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福建省福州八中2014届高三第六次质检考试数学(文)试题


福州八中 2014 届高三第六次质检考试 数学(文)试题
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题: ( 每小题 5 分,共 60 分. 在给出的 A、B、C、D 四个选项中,只有一 项符合题目要求,在答题纸的相应区域内作答) 1.已知集合 M ? ? y y ? sin x, x ? R? , N ? ?0,1, 2? ,则 M ? N ? A.

??1, 0,1?

B. ? 0,1?

C. ?0,1?

D. ?0,1, 2?

2. 下 列 结 论 错 .误 .的 .是 A . 命 题 “ 若 p , 则 q ” 与 命 题 “ 若 ?q , 则 ?p ” 互 为 逆 否 命 题 ; B . 命 题 p : ?x ? [0,1], e x ? 1, 命 题 q : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0, 则 p ? q 为 真 ; C . “ 若 am 2 ? bm 2 , 则 a ? b ” 的 逆 命 题 为 真 命 题 ; D . 若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题. 3.已知平面向量 a ? (2 ? k , 3), b ? (2, 4), a // b ,则实 等于 A. 1 C. 1
4 2

数 k

B. 1 D. 1
5

3

4.执行右边的程序框图,输出 S 的值为 A. 14 B. 20 C. 30 D. 55
?x ? 2 ? 0 5.设变量 x,y 满足约束条件 ? ? x ? y ? 4 ,则 z ? x ? y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 4 ?

A.0

B.2

C.3

D.4

6.为了了解某校高三 400 名学生的数学学业水平测试成绩,制成样本频率分布直方图 如图,规定不低于 60 分为及格,不低于 80 分为优秀,则及格率与优秀人数分别是 A.60%,60

B.60%,80 C.80%,80 D.80%,60 7.设 x, y ? R ,且 2 y 是 1 ? x 和 1 ? x 的等比中项,则动点 ? x, y ? 的轨迹为除去 x 轴上 点的 A.一条直线 B.一个圆 C.双曲线的一支 D.一个椭圆 { a } a ? a ? 2 a ? 4 8.在等差数列 n 中,若 3 ,则此数列的前 13 项的和等于 5 10 A.8 B.13 C.16 D.26

10. 在花园小区内有一块三边长分别为 3 米 、4 米、5 米的三角形绿化地,有一只 小狗在其内部玩耍,若不考虑小狗的大小,则在任意指定的某时刻,小狗与三角形三个 顶点的距离均超过 1 米的概率是 A. 1 ?

? 6

B. 1 ?

? 12

C. 2 ?

? 3

D. 2 ?

? 2

11. 过双曲线

x2 y2 a2 2 2 的左焦点 , 作圆 的切 F ( c ,0)( c > 0) = 1( a > 0, b > 0) x + y = a 2 b2 4

线,切点为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若 OP ? 2OE ? OF ,则双曲线的离心率 为 A. 10 B. 10
5

C. 10
2

D.

2

12. 为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据 ai ?{0, 组成传输信息.设定原信息为 a0 a1a2, ,传输信息为 h0 a0 a1a2 h1 ,其 1, 2) 1} ( i ? 0, 中 h0 ? a0 ? a1,h1 ? h0 ? a2 , ? 运算规则为: 0 ? 0 ? 0 , 0 ?1 ? 1 , 1? 0 ? 1, 1 ?1 ? 0 , 例如原信息为 111,则传输信息为 01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接 收信息出错,则下列接收信息一定有误的是 A.11010 B.01100 C.00011 共 90 分) D. 10111

第Ⅱ卷(非选择题 位置. 13.已知 a 2 ?
1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在答题卡的相应

4 (a ? 0) ,则 log 2 a = 9 3

.

1

14. 将直线 2x ? y ? 4 ? 0 绕着其与 x 轴的交点逆时针旋
1 1

3

2

正视图

侧视图

俯视图 (第 15 题图)

3



? 得到直线 m,则 m 的方程为 4
15.如图是一个几何体的三视图(单位:cm) . cm2.

.

这个几何体的表面积为

16.在平面直角坐标系中, ?ABC 的顶点 A 、 B 分别是

x2 y2 ? ? 1 的焦点,顶点 C 在该 m n 曲线上.一同学已正确地推得:当 m ? n ? 0 时,有 e ? (sin A ? sin B ) ? sin C .类似地,
离心率为 e 的圆锥曲线 当 m ? 0 、 n ? 0 时,有 e ? ( 骤. 17. (本小题满分 12 分)

) ? s iC n.

三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步

如图,三棱柱 ABC-A1B1 C1 中,侧棱 AA1⊥平面 ABC,AB=BC=AA1=2,AC=2 2 ,E, F 分别是 A1B,BC 的中点. (I)证明:EF∥平面 A AlClC; (II)证明:平面 A1ABB1⊥平面 BEC. 18. (本小题满分 12 分) 已知 a
?

? ( sin x , cos x ) , b ? ( cos x , cos x ) ,函数 f ( x) = a ? b .

?

?

?

(I)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (II)函数 f ( x) 的图象可以由函数 y ? sin x 的图象经过怎样的变换得到? 19.(本小题满分 12 分)
2 2 设关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 .

(I)若 a,b 都是从集合 ?1,2,3,4? 中任取的数字,求方程有实根的概率; (II)若 a 是从区间[0,4]中任取的数字, b 是从区间[1,4]中任取的数字,求方程有 实根的概率. 20. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an? 的公差 d ? 0 ,它的前 n 项和为 Sn ,若 S5 ? 70 ,且

a2 ,a7 ,a22 成等比数列.
(Ⅰ)求数列 ?an? 的通项公式; (Ⅱ)设数列

?

an ? 6 的前 n 项和为 Tn ,求证: 1 ? Tn < 2 . (n ? 1)Sn

?

