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【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:2-2]


课时作业(五)
一、选择题 1.若函数 f(x)=4x2-mx+5 在[-2,+∞)上递增,在(-∞,- 2]上递减,则 f(1)=( )

A.-7 B.1 C.17 D.25 -m m 解析:依题意,知函数图象的对称轴为 x=- 8 = 8 =-2,即 m=-16,从而 f(x)=4x2+16x+5, f(1)=4+16+5=25. 答案:D b

2.(2013· 佛山月考)若函数 y=ax 与 y=-x在(0,+∞)上都是减 函数,则 y=ax2+bx 在(0,+∞)上是( )

A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增 b 解析: ∵y=ax 与 y=-x在(0, +∞)上都是减函数, ∴a<0, b<0, b ∴y=ax2+bx 的对称轴方程 x=-2a<0,∴y=ax2+bx 在(0,+∞)上 为减函数. 答案:B 3.“函数 f(x)在[a,b]上为单调函数”是“函数 f(x)在[a,b]上有 最大值和最小值”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:若函数 f(x)在[a,b]上为单调递增(减)函数,则在[a,b]上 一定存在最小(大)值 f(a),最大(小)值 f(b).所以充分性满足;反之,

不一定成立,如二次函数 f(x)=x2-2x+3 在[0,2]存在最大值和最小 值, 但该函数在[0,2]不具有单调性, 所以必要性不满足, 即“函数 f(x) 在[a,b]上单调”是“函数 f(x)在[a,b]上有最大值和最小值”的充分 不必要条件. 答案:A a 4.若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)= 在区间[1,2]上都是减函数, x+1 则 a 的取值范围是( A.(-1,0)∪(0,1) C.(0,1) ) B.(-1,0)∪(0,1] D.(0,1]

解析:当 a=1 时,验证适合题意,而 a<0 时,g(x)在[1,2]上为增 函数,不适合题意,故选 D. 答案:D 5. (2013· 潍坊模拟)已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于
? 1? y 轴对称, 当 x2>x1>1 时, [f(x2)-f(x1)]· (x2-x1)<0 恒成立, 设 a=f?-2?, ? ?

b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为(

)

A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c 解析:由已知条件可得 x2>x1>1 时 f(x)为减函数,又 f(x)向左移一
? 1? ?5? 个单位后关于 y 轴对称,∴f(x)关于 x=1 对称,故 f?-2?=f?2? ? ? ? ? ?5? 5 ∵2<2<3,∴f(2)>f?2?>f(3),因此 b>a>c,选 D. ? ?

答案:D 6.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x<0 时, f(x)>0,则函数 f(x)在[a,b]上有( A.最小值 f(a) ) B.最大值 f(b)

C.最小值 f(b)

D.最大值 f?

?a+b? ? ? 2 ?

解析:不妨令 f(x)=-2x,可知 f(x)为减函数,选 C. 答案:C 二、填空题 7.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间是________. 解析:

y=-(x-3)|x|
?-x2+3x ? =? 2 ?x -3x ?

?x>0?, ?x≤0?.
? ?

3? ? 作出该函数的图象,观察图象知递增区间为?0,2?. 3? ? 答案:?0,2?
? ?

8.函数 y= 3x+6- 8-x的值域为________. 解析:定义域为[-2,8],又 f(x)为增函数, ∴y∈[- 10, 30]. 答案:[- 10, 30] 9.(2013· 东城模拟)函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)

=f(x2)时总有 x1=x2,则称 f(x)为单函数.例如:函数 f(x)=2x+1(x ∈R)是单函数. 给出下列命题: ①函数 f(x)=x2(x∈R)是单函数; ②指数函数 f(x)=2x(x∈R)是单函数; ③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2); ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中真命题是________(写出所有真命题的编号).
2 2 解析:对于①x1 =x2 时不一定有 x1=x2,

∴①不正确,由定义可知②③④正确. 答案:②③④ 三、解答题 2x+1 10.已知函数 f(x)= . x+1 (1)用定义证明函数在区间[1,+∞)上是增函数; (2)求该函数在区间[2,4]上的最大值与最小值. 解:(1)证明:任取 x1,x2∈[1,+∞),且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2) 2x1+1 2x2+1 x1-x2 = - = . x1+1 x2+1 ?x1+1??x2+1? ∵1≤x1<x2,∴x1-x2<0,(x1+1)(x2+1)>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴函数 f(x)在[1,+∞)上是增函数. (2)由(1)知函数 f(x)在区间[2,4]上是增函数, ∴f(x)max=f(4)= 2×4+1 9 =5, 4+1

2×2+1 5 f(x)min=f(2)= =3. 2+1

1 11.已知函数 f(x)=a-|x|. (1)求证:函数 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若 f(x)<2x 在(1,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围. 1 解:(1)证明:当 x∈(0,+∞)时, f(x)=a-x , 设 0<x1<x2,则 x1x2>0,x2-x1>0. 1? ? 1? ? f(x1)-f(x2)=?a-x ?-?a-x ?
?
1?

