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2013版高考数学(人教A版·数学文)全程复习方略配套课件:11.2 古典概型(共57张PPT)


第二节 古典概型

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三年30考 1.理解古典概型及其概率计算公式;

高考指数:★★★★★

2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.

1.古典概型的概率是高考考查的重点; 2.利用列举法、树状图法、分类讨论的思想解决古典概型问题

>
是重点,也是难点;
3.题型以解答题为主,往往与统计等其他知识交汇命题.

1.基本事件的特点 互斥 (1)任何两个基本事件是_______的. 基本事件 (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成__________的和.

【即时应用】 (1)思考:在一次试验中,其基本事件的发生一定是等可能的吗? 提示:不一定等可能.如试验一粒种子是否发芽,其发芽和不

发芽的可能性是不相等的.

(2)某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小 组,某学生只选报其中的2个,则基本事件共有______个.

【解析】该生选报的所有可能情况是:{数学和计算机}、{数
学和航空模型}、{计算机和航空模型},所以基本事件的个数

为3.
答案:3

2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概

型. 只有有限个 (1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件____________.
相等 (2)等可能性:每个基本事件出现的可能性_______.

【即时应用】 判断下列试验是否是古典概型(请在括号中填写“是”或“否”)

①投掷一颗质地不均匀的骰子, 观察其朝上的点数;

(

)

②口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从

中任取一球;

(

)

③向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点都是等 可能的; ( )

④射击运动员向一靶心进行射击,试验结果为命中10环,命中9 环,??,命中0环. ( )

【解析】对于①:由于质地不均匀,故每个面朝上的概率不相 等;对于②:摸到白球和黑球的概率相同,均为 1 ; 对于③:
2

基本事件有无限个;对于④:由于受射击运动员水平的影响,
命中10环,命中9环,??,命中0环的可能性不等.故只有②

是古典概型.
答案:①否 ②是 ③否 ④否

3.古典概型的概率公式
A包含的基本事件的个数 P(A)=_________________________. 基本事件的总数

【即时应用】

(1)思考:先后抛掷两枚质地均匀的硬币,有人说,一共出现:
“两枚正面”、“两枚反面”、“一枚正面,一枚反面”三种 结果,因此出现“一枚正面,一枚反面”的概率是 1, 这种说
3

法正确吗? 提示:不正确.两枚硬币编号为1,2,则基本事件应为: (正1,正2),(正1,反2),(反1,正2),(反1,反2),故 出现一正一反有(正1,反2),(反1,正2)两种情况,故所求 概率为 1 .
2

(2)在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这

些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球,
则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是______.

【解析】取2个小球的不同取法有(1,2),(1,3),(1,4),
(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10 种,其中标注的数字之差的绝对值为2或4的有(1,3),(2,4), (3,5),(1,5),共4种,故所求的概率为 4 = 2 .
10 5

答案: 2
5

(3)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为P点的坐标, 则点P落在圆x2+y2=16内的概率是________. 【解析】基本事件的总数为6×6=36个,记事件A= {(m,n)|(m,n)落在圆x2+y2=16内},则A所包含的基本事件有 (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),

共8个.
∴P(A)=
8 2 = . 36 9

答案: 2
9

简单古典概型的概率 【方法点睛】1.求古典概型概率的步骤 第一步:判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件 A; 第二步:分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基 本事件个数m; 第三步:利用公式P(A)= m 求出事件A的概率.
n

2.基本事件个数的确定方法 (1)列举法 此法适合于基本事件较少的古典概型. 此法适合于从多个元素中选定两个元 (2)列表法 素的试验,也可看成是坐标法. 树状图是进行列举的一种常用方法,适

(3)树状图法

合于有顺序的问题及较复杂问题中基本 事件数的探求.

【例1】(2011·山东高考)甲、乙两校各有3名教师报名支教, 其中甲校2男1女,乙校1男2女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的

结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;
(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并

求选出的2名教师来自同一学校的概率.

【解题指南】(1)本题考查古典概型,要将基本事件都列出, 然后找出2名教师性别相同所含的基本事件的个数,由古典概 型概率公式求得结果. (2)从报名的6名教师中任选2名,列出基本事件,然后找出2名 教师来自同一学校所含的基本事件的个数,由古典概型概率公 式求得结果.

