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1-3 充分条件与必要条件


第 三 节

充分条件与必要条件

重点难点 重点:充分条件、必要条件的理解与判断. 难点:区分充分不必要条件、必要不充分条件与充 要条件.

知识归纳 1.“若 p,则 q”形式的命题为真命题时,记作“p ?q”. 2.若 p?q,则 p 叫做 q 的充分条件;q 叫做 p 的必 要条件;如果 p?q,则 p

叫做 q 的充要条件.

3.判断充要条件的方法: ①定义法;②逆否法;③集合法. 逆否法: 若綈 A?綈 B,则 A 是 B 的必要条件,B 是 A 的充 分条件; 若綈 A?綈 B 且綈 B? /綈 A,则 A 是 B 的必要非充 分条件 若綈 A?綈 B,则 A 与 B 互为充要条件

集合法: 从集合观点看,建立与命题 p、q 相应的集合.p:A ={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立},那么: 若 A ?B , 则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件; 若 A? B,则 p 是 q 的充分非必要条件,q 是 p 的必要非 充分条件; 若 A=B, 则 p 是 q 的充要条件; 若 A ? B 且 B ? A, 则 p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件.

误区警示 A 是 B 的充分条件,是指 A?B A 的充分条件是 B,是指 B?A A 的充要条件是 B ·,充分性是指 B?A,必要性是 A ... . ?B,此语句应抓“条件是 B”. A ,此语句应抓“A 是条件”. · 是 .B 的充要条件 ..

等价转化思想 处理充分、必要条件问题时,首先要分清条件与结 论,然后才能进行推理和判断. 1.当判断充分、必要条件较困难时,往往转化为与 它等价的逆否命题来判断. 2.如果命题成立与否与集合相关,此时常通过集合 的关系来判断条件的充分性、必要性.

充分条件与必要条件的判定
[例 1] “a=b”是“直线 y=x+2 与圆(x+a)2+(y )

+b)2=2 相切”的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

|-a+b+2| 解析: 若 a = b 则 = 2 ,故相切;若 2 |-a+b+2| = 2,则 a=b 或 a-b-4=0,故选 A. 2 答案:A

(文)(2011· 山西运城教学检测)已知 p: “a= 2”, q: “直线 x+y=0 与圆 x2+(y-a)2=1 相切”, 则p是q的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:由直线 x+y=0 与圆 x2+(y-a)2=1 相切得, |a| 圆心(0,a)到直线 x+y=0 的距离等于圆的半径,即有 2 =1,a=± 2.因此,p 是 q 的充分而不必要条件,选 A. 答案:A

(理)(2011· 河南质量调研)设 a,b,c 是三条不同的直 线,α,β 是两个不同的平面,则 a⊥b 的一个充分条件是 ( ) A.a⊥c,b⊥c C.a⊥α,b∥α B.α⊥β,a?α,b?β D.a⊥α,b⊥α

解析: 对于选项 C, 在平面 α 内作 c∥b, 因为 a⊥α, 所以 a⊥c,故 a⊥b;A,B 选项中,直线 a,b 可能是平 行直线;D 选项中一定有 a∥b.故选 C. 答案:C

[ 例 2] ( )

( 文 )“a + c>b + d”是 “a>b 且 c>d” 的

A.必要不充分条件 C.充分必要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:取 a=5,b=-1,c=2,d=6,满足 a+c>b +d.但推不出 a>b 且 c>d; 而 a>b 且 c>d?a+c>b+d, 故“a+c>b+d”是“a>c 且 c>d”的必要不充分条 件. 答案:A

2x (理)(2010· 沈阳市)已知 p: <1,q:(x-a)(x-3)>0, x- 1 若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围是

(

) A.(-∞,1) C.[1,+∞) B.[1,3] D.[3,+∞)

分析:解不等式可知 p、q,因为含字母 a,故需分 类讨论,由綈 p 是綈 q 的必要不充分条件知,q 是 p 的必

要不充分条件,即 p 是 q 的充分不必要条件,∴p? q.

x+ 1 2x 解析: - 1<0 ? <0 ? (x - 1)(x + 1)<0 ? - x-1 x- 1 1<x<1,∴p:-1<x<1;当 a≥3 时,q:x<3 或 x>a,当 a<3 时,q:x<a 或 x>3.綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,

即 p 是 q 的充分不必要条件, 即 p? q, 可推出 a 的取值范 围是 a≥1. 答案:C

1 (文)(2011· 潍坊模拟)已知条件 p: x≤1, 条件 q: x<1, 则 p 是綈 q 成立的( )

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件

1 解析:由x<1 得,x<0 或 x>1, ∴綈 q:0≤x≤1,显然 p? / 綈 q,綈 q?p,∴选 B.