21. (本小题满分 12 分) a 3 设函数 f ( x) ? x3 ? x 2 ? (a ? 1) x ? 1, 其中a 为实数。 3 2 (Ⅰ)已知函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)已知不等式 f ' ( x) ? x 2 ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立,求实数 x 的取 值范围。 22. (本小题满分 14 分) x2 y 2 已知双曲线 ? ? 1, 6 2

福州八中 2013—2014 高三毕业班第六次质量检查 数学(文)试卷参考答案及评分标准
一、选择题:CCACDC DBABCD 二、填空题:4 3x ? y ? 6 ? 0 三、解答题:

8? 6 2

| sin? A

sin B |

18.解: (I) f ( x) = a ? b = sin x cos x + cos 2 x

?

?

1 cos 2 x ? 1 sin 2 x + 2 2 1 1 1 = sin 2 x + cos 2 x + 2 2 2
= = 当 2k? ? 即 k? ?

2 ? 1 sin(2 x ? ) + . 2 4 2

……………………………………4 分

?

2 3?
8

? 2x ?

?
4

? 2k? ?
8

?
2

,k ?Z ,

? x ? k? ?

? , k ? Z 时,函数 f ( x) 单调递增,
? ? 3? ?? , k? ? ? , k ? Z .……………7 分 8 8?

所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 k? ? ?

(II)函数 y ? sin x 图象 向左平移 ? 个单位长度 得到函数 y ? sin( x ? ) 的图象;然后
4

? 4

使曲线上各点的横坐标缩为原来的 1 倍 得到函数 y ? sin(2 x ?
2

? ) 的图象;再将 曲线上各 4

? 点的纵坐标缩为原来的 2 倍 得到函数 y ? 2 sin(2 x ? ) 的图象;最后把 得到的曲线向 4 2 2
上平移 1 个单位长度 就得到函数 f ( x) 的图象了.………12 分
2

19.解: (I)设事件 A 为“方程有实根”, 记 (a,b) 为取到的一种组合,则所有的情况有: (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4)……2 分 一共 16 种且每种情况被取到的可能性相同 ……3 分 ∵关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根
2 2

∴ ? ? 4a ? 4b ? 0 ? a ? b,
2 2

……4 分

∴事件 A 包含的基本事件有: (1,1) , (2,1) , (2,2) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4)共 10 种 …5 分

? P ( A) ?

10 5 ? 16 8

1 ? 3? 3 3 2 P( B) ? ? 3? 4 8 ∴
∴方程有实根的概率是

……… 11 分

3 ……… 12 分 8

(第(II)题评分标准说明:画图正确得 2 分,求概率 3 分,本小题 6 分)
? ? ?5a1 ? 10d ? 70 ?S 5 ? 70 ? ? 2 ?(a ? 6d ) 2 ? (a1 ? d )(a1 ? 21d ) ? a 7 ? a 2 a 22 ? 20. (Ⅰ)解:依题意,有 ,即 ? 1 …2 分

解得 a 1 ? 6,d ? 4 ………………………………………………………… 4 分 ∴数列 ?an? 的通项公式为 an ? 4n ? 2 ( n ? N ) .……………………… 5 分
*

(Ⅱ)证明:由(1)可得 ∴

S n ? 2n 2 ? 4n

.……………………………… 6 分

an ? 6 4(n ? 2) 4n ? 2 ? 6 2 …………… 7 分 ? ? ? 2 (n ? 1)Sn (n ? 1)(2n ? 4n) 2n(n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1)

∴ Tn ? 2[(1- ) + ( ? ) + ? + ( ∵

1 2

1 1 2 3

1 1 1 )] = 2(1) ………………… 8 分 n n ?1 n ?1

?n 1?1?

是递减数列,且 n ? N* ,

1 1 1 1 ? .∴ ? ? ? ? 0 ………………………………… 10 分 n ?1 2 2 n ?1 1 ∴ 1 ? Tn ? 2(1) < 2 .……………………………………………… 12 分 n ?1
∴0 ?

22.解: ( 1)设椭圆E方程为

x2 y 2 ? ? 1 , a ? b ? 0, 则a 2 ? 6 ? 2 ? 8,c2 ? 6. a 2 b2

? 椭圆E方程为

x2 y 2 ? ? 1. ……3 分 8 2 (Ⅱ)依题意得 D 点的坐标为(-2,-1) ,且 D 点在椭圆 E 上, 直线 CP 和 DP 的斜率 KCP 和 KDP 均存在,设 P(x,y), y ?1 y ?1 y ?1 y ? 1 y2 ?1 则KCP ? , K DP ? ,? KCP ? K DP ? ? ? . x?2 x?2 x ? 2 x ? 2 x 2 ? 4 ……5 分
又?点P在椭圆E上, ? x 2 ? 8 ? 4 y 2,KCP ? K DP ?

y2 ?1 1 ?? . 2 x ?4 4

? 直线CP和DP的斜率之积为定值 ?

1 4

……7 分

1 ,CD 平行于直线 l , 2 1 设直线 l 的方程为 y ? x ? t , 2
(Ⅲ)?直线 CD 的斜率为

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) 则 x1 ? x2 ? ?2t ,x1· x2= x1x2 ? 2t 2 ? 4 ……10 分

? MN ?
= 1? ( )

?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y2 ?2

1 ? 1 ? ( ) 2 ? x1 ? x2 2

1 2

2

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 5 ? 4 ? t 2 (?2 ? t ? 2) .……11 分


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