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专题33 分布列、期望与方差、正态分布(学生版)


专题 33

离散型随机变量的分布列、期望与方差、正态分布

2 1. 设两个正态分布 N ? ?1 , ? 12 ? ( ?1 ? 0 )和 N ? ? 2 , ? 2 ? ( ? 2 ? 0 )的密度函数的

图像如图所示,则有(



A. ?1 ? ?2 ,?1 ? ? 2 C. ?1 ? ?2 ,?1 ? ? 2
P ? ? ? 1.96 ? ? (

B. ?1 ? ?2 , ?1 ? ? 2 D. ?1 ? ?2 ,?1 ? ? 2

2. 设随机变量 ? 服标准正态分布 N ? 0,1? ,已知 ? ? ?1.96? ? 0.025 ,则 ) C. 0.950 D. 0.975 A. 0.025 B. 0.050

3. 离散型随机变量 X 的分布列为
X
P

1
3 5

2
3 10

3
1 10

则 X 的数学期望 EX ? ( 3 5 A. B. 2 C. 2 2

) D. 3

4. 某种种子每粒发芽的概率都是 0.9 ,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种 子,每粒需要再补种 2 粒,补种的种子数记为 X ,则 X 的数学期望为 ( ) A. 100 B. 200 C. 300 D. 400 5. 设随机变量 ? 服从正态分布 N ? 2,9? ,若 P ?? ? c ? 1? ? P ?? ? c ?1? ,则 c ? ( A. 1 ) B. 2 C. 3 D. 4

6. 设 10 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 104 , x5 ? 105 .随机变量 ?1 取值 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 的概率 x ?x x ?x x ?x x ?x x ?x 均为 0.2 ,随机变量 ?2 取值 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 1 的概率也均 2 2 2 2 2 为 0.2 .若记 D?1 , D?2 分别为 ?1 , ? 2 的方差,则( ) A. D?1 ? D?2 B. D?1 ? D?2 C. D?1 ? D?2 D. D?1与D?2 的大小关系与 x1 , x2 , x3 , x4 的取值有关 7. 如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个 同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机抽取一个 小正方体,记它的涂漆面数为 X ,则 X 的均值 EX ? ( 126 6 168 7 A. B. C. D. 125 5 125 5
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专题 33

离散型随机变量的分布列、期望与方差、正态分布

8. 某射手射击所得环数 ? 的分布列如下:

?
P

7

8
0.1

9
0.3

10
y

x

已知 ? 的期望 E? ? 8.9 ,则 y 的值为_____. 9. 随机变量 ? 的概率分布由下表给出:

x
P ?? ? x ?

7
0.3

8
0.35

9
0.2

10
0.15

该随机变量 ? 的均值是______. 10. 已知离散型随机变量 X 的分布列如下表.若 EX ? 0, DX ? 1 ,则 a ? _____, b ? ______.
?1

X
P

0
b

1

2
1 12

a

c

11. 某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者,若 用随机变量 ? 表示选出的志愿者中女生的人数,则 ? 的期望 E? ? _____(结 果用最简分数表示). 12. 13. 若随机变量 X
N ? ? , ? 2 ? ,则 P ? X ? ? ? ? _____.

某公司有 5 万元资金用于投资开发项目.如果成功,一年后可获利 12 0 0 ;一旦失败,一年后将丧失全部资金的 50 0 0 .下表是过去 200 例类似 项目开发的实施结果: 投资成功
192 次

投资失败 8次

则该公司一年后估计可获收益的期望是________(元).

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专题 33
14.

离散型随机变量的分布列、期望与方差、正态分布

设 S 是不等式 x2 ? x ? 6 ? 0 的解集,整数 m, n ? S . (Ⅰ)记“使得 m ? n ? 0 成立的有序数组 ? m, n? ”为事件 A ,试列举 A 包含 的基本事件; (Ⅱ)设 ? ? m2 ,求 ? 的分布列及其数学期望 E? .

15.

某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据: 日销售量(件) 频数 0 1 1 5 2 9 3 5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时 有该商品 3 件,当天营业结束后检查存货,若发现少于 2 件,则当天进货补 充至 3 件,否则不进货.将频率视为概率. (Ⅰ)求当天商店不进货的概率; (Ⅱ)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的分布列和数学期望.

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专题 33

离散型随机变量的分布列、期望与方差、正态分布

16. 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (Ⅰ)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当 天需求量 n (单位:枝, n ? N )的函数解析式; (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (ⅰ)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列、数学期望和方差; (ⅱ)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由.

17. 某单位招聘面试,每次从试题库中随机调用一道试题.若调用的是 A 类 型试题,则使用后该试题回库,并增补一道 A 类型试题和一道 B 类型试题入 库,此次调题工作结束;若调用的是 B 类型试题,则使用后该试题回库,此 次调题工作结束.试题库中现共有 n ? m道试题,其中有 n 道 A 类型试题和 m 道 B 类型试题.以 X 表示两次调题工作完成后,试题库中 A 类试题的数 量. (Ⅰ)求 X ? n ? 2 的概率; (Ⅱ)设 m ? n ,求 X 的分布列和均值(数学期望).

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专题 33

离散型随机变量的分布列、期望与方差、正态分布

18. 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 吨该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1 吨亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度 内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进 了 130 吨该农产品.以 X (单位:吨, 100 ? X ? 150 )表示下一个销售季度 内的市场需求量, T (单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利 润.

(Ⅰ)将 T 表示为 X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率; (Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值, 并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 需求量 X ??100,110? ,则取 X ? 105 ,且 X ? 105 的概率等于需求量落入

?100,110? 的频率),求 T 的数学期望.

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专题 33

离散型随机变量的分布列、期望与方差、正态分布

19. 小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队,游戏规则 为:以 O 为起点,再从 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , A7 , A8 (如图)这 8 个点中任取两 点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为 X .若 X ? 0 就参加 学校合唱团,否则就参加学校排球队. (Ⅰ)求小波参加学校合唱团的概率; (Ⅱ)求 X 的分布列和数学期望.

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离散型随机变量的分布列、期望与方差、正态分布

20. 随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等 品 50 件、三等品 20 件、次品 4 件,已知生产 1 件一、二、三等品获得的利 润分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的 利润(单位:万元)为 ? . (Ⅰ)求 ? 的分布列; (Ⅱ)求 1 件产品的平均利润(即 ? 的数学期望); (Ⅲ)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1 0 0 ,一等品率 提高为 70 0 0 .如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等 品率最多是多少?

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专题 33

离散型随机变量的分布列、期望与方差、正态分布

21. 某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独 立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下: 办理业务所需的时间(分) 频率 1
0.1

2
0.4

3
0.3

4
0.1

5
0.1

从第一个顾客开始办理业务时计时. (Ⅰ)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (Ⅱ) X 表示至第 2 分钟末已办理业务的顾客人数,求 X 的分布列和数学 期望.

22. 设袋子中装有 a 个红球, b 个黄球, c 个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球得 2 分,取出一个蓝球得 3 分. (Ⅰ)当 a ? 3, b ? 2, c ? 1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会 均等)2 个球,记随机变量 ? 为取出此 2 球所得分数之和,求 ? 的分布列; (Ⅱ)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量? 为取 5 5 出此球所得分数.若 E? ? , D? ? ,求 a : b : c . 3 9

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