 的图象关于直线 y ? 1 对称,求函数 y ? h( x) 的解析式; (3)设 F ( x) ? 围。 解: (1) g ? x ? ? f ? x ? 2 ? ? 2
x?2

1 f ( x) ? h( x) ,已知 F ( x) 的最小值是 m 且 m ? 2 ? 7 ,求实数 a 的取值范 a

?

a 2 x?2

;

(2)设 y ? h?x ? 的图象上一点 P ? x , y ? ,点 P ? x , y ? 关于 y ? 1 的对称点为 Q?x,2 ? y ? , 由点 Q 在 y ? g ?x ? 的图象上,所以 2 x ?2 ? 于是 y ? 2 ? 2 x?2 ? (3) F ( x) ?

a 2 x ?2

? 2? y, a 2 x ?2 ;

a 2
x ?2

, 即 h?x ? ? 2 ? 2 x?2 ?

1 (4a ? 1) ?1 1? f ( x ) ? h( x ) ? ? ? ? 2 x ? ?2; a 2x ?a 4?
4?a 4a ? 1 t? ? 2; 4a t
t

x 设 t ? 2 ,则 F ( x) ?

问题转化为: 4 ? a t ? 4a ? 1 ? 2 ? 2 ? 7 ,对 t ? 0 恒成立,
4a

即:

4?a 2 t ? 4a

(*) 7t ? ?4a ? 1? ? 0 ,对 t ? 0 恒成立。

故必有

4?a 2 4?a 4?a t ? 7t ? ?4a ? 1? ? 0 (否则,若 ? 0 ,则关于 t 的二次函数 u (t ) ? 4a 4a 4a

开口向下,当 t 充分大时,必有 u ?t ? ? 0 ;而当 由于二次函数 u (t ) ?

4?a ,此时, ? 0 时,显然不能保证(*)成立) 4a

4?a 2 7 t ? 7t ? ?4a ? 1? 的对称轴方程为 t ? ?0, 4 ?a 4a 2? 4a

?4 ? a ?0 1 ? 4a 所以,问题等价于 ? t ? 0 ,即 ? ,解之得: ? a ? 2 ; ? 2 ?7 ? 4 ? 4 ? a ? ?4a ? 1? ? 0 ? 4a ?

此时,

4a(4a ? 1) 4?a 4a ? 1 4?a t? ? 2在t ? 取得最小值 ? 0,4a ? 1 ? 0 ,故 F ( x) ? 4a t 4?a 4a

m?2

4?a ? ?4a ? 1? ? 2 满足条件。 4a
2

b ? 4ac ? b 2 ? 点评:紧扣二次函数的顶点式 y ? a? x ? , 对称轴、最值、判别式显合力。 ? ? 2a ? 4a ?
12、对于在区间 ?m, n ? 上有意义的两个函数 f ?x ? 与 g ( x) ,如果对任意的 x ? ?m, n?,均有

f ( x) ? g ( x) ? 1 ,则称 f ?x ? 与 g ( x) 在 ?m, n? 上是接近的,否则称 f ?x ? 与 g ( x) 在 ?m, n? 上
是非接近的, 现有两个函数 f1 ( x) ? loga ( x ? 3a) 与 f 2( x ) ? log a 区间

1 (a ? 0, a ? 1) , 给定 x?a

?a ? 2, a ? 3? 。
(1)若 f 1 ( x ) 与 f 2 ( x ) 在给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 上都有意义,求实数 a 的取值范围; (2)讨论 f 1 ( x ) 与 f 2 ( x ) 在给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 上是否是接近的。 解: (1)两个函数 f1 ( x) ? loga ( x ? 3a) 与 f 2( x) ? log a 区间

1 (a ? 0, a ? 1) 在给定的一个 x?a

?a ? 2, a ? 3? 有意义, 函数 y ? x ? 3a 在给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 上单调递增, 函数 y ?


1 在 x?a

?a ? 0 定区间 ?a ? 2, a ? 3? 上恒为正数,故有意义,当且仅当 ? ? 0 ? a ? 1; ?a ? 1 ?( a ? 2) ? 3a ? 0 ?

(2)构造函数 F ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? loga ( x ? a)(x ? 3a) ,对于函数 t ? ( x ? a)(x ? 3a) 来 讲, 显然其在 (??,2a] 上单调递减,在 [2a,??) 上单调递增,且 y ? log a t 在其定义域内一定是减 函数。 由于 0 ? a ? 1 ,得 0 ? 2a ? 2 ? a ? 2 ,所以原函数在区间 [a ? 2, a ? 3] 内单调递减,只需保 证

?| F (a ? 2) |?| loga 4(1 ? a) |? 1 ? ? ?| F (a ? 3) |?| loga 3(3 ? 2a) |? 1

1 ? a ? 4(1 ? a ) ? ? ? a ? ?3(3 ? 2a ) ? 1 ? a ?

当0 ? a ?

9 ? 57 时, f 1 ( x ) 与 f 2 ( x ) 在区间 ?a ? 2, a ? 3? 上是接近的; 12

当a ?

9 ? 57 时, f 1 ( x ) 与 f 2 ( x ) 在区间 ?a ? 2, a ? 3? 上是非接近的。 12


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