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【与名师对话】2015新课标A版数学理一轮复习课时作业:8-4 Word版含解析]


课时作业(五十一)
一、选择题 1.(2013· 北京朝阳期末)“k=1”是“直线 x-y+k=0 与圆 x2+ y2=1 相交”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

解析:因为 k=1 时,直线为 x-y+1=0,则圆心到直线的距离 d= 1 <1,即相交;反之,若直线 x-y+k=0 与圆 x2+y2=1 相交, 2 |k| <1,得 k∈(- 2, 2),故选 A. 2

则圆心到直线的距离 d= 答案:A

2.(2013· 浙江高三摸底测试)若 a2+b2=2c2(c≠0),则直线 ax+ by+c=0 被圆 x2+y2=1 所截得的弦长为( 1 A.2 2 C. 2 B.1 D. 2 |c| = a +b2
2

)

解析:因为圆心(0,0)到直线 ax+by+c=0 的距离 d= |c| 2 =2 2|c| 因此根据三角形的关系,弦长的一半就等于 所以弦长为 2. 答案:D 1-?

? 2?2 2 ?= , 2 ? 2 ?

3.已知圆 C1:x2+y2-2mx+m2=4,圆 C2:x2+y2+2x-2my=

8-m2(m>3),则两圆的位置关系是( A.相交 C.外切

) B.内切 D.相离

解析:将两圆方程分别化为标准式 圆 C1:(x-m)2+y2=4 圆 C2:(x+1)2+(y-m)2=9, 则|C1C2|= ?m+1?2+m2 = 2m2+2m+1> ∴两圆相离. 答案:D 4. 若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 4x-x2有公共点, 则 b 的取值 范围是( ) B.[1-2 2,1+2 2] D.[1-2 2,3] 2×32+2×3+1=5=2+3

A.[-1,1+2 2] C.[1-2 2,3]

解析:曲线 y=3- 4x-x2表示圆(x-2)2+(y-3)2=4 的下半圆, 如图所示,当直线 y=x+b 经过点(0,3)时,b 取最大值 3,当直线与 |2-3+b| 半圆相切时, b 取最小值, 由 =2?b=1-2 2或 1+2 2(舍), 2 故 bmin=1-2 2,b 的取值范围为[1-2 2,3]. 答案:C

5.(2013· 山东卷)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点 分别为 A,B,则直线 AB 的方程为( A.2x+y-3=0 C.4x-y-3=0 ) B.2x-y-3=0 D.4x+y-3=0

解析:根据平面几何知识,直线 AB 一定与点(3,1),(1,0)的连线 1 垂直,这两点连线的斜率为2,故直线 AB 的斜率一定是-2,只有选 项 A 中直线的斜率为-2.故选 A. 答案:A 6.(2013· 兰州模拟)若圆 x2+y2=r2(r>0)上仅有 4 个点到直线 x -y-2=0 的距离为 1,则实数 r 的取值范围为( A.( 2+1,+∞) C.(0, 2-1) 解析: )

B.( 2-1, 2+1) D.(0, 2+1)

计算得圆心到直线 l 的距离为

2 = 2>1,如图.直线 l:x-y-2 2

=0 与圆相交,l1,l2 与 l 平行,且与直线 l 的距离为 1,故可以看出, 圆的半径应该大于圆心到直线 l2 的距离 2+1. 答案:A 二、填空题 7.过点 A(2,4)向圆 x2+y2=4 所引切线的方程为________.

解析:显然 x=2 为所求切线之一.另设直线方程为 y-4=k(x- 2),即 kx-y+4-2k=0,那么 |4-2k| 3 =2,k=4,即 3x-4y+10=0. 2 k +1