【规范解答】(1)甲校两男教师分别用A、B表示,女教师用C表

示;乙校男教师用D表示,两女教师分别用E、F表示.
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为: (A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D), (C,E),(C,F),共9种. 从中选出的2名教师性别相同的结果为:(A,D),(B,D),(C,E), (C,F),共4种. 所以选出的2名教师性别相同的概率为 4 .
9

(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为: (A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F), (C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种. 从中选出的2名教师来自同一学校的结果为:

(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F),共6种.
所以选出的2名教师来自同一学校的概率为 6 ? 2 .
15 5

【反思·感悟】在求解本题时应注意第(1)问属于有顺序的问 题,该类问题的基本事件按先甲校再乙校分步列举;第(2)问

属于无顺序的问题,基本事件按所含字母利用列举法,按一定
顺序分类列举.

有放回抽样和无放回抽样的概率

【方法点睛】有放回抽样和无放回抽样的对比
在古典概型的概率中涉及两种不同的抽取方法,以摸球为例, 设袋内装有n个不同的球,现从中依次摸球,每次只摸一只, 具有两种摸球的方法. (1)有放回 每次摸出一只后,仍放回袋中,然后再摸一只,这种摸球的方 法属于有放回的抽样,显然,对于有放回的抽样,每次摸出的 球可以重复,且摸球可无限地进行下去.

(2)无放回 每次摸出一只后,不放回原袋中,在剩下的球中再摸一只,这 种摸球方法属于无放回的抽样.显然,对于无放回的抽样,每 次摸出的球不会重复出现,且摸球只能进行有限次. 【提醒】注意一次性抽取与逐次抽取的区别:一次性抽取是无 顺序的问题,逐次抽取是有顺序的问题.

【例2】(1)三件产品中含有两件正品a,b和一件次品c. 每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次,求取出的两 件产品中恰有一件次品的概率.

(2)三件产品中含有两件正品a,b和一件次品c.每次任取一件,
每次取出后放回,求取出的两件产品恰有一件次品的概率.

【解题指南】问题的关键在于一种是不放回试验,一种是有放
回试验.不放回试验,取一件少一件,而有放回试验,取一件 后,再取一件时情况不变.通过列出所有基本事件的方法解答 比较直观易懂.

【规范解答】(1)方法一: 每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果 组成的基本事件有6个,即(a,b),(a,c),(b,a),(b, c),(c,a),(c,b).其中小括号内左边的字母表示第1次取出 的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.A表示“取出的两 件产品中,恰好有一件次品”这一事件,则A={(a,c),

(b,c),(c,a),(c,b)},事件A由4个基本事件组成,因而,
P(A)= 4 ? 2 .
6 3

方法二:

取出的两件产品中有一件次品,至于是第一次取出,还是第二
次取出可不考虑,则所有可能结果有(a,b),(a,c),(b,c),

共3个基本事件,而恰好有一件次品的基本事件有(a,c), (b,
c),共2个,因此所求概率为
2 . 3

(2)这是有放回试验,第一次被取出的产品,第二次也可能被 取出,由于最后关心的是两件产品中有一件次品,因此必须考 虑顺序,则所有可能的结果有(a,a),(a,b),(a,c), (b,b),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b), (c,c),共9个基本 事件,其中恰好有一件次品的基本事件有(a,c),(b,c), (c,a),(c,b),共4个基本事件.因此每次取出后放回,取出 的两件产品恰有一件次品的概率为 4 .
9

【反思·感悟】关于不放回逐次抽样,计算基本事件个数时, 既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其结果是一 样的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会 导致错误.

构建不同的概率模型解决问题 【方法点睛】建立概率模型的原则、要求及作用

(1)原则:建立概率模型的一般原则是“结果越少越好”, 这
就要求选择恰当的观察角度,把问题转化为易于解决的古典概

型问题.
(2)要求:每次试验有一个并且只有一个基本事件出现.

(3)作用:一方面,对于同一个实际问题,我们有时可以通过 建立不同的“模型”来解决,即“一题多解”,在这“多解”

的方法中,再寻求较为“简捷”的解法;另一方面,我们又可
以用一种“模型”去解决很多“不同”的问题,即“多题一

解”.

【例3】(2012·大连模拟)同时投掷两粒骰子,求向上的点数 之和为奇数的概率. 【解题指南】适当选取观察角度以减少复杂的计数. 角度一:通过坐标法列出所有基本事件;角度二:把一次试验 的所有可能结果取为:(奇,奇),(奇,偶),(偶,奇),(偶, 偶);角度三:把一次试验的所有可能结果取为:点数和为奇数,

点数和为偶数.