答案:B

(理)(2011· 济南模拟)定义在(-∞, 0)∪(0, +∞)上的 奇函数 f(x) 在 (0 ,+∞) 上为减函数,且 f(2) = 0 ,则 f?x?-f?-x? x “ <0 ”是 “2 >4”成立的____________条件. x

f?x?-f?-x? f?x? 解析: <0? x <0, x
? ?x<0 ∴? ? ?f?x?>0 ? ?x>0 或? ? ?f?x?<0



∵f(x)为奇函数,f(2)=0,∴f(-2)=0, 又 f(x)在(0,+∞)上为减函数, ∴x>2 时,f(x)<0, ∴x<-2 时,f(x)>0, f?x?-f?-x? ∴ <0?x<-2 或 x>2, x

又 2x>4?x>2, f?x?-f?-x? x 故“ <0 ” 是 “ 2 >4”成立的必要不充分条 x 件. 答案:必要不充分

[例 3]

命题甲:“a、b、c 成等差数列”,命题乙: )

a c “b+b=2”,则甲是乙的( A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:∵a=b=c=0,则 a、b、c 也成等差数列,但 a c 推不出b+b=2; a c 反过来由b+b=2?a+c=2b,即 a、b、c 成等差数 列. a c 综上所述,“a、b、c 成等差数列”是“b+b=2”的 必要不充分条件,故选 A.
答案:A

点评: 要注意区分“A 是 B 的充分条件”和“A 是 B 的充分非必要条件”,若 A?B,则 A 是 B 的充分条件, 若 A?B 且 B? /A,则 A 是 B 的充分非必要条件.

(2010· 山东理 ) 设 {an} 是等比数列,则 “a1<a2<a3” 是 “数列{an}是递增数列”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析: 若 a1<a2<a3, 则 a1<a1q<a1q2, 若 a1>0, 则 q>1, 此时为递增数列,若 a1<0,则 0<q<1,同样为递增数列, 故充分性成立,必要性显然成立. 答案:C

已知充分(必要)条件求参数的值或取值范围
[例 4] 已知命题 p:|x+2|>1,命题 q:x<a,且┐q 是 ┐p 的必要不充分条件,则 a 的取值范围可以是( A.a≥3 C.a<-3 B.a≤-3 D.a>3 )

解析:命题 p:x<-3 或 x>-1, 则綈 p:-3≤x≤-1,綈 q:x≥a, 由题意有綈 p?綈 q,綈 q? / 綈 p,则 a≤-3. 答案:B

点评:∵綈 q 是綈 p 的必要不充分条件, ∴p 是 q 的必要不充分条件, 设 p,q 对应的 x 取值集合分别为 A、B,则 B? A.

已知“|x - a|<1”是“x2 - 6x<0”的充分不必要条 件,则实数 a 的取值范围是________. 分析: 使|x-a|<1 成立的 x 的集合为 A, 使 x2-6x<0 成立的 x 的集合为 B,由条件知 A? B.

解析:∵|x-a|<1,∴a-1<x<a+1. ∵x2-6x<0,∴0<x<6. 又∵|x-a|<1 是 x2-6x<0 的充分不必要条件,
? ?a-1≥0 ∴? ? ?a+1<6 ? ?a-1>0 或? ? ?a+1≤6

,∴1≤a≤5.

∴所求实数 a 的取值范围为 1≤a≤5. 答案:1≤a≤5

充要条件的综合应用
[例 5] (2011· 武汉期末)求证:关于 x 的方程 ax2+2x+1

=0 至少有一个负根的充要条件是 a≤1.
证明:充分性:当 a=0 时,方程为 2x+1=0 的根为 x 1 =- ,方程有一个负根,符合题意. 2

当 a<0 时,Δ=4-4a>0,方程 ax2+2x+1=0 有两 1 个不相等的实根, 且a<0, 方程有一正一负根, 符合题意. 当 0<a≤1 时,Δ=4-4a≥0,方程 ax2+2x+1=0 有实根, ? 2 ?-a<0 且? ?1>0 ?a



故方程有两个负根,符合题意. 综上知:当 a≤1 时,方程 ax2+2x+1=0 至少有一 个负根. 必要性:若方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根. 当 a=0 时,方程为 2x+1=0 符合题意. 当 a≠0 时,方程 ax2+2x+1=0 应有一正一负根或 两个负根.