?

2?

1 1 x1-x2 =x -x = x x <0. 2 1 1 2 ∴f(x1)<f(x2),即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 1 1 (2)由题意 a-x<2x 在(1, +∞)上恒成立, 设 h(x)=2x+x, 则 a<h(x) 在(1,+∞)上恒成立. 可证 h(x)在(1,+∞)上单调递增. 故 a≤h(1),即 a≤3, ∴a 的取值范围为(-∞,3]. 11. (2013· 上海模拟)已知函数 f(x)是定义在(0, +∞)上的减函数,
?1? 且满足 f(xy)=f(x)+f(y),f?3?=1. ? ?

(1)求 f(1); (2)若 f(x)+f(2-x)<2,求 x 的取值范围. 解析:(1)令 x=y=1,则 f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0.
?1? ?1? ?1? ?1? (2)∵2=1+1=f?3?+f?3?=f?9?,即 f[x(2-x)]<f?9?, ? ? ? ? ? ? ? ?

由 f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,得

?2-x>0 ? 1 x ? 2 - x ? > ? 9

x>0

,∴x 的取值范围为?1-
?

?

2 2 2 2? ?. , 1 + 3 3 ?

12. (2014· 安徽池州一中高三月考)已知函数 f(x)的定义域为[0,1], 且同时满足以下三个条件:①f(1)=1;②对任意的 x∈[0,1],都有 f(x)≥0;③当 x≥0,y≥0,x+y≤1 时总有 f(x+y)≥f(x)+f(y). (1)试求 f(0)的值; (2)求 f(x)的最大值;
?1 ? (3)证明:当 x∈?2,1?时,恒有 2x≥f(x). ? ?

解:(1)令 x∈[0,1],y=0,则有 f(x)=f(x+0)≥f(x)+f(0),所以有 f(0)≤0, 又根据条件②可知 f(0)≥0,故 f(0)=0.(也可令 x=y=0) (2)设 0≤x1<x2≤1,则有 f(x2)=f(x2-x1+x1)≥f(x2-x1)+ f(x1)≥f(x1),即 f(x)为增函数,所以 f(x)≤f(1)=1,故 f(x)max=1.
?1 ? (3)证明:当 x∈?2,1?,有 2x≥1,又由(2)可知 f(x)≤1,所以有 ? ? ?1 ? 2x≥f(x)对任意的 x∈?2,1?恒成立. ? ?

[热点预测] 13.(1)设函数 f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当 x≥1 时, f(x)=ln x,则有(
? ? ? ?

)
? ? ? ?

?1? ?1? ?1? ?1? A.f?3?<f(2)<f?2? B.f?2?<f(2)<f?3? ?1? ?1? ?1? ?1? C.f?2?<f?3?<f(2) D.f(2)<f?2?<f?3? ? ? ? ? ? ? ? ?

1? ?? ? ?x,x≤0, (2)(2013· 北京昌平期末)已知函数 f(x)=??2? ?1-3x,x>0,



f[f?-1?]=________;若 f(2a2-3)>f(5a),则实数 a 的取值范围是 ________. 解析:(1)由 f(2-x)=f(x)可知, f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 当 x≥1 时, f(x)=ln x,可知当 x≥1 时 f(x)为增函数,所以当 x<1 时
?1 ? ?1 ? ?1? ?1? f(x)为减函数,因为?2-1?<?3-1?<|2-1|,所以 f?2?<f?3?<f(2). ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? (2)因 f(-1)=?2?-1=2, 所以 f[f?-1?]=f(2)=1-6=-5; 由分段 ? ?

函数图象可知,f(x)在 R 上递减,故 f(2a2-3)>f(5a)可得 2a2-3<5a, 1 解不等式得-2<a<3.
? 1 ? 答案:(1)C (2)-5 ?-2,3? ? ?


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