【规范解答】方法一:从下图可以看出基本事件与所描点一一 对应,有36种,

记“向上的点数和为奇数”的事件为A,从图中可以看出,事 件A包含的基本事件共有18个,因此P(A)=
18 1 ? . 36 2

方法二:若把一次试验的所有可能结果取为:(奇,奇), (奇,偶),(偶,奇),(偶,偶),则它们也组成等概率的样本 空间.基本事件总数为4,事件A“点数之和为奇数”包含的基 本事件个数为2,故P(A)= . 方法三:若把一次试验的所有可能结果取为:点数和为奇数,
1 2

点数和为偶数,则它们也组成等概率的样本空间.基本事件总
数为2,事件A“点数之和为奇数”包含的基本事件个数为1,

故P(A)=

1 . 2

【反思·感悟】注意研究事件的特征,灵活选取基本事件可以 简化求概率的过程.可以设想,同时投掷n粒骰子,求出现点数 之和为奇数的概率,结果仍为
1 . 2

【满分指导】古典概型主观题的规范解答 【典例】(12分)(2011·天津高考)编号为A1,A2,?,A16的16名 篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下: 运动员编号 得 分 A1 15 A2 35 A3 21 A4 28 A5 25 A6 36 A7 18 A8 34

运动员编号
得 分

A9
17

A10
26

A11
25

A12
33

A13
22

A14
12

A15
31

A16
38

(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格; 区 间 [10,20) [20,30) [30,40]





(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,

①用运动员的编号列出所有可能的抽取结果;
②求这2人得分之和大于50的概率. 【解题指南】(1)分别按区间范围列举出人数;(2)用列举法、 古典概型的概率公式计算概率.

【规范解答】(1)4,6,6

????????????2分

(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3,A4,A5, A10,A11,A13. ????????????????4分

从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有: {A3,A4},{A3,A5},{A3,A10},{A3,A11},{A3,A13},{A4,A5}, {A4,A10},{A4,A11},{A4,A13},{A5,A10},{A5,A11},{A5,A13}, {A10,A11},{A10,A13},{A11,A13},共15种. ?????8分

②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,这2
人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有:{A4,A5}, {A4,A10},{A4,A11},{A5,A10},{A10,A11},共5种. ??????????????????????11分 所以P(B)= 5 ? 1 .
15 3

??????????????12分

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以 得到以下失分警示和备考建议:

在解答本题时有两点容易造成失分: 失 分 警 示 (1)列举基本事件时,不能按一定的标准分类,造成 重复或遗漏; (2)把{A3,A4}与{A4,A3}当成不同的基本事件,造成

计算错误.

解决古典概型问题时,还有以下几点容易造成失分, 备 考 建 议 在备考时要高度关注: (1)忽视基本事件的等可能性导致错误;

(2)列举基本事件考虑不全面导致错误;
(3)在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数 时,一个按有序、一个按无序处理导致错误.

1.(2011·新课标全国卷)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各
自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,

则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(
(A)
1 3

)
(D) 3
4

(B) 1
2

(C)

2 3

【解析】设a、b、c分别表示3个兴趣小组,则甲、乙分别参加

兴趣小组的情况为:
甲 乙 a a a b a c b a b b b c c a c b c c

共9种,其中甲、乙参加同一个兴趣小组的情况为3种,所以概 率为P=
3 1 ? . 9 3

2.(2011·安徽高考)从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶 点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于(
1 (A) 10

)

(B)

1 8

(C) 1
6

(D)

1 5

【解析】选D. 设正六边形为ABCDEF,从6个顶点中随机选择4 个顶点,可以看作随机选取2个顶点,剩下的4个顶点构成四边 形,有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,

DE,DF,EF共15种.若要构成矩形,只要选相对顶点即可,有
AD,BE,CF,共3种,故其概率为
3 1 ? . 15 5

3.(2011·江苏高考)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两 个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率是______. 【解析】从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,共有 (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6个基本事件, 其中一个数是另一个的两倍的有(1,2),(2,4)2个基本事件,

所以其中一个数是另一个的两倍的概率是 2 ? 1 .
答案: 1
3 6 3

4.(2012·临沂模拟)任取一正整数,则该数平方的末位数是1 的概率为_________.

【解析】正整数的个位数字是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
中的一个,而要使平方后末位数是1,则该正整数的个位数只

能是1和9中的一个,故所求概率为 2 ? 1 .
答案: 1
5 10 5


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