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北师大版数学九年级下册:3.3《垂径定理》ppt课件(12页)


北师大版九年级下册第三章《圆》 3.3垂径定理 A 问题:左图中AB为圆O的直径, CD为圆O的弦。相交于点E,当 弦CD在圆上运动的过程中有没 有特殊情况? O C E B D 直径AB和弦CD互相垂直 运动CD 特殊情况 C 在⊙O中,AB为弦, CD为直径,AB⊥CD O A D E B 提问:你在圆中还能 找到那些相等的量? 并证明你猜得的结论。

CE=DE, AC=AD,BC=BD 特殊情况 证明结论 已知:在⊙O中,CD是直径, AB是弦,CD⊥AB,垂足为E。求证: ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AE=BE,AC=BC,AD=BD。 证明:连结OA、OB,则OA=OB。 因为垂直于弦AB的直径CD所在的直 线既是等腰三角形OAB的对称轴又 是⊙ O的对称轴。所以,当把圆沿着 直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆 重合,A点和B点重合,AE和BE重 ⌒ ⌒ ⌒ 合,AC、AD分别和BC、 ⌒ BD重合。因此 AE=BE,AC=BC,AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ C . A O E B D 总结 3、图形语言 A 垂径定理 1、文字语言 垂直于圆的直径平分圆,并且平分 圆所对的两条弧。 2、符号语言 O 因 为 AB ? CD于 E, AB为 O的 直 径 ? CE=DE, E D C AC=AB, BC=BD. B 1、判断下列图是否是表示垂径定理的图形。 C c C A O A D E B D O B O A E B 是 不是 是 2、请画图说明垂径定理的条件和结论。 分析 条件 C 结论 CD平 分 弦 AB 点C平分弧ACB CD为直径, CD⊥AB O }{ } { 点D平分弧ADB (1)过圆心 A E D (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 B 2)垂直于弦 ( 例题1 例1 如图,已知在⊙O中, 弦AB的长为8厘米,圆心O到 AB的距离为3厘米,求⊙O的 半径。 A E . O B 解:连结OA。过O作OE⊥AB,垂足为E, 则OE=3厘米,AE=BE。∵AB=8厘米 ∴AE=4厘米 在Rt△AOE中,根据勾股定理有OA=5厘 米 ∴⊙O的半径为5厘米。 例题2 例2 已知:如图,在以 O为圆心的两个同心圆中, 大圆的弦AB交小圆于C, A D两点。 求证:AC=BD。 证明:过O作OE⊥AB,垂足为E, 则AE=BE,CE=DE。 AE-CE=BE-DE。 所以,AC=BD O C E . ┐ D B 例题3 例3 已知:⊙O中弦 AB∥CD。 M C A .O D B 求证:AC=BD 证明:作直径MN⊥AB。 N ∵AB∥CD,∴MN⊥CD。则AM= ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ BM,CM=DM(垂直平分弦的直径平 分弦所对的弦) AM-CM=BM-DM ∴AC=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ C A D O A D E B B A O D C B O C A O C B C D O B A

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