答案:x=2 或 3x-4y+10=0 8.(2013· 内江市高三第二次模拟)若直线 y=kx+1 与圆 O:x2+ y2=1 交于 A、B 两点,且∠AOB=60° ,则实数 k=________. 解析:△AOB 为等腰三角形,∠AOB=60° ,所以|AB|=1,圆心 3 1 3 3 到直线的距离 d= 2 即 2 = 2 ,解得 k=± 3 . k +1 3 答案:± 3 9.已知两圆 x2+y2-10x-10y=0,x2+y2+6x-2y-40=0,则 它们的公共弦所在直线的方程为________;公共弦长为________. 解析:由两圆的方程 x2+y2-10x-10y=0,x2+y2+6x-2y-40 =0,相减并整理得公共弦所在直线的方程为 2x+y-5=0.圆心(5,5) 到直线 2x+y-5=0 的距离为 30,得公共弦长为 2 30. 答案:2x+y-5=0 2 30 三、解答题 10.已知:圆 C:x2+y2-8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且|AB|=2 2时,求直线 l 的方程. 解:将圆 C 的方程 x2+y2-8y+12=0 配方得标准方程为 x2+(y -4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为 2. (1)若直线 l 与圆 C 相切, 10 =2 5,弦长的一半为 50-20 = 5

则有

|4+2a| 3 =2.解得 a=-4. 2 a +1

(2)过圆心 C 作 CD⊥AB,则根据题意和圆的性质, +2a| , ?|CD|= |4a +1 ? 得?|CD| +|DA| =|AC| =2 , 1 ? | DA | = ? 2|AB|= 2.
2 2 2 2 2

解得 a=-7 或 a=-1. 故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0. 11.自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反 射光线所在直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0 相切,求光线 l 所在直线 的方程. 解:

已知圆(x-2)2+(y-2)2=1 关于 x 轴的对称圆 C′的方程为(x- 2)2+(y+2)2=1,如图所示.可设光线 l 所在直线方程为 y-3=k(x+ 3), ∵直线 l 与圆 C′相切, ∴圆心 C′(2,-2)到直线 l 的距离 d= |5k+5| =1, 1+k2

3 4 解得 k=-4或 k=-3.∴光线 l 所在直线的方程为 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0. 12.已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率为 1 的 直线 l,使 l 被圆 C 截得的弦为 AB,以 AB 为直径的圆经过原点,若 存在,写出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 解:依题意,设 l 的方程为 y=x+b① x2+y2-2x+4y-4=0② 联立①②消去 y 得: 2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有

?x1+x2=-?b+1?, ? b2+4b-4 ?x1x2= 2 ,



∵以 AB 为直径的圆过原点, → → ∴OA⊥OB,即 x1x2+y1y2=0, 而 y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2 ∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0, 由③得 b2+4b-4-b(b+1)+b2=0, 即 b2+3b-4=0,∴b=1 或 b=-4, ∴满足条件的直线 l 存在,其方程为 x-y+1=0 或 x-y-4=0. [热点预测] 13. (1)已知直线 x+y=a 与圆 x +y =4 交于 A, B 两点, 且|O A
2 2



→ → → +O B |=|OA-OB|(其中 O 为坐标原点),则实数 a 等于(

)

A.2

B.-2

C.2 或-2

D. 6或- 6

(2)(2013· 临沂模拟)已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一 动点,PA,PB 是圆 C:x2+y2-2y=0 的两条切线,A,B 是切点, 若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为( 21 A. 2 B. 2 C.2 2 D.2 (3)(2013· 无锡质检)设 m,n∈R,若直线 l:mx+ny-1=0 与 x 轴交于点 A, 与 y 轴交于点 B, 且 l 与圆 x2+y2=4 相交所得弦长为 2, O 为坐标原点,则△OAB 面积的最小值为________. → → → → |a| 解析: (1)由|OA+OB|=|OA-OB|知 OA⊥OB, 所以由题意可得 2 = 2,所以 a=± 2. (2)圆心 C(0,1)到 l 的距离 d= 5 , k2+1
? ?

)

?1 ? 所以四边形面积的最小值为 2×?2×1× d2-1?=2,

解得 k2=4,即 k=± 2. 又 k>0,即 k=2. (3)∵直线 l:mx+ny-1=0 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B, 1? ? ?1 ? ∴A?0,n?,B?m,0?,
? ? ? ?

而直线与圆相交所得的弦长为 2, ∴圆心到直线的距离 d 满足 d2=r2-12=4-1=3, 即圆心到直线的距离 d= |-1| 1 2 2 2 2= 3,∴m +n =3; m +n

11 1 1 ∵三角形的面积为 S=2m· = n 2|mn|,

1 1 6 又 S=2|mn|≥ 2 2=3,当且仅当|m|=|n|= 6 时取等号,故最 m +n 小值为 3. 答案:(1)C (2)D (3)3


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