?Δ=4-4a≥0 ? ?-2<0 1 则a<0 或? a ?1 ? >0 ?a 解得 a<0 或 0<a≤1.

.

综上知:若方程 ax2+2x+1=0 至少有一负根,则 a≤1. 故关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根的充 要条件是 a≤1.

已知数列{an}的前 n 项和 Sn=pn+q(p≠0, 且 q≠1), 求数列{an}成等比数列的充要条件.

解析:当 n=1 时,a1=S1=p+q. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(p-1)pn 1,


由于 p≠0,q≠1, ∴当 n≥2 时,{an}为公比为 p 的等比数列.

a2 要使{an}是等比数列(当 n∈N 时),则 =p. a1
*

又 a2=(p-1)p, ?p-1?p ∴ =p,∴p2-p=p2+pq,∴q=-1, p+q 即{an}是等比数列的必要条件是 p≠0, 且 p≠1, 且q =-1.

再证充分性: 当 p≠0,且 p≠1,且 q=-1 时,Sn=pn-1. 当 n=1 时,S1=a1=p-1≠0; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(p-1)pn-1.

显然当 n=1 时也满足上式,∴an=(p-1)pn-1,n∈ N*, an ∴ =p(n≥2),∴{an}是等比数列. an-1 综上可知,数列{an}成等比数列的充要条件是 p≠0, p≠1,且 q=-1.

一、选择题 1 . (2011· 山西六校联考 )“a = 1”是“函数 f(x) = lg(ax)在(0,+∞)上单调递增”的( A.充分不必要条件 C.必要不充分条件 [答案] A )

B.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

[解析] ∵当 a=1 时, f(x)=lgx 在(0, +∞)上单调 递增,∴a=1?f(x)=lg(ax)在(0,+∞)上单调递增,而 由 f(x)=lg(ax)在(0,+∞)上单调递增可得 a>0,∴“a= 1”是“函数 f(x)=lg(ax)在(0, +∞)上单调递增”的充分 不必要条件,故选 A.

2. (2010· 福建文)若向量 a=(x,3)(x∈R), 则“x=4” 是“|a|=5”的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 [答案] A

[解析] 当 x=4 时,|a|= 42+32=5 当|a|= x2+9=5 时,解得 x=± 4. 所以“x=4”是“|a|=5”的充分而不必要条件.

3.(文)(2011· 咸阳模拟)已知 p:x2-x<0,那么命题 p 的一个必要不充分条件是( A.0<x<1 1 2 C. <x< 2 3 [答案] B [解析] 由 x2-x<0 得,0<x<1,∵(0,1)? (-1,1),∴ 选 B. )

B.-1<x<1 1 D. <x<2 2

(理)(2011· 天津文,4)设集合 A={x∈R|x-2>0},B ={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是 “x∈C”的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 [答案] C

[ 解析 ]

∵ A = {x ∈ R|x - 2>0} = {x|x>2} , B = {x ∈

R|x<0},∴A∪B={x∈R|x<0 或 x>2} C={x|x(x-2)>0} ={x|x<0 或 x>2}, ∴A∪B=C, ∴x∈A∪B 是 x∈C 的充要条件.

二、填空题 1 4.(2011· 宁德模拟)“0<a≤ ”是“函数 f(x)=ax2+ 5 2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]上为减函数”的________条 件. [答案] 充分不必要

[解析] 函数 f(x)在(-∞, 4]上为减函数, 当 a>0 时, 2?a-1? 1 只需- ≥4, 解得 0<a≤ ; 当 a=0 时易知也适合, 2a 5 故 函 数 f(x) 在 ( - ∞ , 4] 上 为 减 函 数 的 充 要 条 件 为 : 1 1 0≤a≤ ,所以 0<a≤ 是其充分不必要条件. 5 5


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